拟齐次核的半离散Hilbert型不等式的最佳搭配参数

洪勇，陈强，吴春阳

(1.广州华商学院应用数学系，广东广州511399;2.广东第二师范学院计算机科学系，广东广州510303;3.广东白云学院数学教研室，广东广州510450)

1.引言与预备知识

设r＞0，α∈R，分别定义序列空间与函数空间(0，+∞)为:

若分别定义级数算子T1与积分算子T2为：

则T1可实现序列空间到函数空间的映射，T2可实现函数空间到序列空间的映射.根据Hilbert型不等式的基本理论，式(1)等价于

因此半离散Hilbert型不等式的研究对于讨论T1与T2的有界性和算子范数具有重要意义.

设G(u，v)是λ阶齐次函数，λ1λ2＞0，则称K(n，x)=G(nλ1，xλ1)为拟齐次函数.显然拟齐次函数K(n，x)具有性质:对∀t＞0，有

若选择搭配参数a，b，根据Hlder不等式并利用权函数方法，可得下面形式的半离散Hilbert型不等式

一般地，任意选取的搭配参数a，b并不能使式(3)的常数因子M(a，b)最佳.只有选择特定的a，b，才能使M(a，b)是最佳值.目前，在国内外期刊中，许多的文献通过选取最佳的搭配参数，已获得了若干具有最佳常数因子的Hilbert型不等式.[1－10]本文对拟齐次核的半离散Hilbert型不等式，研究最佳搭配参数的充分必要条件，并讨论其在算子理论中的应用.

引理1设G(u，v)是λ阶齐次非负函数，设=1(p＞1)，a，b∈R，λ1λ2＞0，K(n，x)=+λ，K(t，1)t－aq在(0，+∞)上递减，记

则λ1W2(a，q)=λ2W1(b，p)，且

证由拟其次函数的性质，并根据有

故λ1W2(a，q)=λ2W1(b，p).

根据K(t，1)t－aq在(0，+∞)上递减，有

类似可证

2.最佳搭配参数的充要条件

定理1设G(u，v)是λ阶齐次非负可测函数，设=1(p＞1)，a，b∈R，λ1λ2＞0，K(n，x)=G(nλ1，xλ2)，=c，K(t，1)t－aq及K(t，1)t－aq+λ1c/p在(0，+∞)上递减，且

(ii)当且仅当c=0即+λ时，式(4)中的常数因子是最佳的.当c=0时，式(4)化为

证(i)以a，b为搭配参数，根据混合型Hlder不等式和引理1，有

故式(4)成立.

(ii)充分性:设c=0.由引理1，有λ1W2(a，q)=λ2W1(b，p)，从而同时由c=0还可得α=apq-1，β=bpq-1，故式(4)可化为式(5).

若式(5)的最佳常数因子为M0，则且

取充分小的ε＞0及足够大的自然数N，令

则可得

于是

令ε→0+，得

然后令N→+∞，得

并经简单计算可得

于是式(4)可等价地写为

根据假设，式(6)的最佳常数因子是

于是得到

注记

则式(4)中的常数因子最佳的充要条件是Δ=0.今后称此Δ为判别式(4)常数因子最佳的判别式.

若K(n，x)=G1(nλ1/xλ2)，因G1(u/v)是0阶齐次函数，于是由定理1可得下列推论1.

推论1设a，b∈R，λ1λ2＞0，K(n，x)=G1(nλ1/xλ2)非负可测，

(ii)当且仅当c=0即时，式(9)中的常数因子是最佳的.当c=0时，式(9)化为

3.应用

根据半离散Hilbert型不等式(1)与式(2)定义的算子T1与T2的关系，由定理1可得下列定理2.

定理2设G(u，v)是λ阶齐次非负可测函数，=1(p＞1)，a，b∈R，λ1λ2＞0，K(n，x)=G(nλ1，xλ2)，K(t，1)t－aq在(0，+∞)上递减，α=apq-1，β=bpq-1，算子T1与T2如式(2)所定义，且

汽轮机排出的乏汽以直接空冷系统为主要冷却方式，在此基础上配置改进型海勒式间接空冷系统，从主排汽管道抽取部分乏汽送入DICSSAC，如图1所示。DICSSAC作为辅助降低背压的一种优化措施，可提高机组真空度，使机组安全、经济运行。蓄冷是指夜间低温时段，干式空冷换热器分出一半冷却单元用来冷却凝结蓄冷水箱里的循环冷却水。在第二天高温时段，蓄冷水箱里的低温循环冷却水与流出干式冷却塔的较高温度循环水按一定比例混合，喷入喷射式凝汽器，进一步降低背压[7]。

推论2设=1(p＞1)，λ1＞0，λ2＞0，a≥0，b≥0，a/b，α=且

级数算子T1与积分算子T2分别为:

则T1:及都是有界算子，且T1与T2的算子范数为

证记

则G(u，v)是-a阶齐次非负函数.

在(0+∞)上递减.

在推论2中取b=0，可得推论3.

推论3设定义级数算子T1与积分算子T2分别为:

在推论2中取a=0，可得推论4.

推论4设=1(p＞1)，λ1＞0，λ2＞0，b＞0，max＜σ＜0，α=定义级数算子T1与积分算子T2分别为: