具有三类商品市场的一般均衡价格的动力学研究

杨宇哲，汪芳

(武汉理工大学经济学院，湖北武汉430070)

1.引言

一般均衡理论是“局部均衡论”的一般化，是关于整个经济中，商品和生产要素的价格以及供求量决定的一种经济理论和分析方法.当今经济学主要研究的对象为产品市场、要素市场等局部市场的均衡问题.但在现实中，生产要素的价格与商品的价格往往是相互影响的，例如高科技附加值的产品，因为技术以及科研的投入使得其商品价格的偏高等等.因此，将一般均衡理论研究的视角从局部市场到整体市场更符合现实的客观市场，也更能解决实际问题.探讨整体市场产品价格的稳定性，则对经济发展有着至关重要的意义.

诺贝尔经济学奖、约翰·贝茨·克拉克奖得主、新古典增长理论的奠基人索洛认为，竞争性的一般均衡理论是目前为止唯一可以作为包罗一切的理论候选者.一般均衡理论在经济学上的分析价值主要体现在对市场经济的社会福利效应作出解释；对市场经济的效率进行评价；作为宏观经济的分析工具对宏观经济进行分析研究[1].

众所周知，市场均衡价格的稳定性是经济学中一个具有十分重要意义的课题[2－9].然而，由于市场经济运作机制的复杂性，迄今没有统一的稳定性理论，甚至对三类商品的稳定价格机制也没有一般的理论.因此人们往往针对不同的情形依据不同的假设对此进行研究.比如，Walsh等[10]针对两类商品的情形就满足一定市场条件的均衡价格的唯一性和稳定性做了深入的探讨.

Keenn等[11]在讨论市场动力学时，要求过度需求函数的雅可比矩阵满足对角线元素为负，并称之为需求律(law of demand)，在此条件下对市场动力学给予初步理论探讨.Mukherji[12]在满足解需求律的trDpZ(p)＜0的情形下讨论了三个商品的经济系统行为，在一定的假设下得到了均衡价格的全面渐进稳定性.

本文运用平面动力系统的定性理论，进一步研究了具有三类商品市场的一般均衡价格的动力学问题.证明了具有三类商品市场价格动态系统的吸引区域的存在性.特别的，本文运用单调动力系统理论证明了不满足需求律的市场在满足有总替代关系条件下，市场均衡价格仍然具有吸引性这一新颖结果.

考虑微分方程

定义1.1给定一点y∈Rn，若存在一个时间序列tn→∞，n→∞，使得

那么y称为解φ(，tn)中的一个极限点，简称为的极限点，所有的极限点构成的集合称为的正向极限集，表示为ω().

文[13]对平面系统有如下基本结果：

引理1.1设解φ(，t)，t∈[0，∞)含于R2中的一个有界闭集K，且K中含有有限个平衡点，则必有如下情形之一:

(i)ω()是一个平衡点;(ii)ω()是一周期解;(iii)ω()是连接有限平衡点的异宿环.

2.三类商品的均衡价格动力学分析

三个商品的价格动力学可由三维向量函数

刻画.其中Z(p)是过度需求向量函数，={p=(p1，p2，p3)|p1≥0，p2≥0，p3≥0}是价格空间，={p=(p1，p2，p3)|p1＞0，p2＞0，p3＞0}，依据文[13]我们假定Z=(Z1(p)，Z2(p)，Z3(p))，且满足以下条件：

(A1)Z(p)连续可微.并满足瓦尔拉斯条件及零阶齐次条件:

(A2)Z=(Z1(p)，Z2(p)，Z3(p))满足边界条件：

由条件(A1)可得系统(2.1)本质上是一个二维系统.因此，不失一般性，依照惯例，让商品3作为计价标准，于是可令p3=1，转而考虑如下平面系统：

关于系统(2.4)有以下事实：

引理2.1[12]假设(A1)、(A2)条件成立，则存在εi＞0，i=1，2;使得若pi≤εi则Zi(pi，pj)＞0，i/j.从而得出：是系统(2.4)的正向不变集.

下面我们证明一个重要结论：

定理2.1存在一个有界集合D⊂使得D是一个吸引区域，即对任一P∈，式(1.2)中的以P为初始条件的解φ(t，p)，满足存在T≥0，当t≥T时，φ(t，p)∈D.

证令其中，ε1，ε2如引理2.1所定，考虑函数则该函数沿系统(2.4)解对时间的导数为

现在考虑函数p1Z1(p，1)+p2Z2(p，1)，由瓦尔拉斯条件可得，对任一(p，1)=(p1，p2，1)，有

从而

由边界(A2)可得，存在r＞0使得当＞r时，有Z3(p，1)，于是只要有‖p‖＞r，便有

作为定理2.1的推论，有以下结论：

推论2.1使得Z(，1)，即存在均衡状态.

注文[11]中仅证明系统(2.4)的解有界性，本文则证明了吸引域D存在性这一更强的结论.

定理2.2假定在吸引域D中不变号，则有

(b)若D中有p满足0，则有≤0.

证设φ(t，p)是系统(2.4)的以p为初始条件的解，由常微分方程理论知，给定t＞0，则得到吸引域D上一个映射，即φ(t，p):D→D是一个可微映射，并且φ(t，p)⊂D，由刘维尔公式推可得

故若有p∈D，使得便有D的像φ(t，D)的面积A(φ(t，D))大于D的面积A(D)，但φ(t，1)∈D，由上定理假定可得对D中任意区域⊂D都有因此，必有≤0.

这表明系统(2.4)在D中不能有同周期轨，同宿轨及异宿环，由平面系统的极限理论[13]知，对D中的任意一点p，其极限集ω(p)只能是平衡点.证毕.

3.不满足需求律的均衡价格分析

在实际市场的交易过程中，购买生活必需品时，消费者的需求-价格弹性可能出现等于零甚至大于零的情况(如疫情后豪华车优惠力度小销量却更大，或消费者购买吉芬商品时)，从而＜0不一定成立.因此考虑不满足上述需求律的价格均衡动力学是十分有意义的.迄今为止，不满足需求律的情形研究似乎还没有见诸于文献.本节我们将讨论在需求-价格弹性不严格小于零的情况，为此，我们将讨论市场产品满足总替代关系条件下均衡价格是否还具有某种稳定性.

定义3.1如果超额需求函数满足

那么我们就称该市场上的产品具有总替代关系.显然满足定义3.1、定理2.2的系统(2.4)是一个二维合作系统，为此我们回顾以下一个相关定理：

设K⊂Rn是一个具有非空内部的锥，给定一个系统

对任一x∈Rn，考虑其对应x点的线性系统：

其中Df是f在x处的雅可比矩阵.

定义3.2若对任一x∈Rn，K都是线性化系统(3.3)的正向不变集，那么系统(3.2)称作K-合作[14]系统.

为方便本节的讨论，我们将引用下述结果，其详细讨论见文[12].

引理3.1假定f是区域D⊂R2上的一个K-合作系统，如果φ(，t)∈D，t≥0并且D是紧致的，那么ω()是一个单平衡点.

本节的主要结论如下：

定理3.1若系统(2.4)满足总替代关系的条件，则任意价格p∈都将趋于一个均衡价格.

证令K=，以下证明系统(2.4)在是一个-合作系统.

首先证明若矩阵

满足a12≥0，a21≥0，则系统是系统(1.1)的正向不变集，在正半轴{x1≥0，x2=0}上有

在正半轴{x1=0，x2≥0}上有

由于定理2.1中的D是一个吸引域，并且是有界闭集，故以中任一点为初始条件的正半{φ(p1，t)，t≥0}都含于一个紧致的集合中，于是由引理3.1知，中任一解都趋向于均衡点，特别地若价格均衡点唯一，则该均衡点是全面吸引的.

4.结语讨论

在本文中，我们运用平面动力系统的定性理论研究了具有三类商品市场的一般均衡价格的动力学问题.具体的，我们证明了具有三类商品市场价格动态系统的吸引区域的存在性，特别的，我们运用单调动力系统理论证明了市场在满足产品满足总替代关系的条件下，三类商品市场均衡价格仍具有吸引性这一新颖的结论.

从完全竞争市场角度讲，一般经济均衡定理的稳定性往往考虑一般商品，却忽略了当商品的价格需求曲线向上倾斜或者与价格坐标轴平行的情况.这种情况在现实生活中是真实存在的：生活必需品的价格高低并不会影响个人对其的需求;新冠疫情结束后各4S店优惠力度小了，豪华品牌汽车销量却激增.这些经济现象中商品的价格是否也存在均衡点？特别的，当三类这样的商品存在于一个市场时是否存在均衡的价格？如疫情过后，豪华车的价格上涨需求反而增加，那么在豪华车市场上宝马、奔驰、奥迪三种品牌车辆是否存在均衡点？对这个问题的探讨是十分新颖且有必要的，在满足具有总替代关系的三种商品市场上的价格若存在均衡点则能很好的解释疫情以后出现的豪车价格与销量同时持续上升的经济现象.

经过本文的讨论，发现在三种商品满足总替代关系的市场情形下，即便商品不满足一般需求律也存在稳定的均衡价格.