“植树问题”教学设计

林宏

[摘 要]以数学课程标准和学情为依据，采用先学后教的教学模式对“植树问题”进行再设计，突出数学思想的渗透，模型的建构和学生数学核心素养的提升。

[关键词]植树问题;数学思想;核心素养

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）20-0058-04

【教学内容】 青岛版教材四年级上册“智慧广场”（第106页～第107页）。

【教材分析】

《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调：要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程。进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。根据课程标准的要求，“智慧广场”的教学目标可概括为以下四点：

1.感悟重要的数学思想方法。

2.运用数学的思维方式进行思考，增强分析和解决问题的能力。

3.提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识。

4.在参与观察、猜测、试验、推理等数学活动中发展合情推理能力，感悟演绎推理思想，学会独立思考。

教材编排了“两端都栽时，间隔数和棵树关系”“一端不栽时，间隔数和棵树关系”“ 两端都不栽时，间隔数和棵树关系”三种不同的情况，并以学生比较熟悉的植树活动为线索，让学生选用自己喜欢的方法来探究栽树的棵数与间隔数之间的关系，经历猜想、实验、推理等数学探索过程，并启发学生透过现象发现规律、建立模型，再回归生活，利用规律解决生活中的实际问题。

【学情分析】

四年级学生仍以形象思维为主，但抽象思维能力有了初步的发展，他们具备了一定的分析综合、抽象概括、梳理规律的数学活动经验。“植树问题”放在这个学段，说明其具有很强的探究空间，需要教师的有效引领和学生的自主探究。

【教学目标】

1.经历将实际问题抽象出数学模型的过程，掌握植树问题中棵树与间隔数之间的关系，并能利用这一关系解决简单的实际问题。

2.经历观察、猜测、验证、推理等解决问题的过程，体验数形结合、一一对应、模型思想等数学思想方法。

3.感受数学在日常生活中的广泛应用，体会数学的价值，产生热爱数学的情感。

【教学重点】

引导学生发现棵数与间隔数之间的关系，使学生经历探究过程，建立植树模型。

【教学难点】

理解间隔数与棵数之間的规律并运用规律解决问题。

【教具准备】

课件、自主学习单、学具等。

【教学过程】

一、任务前置，以学定教

课前布置学习任务（学生独立完成）：

“植树问题”悦学单

去体育馆的小路长72米，在它的一侧植树，每隔6米植一棵。四年级有3个班认领植树任务，按路长平均分给3个班来完成，每个班负责24米。

一班负责的路段从路的开始到24米处;

二班接着一班植树，完成自己负责的24米;

三班接着二班植树，一直到体育馆前，一共24米。

每个班植树多少棵？

【设计意图：这个环节是由学生课前完成的，能够给学生提供一个自主开放的空间，让学生独立思考问题，从而暴露学生的认知经验和问题。教师就可以发现问题且充分把握学情，确定教学的重难点，体现以学定教。同时，这个情境把植树问题的三种情况都包括在内，是实际生活中的真实情境，不是为了研究而研究，是基于问题解决来研究，有利于学生对知识的建构和理解。“学”在教之前，既实现了“先学后教”，也实现了“悦自主独学”。】

二、小组合作，展示交流

师：昨天大家已经独立研究了植树问题，（板书课题：植树问题）你们认为什么是植树问题？

生1：有关植树的问题就是植树问题。

生2：研究树与间隔的问题就是植树问题。

……

师：那到底是不是你们想的这样呢？今天就一起来研究。根据课件中的图示，请在小组内交流自己的研究成果。

1.一班植树棵数

（1）小组内交流自主学习的成果

师：可以用学具来试着摆一摆，说明一班植树多少棵;也可以用一条线表示小路，用小线段或圆点表示树，画一画，看看一班植树多少棵。

（2） 班内展示小组研究成果

师：请汇报你们的研究成果。

生1：我们开始研究的成果是24÷6=4（棵），也就是看24里面有几个6米，然后通过画线段图、摆小树、交流、讨论，发现一班植树应该是5棵，24÷6=4（棵），4+1=5（棵）。（在黑板上画出线段图表示小路，点上圆点表示树）

生2：我们组也认可这个结论，但是生1没有说清楚为什么加上1棵，谁能讲清楚？

生3：因为从头到尾植树的时候，最后还有一棵树，也就是第一棵树需要第一个空，第二棵树需要第二个空，第三棵树需要第三个空，第四棵树需要第四个空，最后终点还有一棵树，可是没有空了，就把最后的这棵树加上。

师：大家明白生3的讲解吗？数学上称这个空为间隔。那24÷6 表示什么？4指的是什么？为什么+1？

生4：24÷6表示有几个间隔，4是4个间隔，因为4棵树对应4个间隔，最后一棵树没有对应的间隔，所以+1。

师：咱们一致得出结论，一班植树5棵，这是两端植树的情况。因为一棵树对应一个间隔，最后一棵树没有间隔相对应，所以要加上1，这里利用了一一对应的数学思想。（板书：两端植树 一一对应）

2.二班、三班植树棵数

师：我们知道了一班植树的棵数，那二班、三班植树多少棵呢？在小组内继续交流讨论。

生5（在黑板上画图）：二班为24÷6=4（棵），因为二班的第一棵树被一班植了，就不用植了，这样一棵树对应一个间隔，有4个间隔，所以植树4棵。

生6：这道题也是利用了一一对应思想。

师：你听得真仔细，还补充了数学思想，非常好。

师：一班是两端植树的情况，那二班是什么情况？

生（齐）：一端植树。

师：对，是一端植树的情况。那三班植树多少棵？

生7：三班和二班一样，第一棵树被二班植了，就不用植了，这样一棵树对应一个间隔，有4个间隔，所以植树4棵，列式为24÷6=4（棵）。

生8：我不同意你的说法，三班应该植树3棵，因为最后是体育馆，也不能植树，末尾那棵树不用植，所以是3棵，列式为24÷6-1=3（棵）。

（其他学生都表示同意）

生9：我觉得三班是两端都不植的情况。

师：大家分析得很透彻，有理有据，不仅解决了二班和三班植树棵数的问题，还推理得出二班和三班分别是一端植树和两端不植的情况。

（板书：一端植树    两端不植）。

3.间隔数与棵数之间的关系

师：计算三个班的植树棵数都有算式24÷6，都是先算出4个间隔，然后再+1，或不加不减，或-1，你们发现了什么？请在组内交流一下，然后汇报。

生10：两端都植的情况，总有最后一棵树没有对应的间隔，所以“棵数=间隔数+1”;而一端植树正好是每棵树都对应一个间隔，所以“棵数=间隔数”;而两端都不植的情况就是多了一个间隔，所以“棵数=间隔数-1”。

师：说得很好！发现了规律，表达有逻辑，还总结出了“通过两端都植推理得出一端植树和两端都不植树”的结论。

（板书：棵数=间隔数+1     棵数=间隔数    棵数=间隔数-1 ）

【设计意图：对于三个班植树棵数的探究是在互动中完成的，教师给学生创设了宽松的环境，学生在自主独立思考的基础上，通过与组内成员充分交流、大胆发言、探究讨论、畅谈收获、分析辩解，经历了操作、分析、推理、验证、解释、归纳的过程，最后共同解决问题，建构植树问题的模型。因为有和谐的师生关系作为基础，学生乐于展示、乐于分享和上台展示，在互动碰撞中实现对知识的认知、发现、顿悟和对自我的超越，学科素养在潜移默化中逐步提升。这样的教学开启了学生的口，活動了学生的手，也解放了学生的脑，体现了以学为主，真正起到了启发学生智慧，引领学生学习，激发学生兴趣，构建学科知识的作用，学生由“学会”慢慢向“会学”转变，并逐渐“乐学”，真正实现了“和合作群学”。】

三、教师点拨，拓展提升

1.方法提升

师：根据我们总结的规律，可以解决类似的问题，如果只记得其中一种情况，另外两种情况记不住了，怎么能很快知道另外两种情况？

生11：可以通过一种情况推理得出后，只要+1、

+2，或-1、-2就能得出结论。

师：如果三个式子都记不住了，怎么解决呢？

生12：可以通过摆学具或画图的方式发现规律，再利用规律解决问题。

生13：5指4空，可以得到两端都植的结论是“棵数=间隔数+1”;把大拇指去掉，4指4空，可以得到“棵数=间隔数”的结论;再把小手指握住，是3指4空，可以得到“棵数=间隔数-1”的情况。

师：真棒！我们完全可以借助身边的学具和自己的手指，通过操作和探索发现规律，然后利用规律解决问题。这样不仅掌握了知识，更主要的是学会了方法。

（板书：摆、画、手）

2.建立模型

师：刚才我们解决了植树的问题，知道有三种类型，生活中还有类似的现象吗？

师（课件展示军人列队、学生做操站队、公交站示意图、衣服上的纽扣的图片）：大家在这里能找到“树”和“间隔”吗？

生14：队伍中的人相当于树，两个人之间的空相当于间隔;公交站牌相当于树，两站之间的距离相当于间隔。

生15：衣服上的纽扣相当于树，两个纽扣间的空相当于间隔，这是一端栽树的情况。

师：大家说的都很到位，这些都是研究“树”与“间隔”之间关系的一类问题，也就是点与线段之间的数量关系，称为植树问题。

【设计意图：有效的教学活动是学生的学与教师的教的统一。教师要发挥主导作用，处理好讲授和学生自主学习的关系。本环节在总结解决植树问题的三种类型规律的基础上，让学生用数学的眼光观察生活，找一找生活中类似植树问题的现象，并思考可以把什么看作“树”，引导学生感悟生活中“模”的存在。学生在已有成果的基础上，进一步提升、拓展，在学习掌握知识的基础上总结方法、积累数学活动经验，由“学会”向“会学”转变，实现了“悦教师引学”，达成了深度学习。】

四、多元测评，展示成果

出示题目：

（1）四年级一班教室在4楼，每层楼有20级台阶，从1楼回教室需要走多少级台阶？

（2）体育馆和图书馆之间相距60米，要在两馆之间的小路两旁摆花盆，相邻两盆花之间的距离是3米，一共要摆多少盆花？

生16：第（1）题中，从1楼走到4楼要走3层台阶，也就是相当于有4棵树、3个间隔，从而列出算式20×（4-1）=60（级）。

师：很好，找准了“树”与“间隔”，并得出是两端都植的情况，从而利用模型解决了问题。

生17：第（2）题是在两馆之间就是说两端都不能摆花，两旁就是要算出两边，所以得出（60÷3-1）×2=38（盆）。

【设计意图：当堂检测是教师了解学生对本节课知识掌握情况的一个重要手段，对教学效果的反馈有着非常重要的作用。在学生理解了植树问题的三种类型后，再让学生独立解决一些数学问题，就能紧扣学习目标，强化学习重点，学生就能充分体验学习的乐趣和获得收获的成就感，实现了“和评价促学”。】

五、拓展延伸，开放教学

师：这些图中的植树棵数与间隔数之间有什么关系？（动态演示，把封闭图形转化为直线）请课后继续探究。

【设计意图：学生的学习不止于教材，不止于课内，不止于教室内。这样一个环节能帮助学生打开思维，拓展视野，这是开放的学习观，这是一种大学习观，这实现了“悦拓展延学”。】

六、回顾梳理，归纳总结

师：本节课首先是带着学习任务，通过摆学具、画图、交流讨论，得出植树问题的三种情况，通过一一对应、数形结合，大家理解了棵数与间隔数的关系，发现了两端植树情况的规律是“棵数=间隔数+1”，并类比迁移得出一端植树和两端不植情况下的结论，建立了三个模型，并利用模型解决了问题。最后，把封闭图形的植树问题转化为直线上的植树问题，获得了数学方法和思想。（动态出示思维导图）

【设计意图：通过回顾所学知识，学生获得数学知识的同时，获得了数学思想方法，提升了梳理、概括知识的能力。这样能使学生在交流中巩固新知，进一步体会数学与生活的密切联系，真正实现了由双基到四基，由两能到四能的转变，学生的数学素养悄然提升。】

【教学反思】

一、学为中心，以学定教

本节课采用“三环五步五学”的教学模式，凸显“学为中心，以学定教”的生本理念，学生在自主学习的基础上，与同伴共享自学资源，完整经历了研究问题的全过程，学会了学习的方法，实现了由被动学习到主动学习的转化，从而乐学、悦学。

二、追寻有思想的教学

日本教育学者米山国藏说过：“我研究了多年的数学教育，发现学生在初中、高中阶段学习的数学知识离校后不到一两年便很快忘光了，然而，无论他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学思维方法、研究方法却随时发生作用，使他们受益终身。”顾沛教授指出：“数学思想是数学科学发生、发展的根本，也是数学课程教学的精髓。”依据课程标准的要求，我在这节课中力求凸显数学思想的渗透，追寻有思想的教学。本节课重点突出以下三种思想：

1.一一对应思想

在植树问题教学中，重要的是促进学生从本质上理解模型，因为无论哪种模型，其本质就是一一对应。

2.模型思想

让学生操作学具、画图或用手指研究，自然建立植树问题三种情况的直观模型：加一、不加不减、减一。

列举生活中的摆花、上楼梯等情况，将它们与树的棵数和间隔数进行对比，也就是凸显点与段数之间的对应关系，使学生感受到，虽然情境不同，但都是一类问题，凸显数学模型。

植树问题的模型是现实世界中一类相似事件的放大，它源于生活，卻高于生活。数学思想方法和数学知识相比，知识的有效性是短暂的，思想方法的有效性却是长远的，能够使人受益终身。

3.数形结合思想

数与形反映了事物两个方面的属性。数形结合，主要指的是数与形之间的对应关系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，就能使抽象思维与形象思维相结合。

学生通过摆一摆、画一画，把植树问题中棵数和间隔数之间的关系呈现得一目了然，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，这样不但起到优化解题途径的作用，也使数学思想方法得到渗透。

（责编 金 铃）