“图形与几何”数学实验教学案例举隅

【摘 要】“图形与几何”这部分课程内容的教学，可以結合学生实际，设计一些能引导学生探究发现的实验活动，让学生在实验探究的过程中掌握知识、形成技能、感悟数学思想方法、积累数学活动经验。

【关键词】数学实验;动手操作;初中数学

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2021）37-0048-05

【作者简介】黄秀旺，南京市江宁区教学研究室（南京，211100）副主任，高级教师，江苏省特级教师。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011年版课标”）非常重视数学实验教学，如2011年版课标在“课程基本理念”中指出“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”。数学实验是一种探索性学习活动，在实验过程中，学生的手脑眼都要“动”起来，这样的活动有利于促进学生全面发展，也是提高学生数学核心素养的重要途径。

“图形与几何”是2011年版课标界定的课程内容之一，内容包括三个部分：图形的性质、图形的变化、图形与坐标。我们可以把这些内容分为数学概念，数学基本事实，数学规律（定理、公式、法则、运算规律），问题解决（或知识应用）四大部分。认真研究这些内容就会发现，大部分内容都可以通过教师设计的问题，引导学生做数学实验活动完成学习任务。以下笔者举部分案例来作说明。

一、数学概念

数学概念是构成数学教材的基本结构单位，是数学知识的核心。数学公式、法则、规律和定理等都是反映数学对象和概念之间关系的具体知识。概念学习至关重要，数学概念本身就是2011年版课标强调的基础知识，是学生感悟基本思想和方法的载体，也是学生进行分析、判断、归纳与推理等活动的重要依据。

对于从现实生活中抽象概括而来的一些数学概念，我们可以充分利用实物模型或通过数学实验来学习。

案例1：全等形与全等三角形的引入过程。

（1）观察下面三组图片，你能发现什么现象？你能把每组中的两张图片叠合在一起吗？

（2）观察图2中的左、右两个图形，二者的形状和大小分别有怎样的关系？你能验证这些关系吗？相互交流。

（3）每个同学先任意剪一个三角形硬纸片，在三个顶点处标上A，B，C，记为△ABC。两个同学作为一组互换自己剪好的三角形硬纸片。

（4）每个同学以手中拿的三角形硬纸片为“模板”，再剪一个与其完全一样的三角形硬纸片，记为△A'B'C'（图3），请问△ABC与△A'B'C'能重合吗？他们是全等形吗？

【设计意图】全等形是指能够完全重合的两个平面图形，而全等三角形是全等形的子概念，在现实生活中有着广泛的应用，所以在现实生活中存在着大量的“原型”或“模型”。根据2011年版课标在“教材编写建议”提出的“呈现内容的素材应贴近学生现实”的要求，我们设计了上述4个小问题。在学生观察、思考（1）（2）问题的基础上，教师给出全等形的概念。问题（3）（4）是引导学生进行实验操作的环节：学生通过自己剪硬纸片三角形的活动可以很自然地发现图3所示的△A'B'C'与△ABC是全等的。

教学时，教师可拿着某个学生剪好的硬纸片三角形进行演示，让学生自己发现这个同学剪的硬纸片三角形与它的三角形“模板”是完全重合的，所以这两个三角形是全等三角形，并及时给出对应顶点、对应边和对应角的概念。

“图形与几何”中的很多概念，如轴对称、轴对称图形、线段的垂直平分线、角的平分线、位似图形、圆的切线、割线等，都可以在教师创设好的问题引导下，让学生动手实验，再给出这些概念。这样导学有助于学生动手操作能力、创新发现能力的形成与发展，能培养、发展和提高学生的数学核心素养。

二、基本事实

2011年版课标在“图形与几何”部分给出了九个基本事实：①两点确定一条直线;②两点之间线段最短;③过一点有且只有一条直线与这条直线垂直;④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，则两直线平行;⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;⑧三边分别相等的两个三角形全等;⑨两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

对于这些基本事实，几乎都可以通过实验，让学生自己发现。

案例2：“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”的发现过程。

2011年版课标给出的第五个基本事实是“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”。对于这个基本事实，我们可以引导学生通过下面的实验自主发现：

（1）P是直线a外的一点，请按照下页图4所示的步骤，利用三角尺和直尺过点P画直线b，使b∥a。

（2）请用自己的语言把画图的步骤叙述出来，并相互交流。

（3）你认为经过点P能画几条与已知直线a平行的直线？相互交流。

【设计意图】第一个问题是让学生按照图4给定的程序进行画图活动，这个程序展现了利用三角尺和直尺过直线外一点画已知直线平行线的全部过程。

教学时，教师应要求学生正确理解图4中四个图例的意义，并把握好操作要点：①把三角尺的斜边与已知直线a重合;②把直尺紧靠三角尺中的短直角边;③用左手按住直尺不动，右手将三角尺沿直尺向上推动，一直推到三角尺的斜边恰好经过点P为止，这时沿上面三角尺的斜边画出直线。按照这三步画出的图形④中的b就是所要画的图形，即b∥a。在学生理解了图4中四个图例的意义并画出直线b以后，自然就能对第二个问题给出准确的叙述。在画图的基础上，经过相互交流，学生对第三个问题也能给出确定的回答。

对于基本事实，除了要求学生能自主发现外，还要让学生能利用这些基本事实完成下面任务：（1）证明涉及线段、角、直线、三角形、四边形性质的约40个定理;（2）探索圆、相似形的一些性质;（3）了解圆、相似形中某些定理的证明。

三、数学规律

这里的“数学规律”泛指2011年版课标中的数学定理、公式、性质、法则、运算规律等。对于数学规律，几乎都可以让学生在实验操作的过程中自主发现。

案例3：勾股定理的逆定理的发现过程。

（1）首先取一根长度为24cm的细绳，将它首尾接在一起，然后用细绳围成一个△ABC，使三边的长度分别为AC=6cm，CB=8cm，BA=10cm，最后用图钉把△ABC钉在一块木板上（图5）;

（2）验证△ABC各边的长度是否满足a2+b2=c2;

（3）用量角器度量∠C的大小，你有何发现？由此得出怎样的判断？

（4）再取一根长度为30cm的细绳，围成一个边长为5cm，12cm，13cm的三角形，然后重复（2）（3）两个步骤（图6）。你有何发现？

（5）一般地，如果△ABC的三边为a，b，c（图7），且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形吗？你能给出证明吗？

【设计意图】2011年版课标要求“探索勾股定理以及逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题”。为了让学生通过实验、操作等系列活动，得到边长分别等于a，b，c且满足a2+b2=c2的三角形是直角三角形，我们设计了上面的实验活动。

学生在第（1）个问题引导下，通过动手得到了一个边长分别为6，8，10的三角形，通过计算发现它三边的长度满足a2+b2=c2，在用量角器实际度量的基础上，得出△ABC是直角三角形的结论。为验证结论具有普遍性，又作了边长分别为5，12，13的三角形，得到了相同的结论。于是由“实验—计算—度量”等活动猜想出勾股定理的逆命题是正确的。为了用数学的方法给出一般性的证明，设计了问题（5），学生对这个问题的证明可能有一定的难度，教学时，教师要给出必要的点拨，引导学生利用“同一法”给出证明，从而得到勾股定理的逆定理。有了这个定理，学生就可以根据三角形的边长判定它是否为直角三角形了，这个方法实质上是运用代数方法解决几何问题，用三角形“边长”的数量关系，判断三角形“形状”的性质，在这个过程中，学生可以感受到数学内部“数与形”之间存在的实质性联系。

四、问题解决

强化问题解决是2011年版课标提出的课程目标，实施问题解决教学能让学生“运用数学的思维方式进行思考”，并且增强学生发现问题、提出问题的能力以及分析问题、解决问题的能力。在进行问题解决教学时，需要解决的问题往往有个产生的“背景”，这就是教师应下力气“探索设计”的地方。通过实验操作给出问题情境是常用的方式之一。下面的这道中考题为这样的教学设计提供了一个有益的尝试。

例4：折叠正方形中的问题。（2019年山西中考卷）

动手操作——

第一步：如图8①正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平，再沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上。此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为CE，CF。如图8②。

第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图8③。

第三步：在图8③的基础上继续折叠，使点C与点F重合，得到图8④，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图8⑤。图中的虚线为折痕。

问题解决：

（1）在图8⑤中，∠BEC的度数是   ，[AEBE]的值是   ;

（2）在图8⑤中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由;

（3）在不增加字母的条件下，请你以图8⑤中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：     。

【思路分析】（1）通过折叠转化角相等，进而利用内角和求∠BEC的度数，再利用45°的三角函數解决线段的比值问题;（2）第1问启示我们可以通过折叠求角的度数，进而得到四边形各内角的度数为90°，利用三个内角为90°的四边形是矩形，进而可以判定四边形是矩形;（3）利用多次折叠可以得到很多相等的线段以及互相垂直的线段，可以利用四边相等的四边形是菱形或对角线互相垂直平分的四边形是菱形来得到符合条件的菱形。

【设计意图】考题以学生常见的“正方形”为出发点，以反复折叠正方形纸片为手段，分为“动手操作”“问题解决”两大环节，第一个环节“动手操作”部分，对一个正方形纸片进行了连续的三次折叠，并且给出了四个折叠图以及打开后的图形⑤;第二个环节“问题解决”部分，针对图形⑤提出了三个问题要求学生解答。题目主要考查的知识点有折叠、三角形内角和、三角函数、矩形、菱形等，属于综合性的“压轴题”。这样的问题有助于培养学生的数学阅读理解能力、动手操作能力、猜想发现能力以及数学推理能力等。

从以上案例看，“图形与几何”部分的很多内容都可以通过实验操作而获得。教师应认真研读教材内容，结合学生实际，在学生的“最近发展区”内设计一些能引导学生通过实验活动去探究的问题，让学生在实验探究的过程中达到掌握“四基”，形成技能，感悟思想方法以及积累数学活动经验的目的。

【参考文献】

[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]李树臣.中学数学课程内容选取的原则[J].中学数学，2010（6）：1-5.