圆锥曲线试题精选

胡彬

1.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：ra+;=1（a》b》0）的右准线为直线?=y'之十：

4，左顶点为A，右焦点为F。已知斜率为2的直线l经过点F，与椭圆E交于B，C两点，且原点O到直线l的距离为5。

（1）求椭圆E的标准方程;（2）如图1，若过原点

O的直线m：y=kx与直线AB，AC分别交于M，N两点，且1OM|=|ON|，求k的值。

2.在平面直角坐标系

顶点和右顶点分别为A，B，右焦点为F，且满足下=5FB，由椭圆C的四个顶点围成的四边形面积为6/5。过点T（t，m）的直线TA，TB与椭圆C分别交于点M（x，y），N（x2，y2），其中m》0，y》0，《0。

（1）求椭圆C的标准方程。

（2）当点T在直线x=3a上时，直线MN是否过x轴上的一定点？若是，求出该定点的坐标;若不是，请说明理由。

3.已知抛物线E：y'=2px（p》0）的焦点为F，直线l：y=2x一2与椭圆E的交点为A，B，同时|AFI+|BF|=8。直线m//l，直线m与椭圆E交于C，D两点，与y轴交于点P。

（1）求抛物线E的标准方程;

（2）若昂=4萨，求|CD|的长。

4.已知O为坐标原点，点F（0，1），M为坐标平面内的动点，且2，|FM|，20M.亦成等差数列。

（1）求动点M的轨迹方程。

（2）设点M的轨迹为曲线T，过点N（0，2）作直线l交曲线T于C，D两点，试问：在y轴上是否存在定点Q，使得Q.为定值？若存在，求出定点Q的坐标;若不存在，请说明理由。

5.已知抛物线C：=2py（p》0），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C交于A，B两点，点A在第一象限，抛物线C在A，B两点处的切线相互垂直。

（1）求抛物线C的标准方程。

（2）若P为抛物线C上异于A，B的点，直线AP，BP均不与?轴平行，且直线AP和BP分别交抛物线C的准线于M，N两点，AQ=4QB。

①求直线AB的斜率;

②求|MN|的最小值。

6.设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x？-+y'=1上，过点M作x轴的垂线，垂足2

为N，点P满足NB=/2NM。

（1）求点P的轨迹方程。

（2）设点Q在直线x=-3上.且部.PQ=1。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦点F。

7.已知定圆A：（x+1）'+y'=8，动圆M过点B（1，0），且和圆A相切。

（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程;（2）若直线l：y=kx+m（k?0）与轨迹E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经

（1）求椭圆C的标准方程。

（2）设直线y=kx+1和椭圆C交于B，D两点，O为坐标原点，判断在y轴上是否存在点E，使COEB=COED。若存在，求出点E的坐标;若不存在，请说明理由。

（1）求椭圆C的标准方程。

（2）設椭圆C的右焦点为F，若不经过点F的直线l：y=kx+m（k《0，m》0）与椭圆C交于M，N两点，且与圆x+y"=1相切。试问：△MNF的周长是否为定值？若是，求出定值;若不是，请说明理由。

参考答案：

1.（1）设椭圆E的焦距为2c，则直线l的方程为y=2（x-c），即2x-y-2c=0。

（2）由题意知直线l的斜率存在。

5.（1）设A（x，y），B（c2，y2）。

所以直线AB的斜率为-4。

因此点P的轨迹为x"+y'=2。

（1）知m+n=2，故3+3m-tn=0.

所以.下=0，即上所。

又因为过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦点F。

7.（1）圆A的圆心为A（-1，0），半径r=2/2。设动圆M的半径为rz，依题意有r2=|MB|。由|AB|=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故|MA|=r-rz，即|MA|+|MB|=2/2》2。所以动点M的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为22的椭圆。因为a=/2，c=1，所以b=a-c=1。故圆心M的轨迹E的方程是2+y'=1。

（2）由（1）知F（1，0）。

①当直线l，l的斜率都存在时，由对称性不妨设直线l的方程为y=k（x-1），k?l。

②当直线l，l的斜率其中一条不存在时，根据对称性不妨设直线l的方程为y=

设切点为Q，M（x，y），N（x2，y2）（x>0，x>0）。

所以△MNF的周长为定值2/2。

（责任编辑王福华）