基于多元表征，实现单元整合

吴绪益?崔道国

[摘要] 基于北师大版小学数学六年级下册“正比例与反比例”单元教学，在学生原生态认识的基础上整合单元内容，通过拓展认知领域、建构表格表征、建构图像表征、培养数学能力、建构算式表征，利用“三表、三图、三式”等研究载体，实现学生对正反比例的深度认知。

[关键词] 单元整合;多元表征;深度学习;正反比例

着眼于学科核心素养，探寻小学数学教材中“正比例与反比例”单元的教学价值，进行单元整合，并充分利用图、表、符号等数学表征实现学生对正反比例的多元认知，达成指向深度学习的单元整合教学。

一、教材分析

本单元共三个部分，“变化的量”教学意图：生活中存在大量相互依存的变量，用列表或画图刻画两个变量之间的关系。“正比例”教学意图：从熟知的数量关系中，探寻变与不变的规律，建构正比例模型;利用图像直观刻画正比例的两个量样态。“反比例”教学意图：从熟知的数量关系中，探寻变与不变的规律，建构反比例模型，进一步提升比较分析、归纳概括的能力。我们在教材分析的基础上，对158名学生进行前测，要求呈现正反比例表征形式。

反比例：采用图像式20%，采用解析式10%，采用表格式15%;

正比例：采用圖像式68%，采用解析式为0，采用表格式29%。

由此看来，学生对于图像表征最喜欢，而对解析式表示相对较弱，尤其是解析式表示正比例更无人涉及。而总体采用率的分布为图像式>表格式>解析式。

二、课程呈现

1.拓展认知领域

让学生在“变化”过程中主动探究“不变”的规律，即前期的常量学习到今天的变量研究。比如，教师出示苹果的总价与数量关系表（如表1），引导学生研究从数量到数量关系的转变。

师：仔细观察，你们有什么发现？

生：单价都是一样的。

师：这里没有单价呀？

生：总价除以数量等于单价，如10÷2=5。

师：同学们，这个表格中谁在变化？谁没有变化？

生：总价和数量在变化，单价没有变化。

师：省略号什么意思？

生：表示无穷无尽。

师：能不能利用非常简洁的数学方式把省略号、变与不变的含义都表示出来？

生1：正比例关系。

生2：N÷X=5。

[设计意图]在表格背景下，学生再次感受具有正比例关系的两个量之间的本质特征，由静态的单价常量研究到动态视角下的变量探索。

2.建构表格表征

函数的核心是事物变量之间有一种依存关系。教师通过两张表格之间的对比，突出数量之间依存的重要性，从而加深学生对正反比例概念的本质理解。

师：仔细观察下面的表2“崔老师开车的速度与时间”，有什么发现？

生：上一张表1是一个量随着另一个量的增加而增加，他们的商不变;而这张表2是一个量随着另一个量的增加而减少，但它们的乘积不变。

师：太好了。对两个表格进行了对比，表述也很完整。那么，如何用简洁的方式把表2的数量关系表示出来？

生：N×X=120，反比例关系。

师：用同样的方法分析，你能从表3“吴老师身高和年龄”找到关系式吗？

生：找不到关系。

师：为什么？

生：身高和年龄两个数量的变化没有规律。

师：这样也就是说，两者之间并不具备绝对的相互依存关系。

[设计意图]此环节是基于学生对数量关系描述缺乏完整性而设计的。通过对数量关系的分析，让学生从宏观的、动态的角度感受反比例的本质特征，从而为他们进一步建构表格表征正反比例关系。

3.建构图像表征

数学学科表征数量关系的方式有列表和图像等，在图像中找出变量之间的对应关系是实现数量关系与空间形式统一的切入点。以“体验”为保证展现表征过程，以“画图”为突破促进知识内化。

师：仔细观察下面一张图，请点评这个图像。

生：格子均匀，数字工整，描点光滑。

师：最关键的是这张图充满想象。凭借现有的数学经验，你们能讲述一对数量关系吗？

生1：妈妈买了3斤苹果用了6元钱。

生2：速度为3千米/时，路程为6千米。

师：好！为纵轴和横轴赋予一定的现实背景，但此图像还有一点遗憾，你们发现了吗？

生：应该用“数对”来确定点的位置。

师：横轴上的8与谁对应？纵轴上的8与谁对应？

生：纵轴上的8与4对应;横轴上的8与16对应。

师：请看下面第二张图，你们能在这个图像里找到变与不变的量吗？

生：数对的乘积不变，都是60。

师：这个图像缺少一点什么？

生：缺少“量”。

师：谁能赋予纵轴和横轴一定的数学意义？

生：纵轴代表长方形的长，横轴代表长方形的宽，不变的是他们的面积。

师：真棒！如果横轴是15，那么，纵轴对应的点是多少？

生：因为12×5=60，60÷15=4，所以15对应的数是4。

师：怎样找到此图像的关系式？

生：分析对应点的数。

[设计意图]此环节根据前测中学生不能完整呈现图像中元素而设计。学生在经历了表格式表征以后，利用图像表征对比实现对本质属性的直观认识，感受到正反比例表现方式的多元，认识到对图像中数量关系分析是判断正反比例关系的基本方法。

4.培养数学能力

培养学生的数学关键能力是小学数学教师关注的核心点。图像表征基于学生立场，立足学生已有数学水平与活动经验，是培养他们数学能力的载体之一。

例题1：如下图所示，请准确计算两个动物18分钟时间各跑了多少千米？

學生展示如下：从图像上看，马和猎狗奔跑的时间与路程成正比例。观察发现，马在第10分钟正好对应12千米，而猎狗在第25分钟正好对应24千米。所以，马跑的路程：12÷10=1.2（千米/分），1.2×18=21.6（千米）;猎狗跑的路程：24÷25=0.96（千米/分），0.96×18=17.28（千米）。

[设计意图]通过此题，培养学生观察图像的能力，从图像中读取有效数量关系的能力，对数量关系进行分析判断的能力，根据有效数对的计算发展推理能力。同时，在数据和图像的对比中渗透斜率思想。

5.建构算式表征

在达到表格与图像表征的深度认知后，进一步对正比例和反比例进行数学模型抽象，即用算式表征。下面的练习就是着眼于此要点而设计的。

例题2：有a、b、c三个相关联的量，并有ab=c。

当c一定时，a与b成（ ）比例关系;

当a一定时，b与c成（ ）比例关系;

当b一定时，a与c成（ ）比例关系。

（学生完成过程略）

师：数学学习不仅要埋头于当下，更要抬起头来眺望远方。正反比例并非全新的知识，本质上是对“两个量之积等于第三个量”进行形态变化而已。

[设计意图]在前测中我们发现，学生采用解析式表示正反比例甚少，这可能是解析式表征的抽象性对他们有较大难度。但是，在表格和图像这两种直观表征得以充分认知后，学生再进行数学模型的抽象，用算式表征，就水到渠成了。

三、总结与拓展

1.统整单元内容，紧扣表征素材

在学生局部认知正反比例的基础上，如何提炼思想从而实现单元内容整体感知呢？本课例运用“三表、三图、三式”——“三表”从数量关系变化的角度引导学生感受正反比例的特点，“三图”从数形结合的角度感受正反比例特征，“三式”则抽象出正反比例的数学模型，打通不同表征之间的内在关联，实现认识的再提升。通过在表格中抽象出关系式、图像中抽象出关系式等，贯穿对数量关系的整体分析。

2.立足儿童视角，逆向设计问题

根据正反比例的数学本质，设计挑战性问题，引发学生广泛参与、深度思考。要充分利用学生前测中“原生态”作品（残缺的正反比例图像）作为引发思考的着力点，按照教材的逻辑顺序进行教学设计。本节课立足学生的元认知，让学生经历逆向思维的学习，并在此基础上进行思辨，努力实现认知的自我修复和提升。

由此，我们可以得到单元整合课教学的基本经验：对于学生已经掌握的内容，采用前测来获取学生的原认知，找准学生的认知顺序;通过对单元的整合提炼文本的逻辑顺序，实现有机镶嵌，达到学生对数学本质的深度理解。