数形结合思想在高中数学解题中的应用

洪伟强

【摘要】高考大纲明确指出：高考是在考查基础知识的同时，注重能力的考查，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面考查学生的综合素质.这就要求我们的教学要寓知识、技能、方法、思想于一体，在教学过程中不断进行数学思想方法的渗透，提高学生的数学素养，充分展现数学的科学价值和人文价值.本文论述了应用数形结合思想解题的方法，通过例题讲述这一重要数学思想在高中数学解题中的应用，并说明了运用这种思想解题的有效性与优越性.

【关键词】数形结合思想;渗透;数学素养;数学思想;人文价值

在教育教学实践中，我们发现学生在解题时往往不愿作图，或作不好图，不善用图，常常在解题时束手无策，陷入困境.实践证明，如果充分利用数形结合思想寻找解题思路，便能使问题化难为易，化繁为简，从而得解.所谓数形结合思想，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，在分析其代数含义的基础上揭示其几何意义，使数量关系和空间图形巧妙和谐地结合起来，并且充分利用这种结合寻找解题思路，使问题得到解决的数学思想方法.它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休.

高中数学中常用到数形结合的题型主要有：一是有关取值范围及最大值、最小值的问题;二是用代数方法较复杂、较难或无法下手的问题.常用的“结合”有：一是利用某些数学概念具有的几何意义;二是利用函数与图像的对应关系;三是利用曲线与方程、不等式的对应关系等.

高中数学中常用到数形结合的“形”是：数轴、坐标轴（系）、图像、图形、单位圆等.

1 數轴

1.1 借助数轴进行集合的运算

例1 设A={x| |x-a|<2}，B=x2x-1x+2<1，若AB，求实数a的取值范围.

解析 解不等式得A=（a-2，a+2），B=（-2，3），

要使AB，借助数轴，如图1，

则a-2≥-2且a+2≤3，则0≤a≤1，

即a的取值范围是0≤a≤1.

评注 我们在求函数的定义域、解不等式组时常常借助数轴，它比较直观、形象.

1.2 借助数轴解有理高次不等式

例2 解不等式x2+2x-23+2x-x2

解析 移项，整理，将原不等式化为

x3-x2-x-2-（x2-2x-3） <0 （x-2）（x2+x+1）（x-3）（x+1） >0x-2（x-3）（x+1） >0

借助数轴，如图2，利用数轴标根法，可得原不等式的解集为{x| -13}.

1.3 借助数轴求函数的最值

例3 求函数y=|x-2|+|x+3|的最小值.

解析 |x-2|+|x+3|的几何意义是：在数轴上求一点P，使其到两定点-3和2的距离之和最小，显然当点P在-3和2之间时，其距离之和最小，最小值是5.

评注 这里运用了绝对值的几何意义.

2 函数的图像

高中阶段的函数有：基本初等函数（I）、基本初等函数（II）.前者包括：正（反）比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数;后者是指三角函数，主要是正（余）弦函数、正切函数等.我们要熟练掌握它们的图像的特征，以及它们的平移、对称和翻折等变换.

2.1 借助函数的图像求函数的定义域

例4 设0≤a<1时，函数f（x）=（a-1）x2-6ax+a+1恒为正，求f（x）的定义域.

分析 若将f（x）改写成g（a）（0≤a<1），可知g（a）的图像是一条线段（无右端点），且位于a轴上方.

解析 设g（a）=（a-1）x2-6ax+a+1=（x2-6x+1）a+1-x2（0≤a<1），则g（a）是定义在[0，1）上的一次函数或常函数，故其图像是条线段（有左端点无右端点）.由已知，得g（a）>0恒成立，故线段应在a轴的上方，如图3，则g（0）>0且g（1）≥0，即1-x2>0且x2-6x+1+1-x2≥0，所以-1

评注 将f（x）改写成g（a），利用g（a）的图像使本题迅速得解.

2.2 借助函数的图像求函数的值域（最值）

例5 如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，那么f（x）在区间[-7，-3]上是（  ）.

A.增函数且最小值为-5

B.增函数且最大值为-5

C.减函数且最小值为-5

D.减函数且最大值为-5

解析 利用函数的性质，作出其草图，如图4，则选B.

例6 求函数y=x2+2x+2+x2-6x+13的最小值.

解析 此题应研究式子的几何意义.

y=x2+2x+2+x2-6x+13  =x+12+1+x-32+4  =x+12+0-12+x-32+0-22.

其几何意义是：在x轴上求一点P（x，0），使其到两定点A（-1，1）， B （3，2）的距离之和最小.

如图5，作B关于x轴的对称点B′3，-2，

连接AB′，与x轴相交于P，则

ymin=|AB′|=（-1-3）2+（1+2）2=5.

评注 这里利用了式子的几何意义，使代数问题的解答简单明了，也极大拓宽了我们的解题思路.首先要揭示代数问题的几何含义，把代数问题转化成几何问题，然后将符合题设条件的几何图形画出来，最后对直观的几何图形进行观察、思考，使我们可以更清晰地找出解决问题的关键.

2.3 借助函数图像求方程的根的问题

例7 方程 lg x=sin x的实根有个.

解析 此方程无法用代数的方法将其根求出，只能借助函数y=lg x和y=sin x在同一平面直角坐标系中的图像，观察交点个数，得到原方程根的个数.

如图6，可见它们有3个交点，故方程lg x=sin x的实根有3个.

例8 已知0

A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个

解析 在同一平面直角坐标系里作出函数y=a|x|和y=|logax|的图像，如图7，立即可得它们有2个交点，故选B.

例9 已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x-3-a.如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围.

解 若a=0，f（x）=2x-3，显然在 [-1，1]上没有零点，所以 a≠0.

由题，Δ=4+8a（3+a）=8a2+24a+4=0，得a=-3±72.

①当a=-3-72时，y=f（x）恰有一个零点在[-1，1]上;

②当 f（-1）·f（1）=（a-1）（a-5）≤0，即1≤a≤5时，y=f（x）也恰有一个零点在[-1，1]上;

③当y=f（x）在[-1，1]上有两个零点时，作图8、图9，则得

a>0，Δ=8a2+24a+4>0，-1<-12a<1，f（1）≥0，f（-1）≥0，或a<0，Δ=8a2+24a+4>0，-1<-12a<1，f（1）≤0，f（-1）≤0，

解得a≥5或a<-3-72.

因此a的取值范围是a≥1或a≤-3-72 .

评注 一元二次方程的实根分布问题常借助一元二次函数图像与x轴的交点特征来转化求解.

2.4 借助函数的图像解不等式

例10 利用函数图像解不等式：4-x2>-x-1.

解析 令y=4-x2，它的图像是以原点为圆心、半径为2的半圆，如图10.

画出直线y=-x-1.设直线与半圆的交点为A，

则不等式的解为xA

解方程4-x2=-x-1（-2≤x≤-1），

其解为xA=-1-72，

所以原不等式的解集为x-1-72

评注 该不等式为无理不等式，若将其转化为有理不等式组求解，要分类讨论，比较复杂，而利用图像、不等式与方程之间的关系解题，就比较简洁、直观.

3 数形结合思想在解析几何中的应用

只有对解析几何中定义、定理、公式以及圆锥曲线的方程、几何性质非常熟悉，才能够灵活转化.

例11 设P是双曲线x23-y2=1右支上一点，F2为右焦点，已知A（3，1），求|PA|+|PF2|的最小值.

解析 本題应由几何意义求解.设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的第一定义知，

|PF1|-|PF2|=2a=23，

所以|PF2|=|PF1|-23，

所以PA+|PF2|=|PA|+|PF1|-23≥|AF1|-23=26-23.

当且仅当A，P，F1三点共线时取等号.

高中数学具有知识量大、难度大、综合性强、系统性强、理论性强、对能力的要求高等特点，所以在整个教学过程中，教师要时时刻刻渗透数学思想.数形结合的思想就是一个很重要的数学思想，也是分析问题、解决问题的有力工具.在教学中，教师要善于捕捉知识之间的联系，促成它们的转化，要经常鼓励学生多类比，多联想，多总结，由简单到复杂，由低级向高级，由模仿到创新，不断构建、完善自己的知识体系.这样做一方面有利于学生牢固地掌握基础知识，同时有利于学生思维品质的优化，提高学生的数学素养.

数学的学习，不仅仅要善于解题，还要掌握具体问题中渗透的本质思想，挖掘更高层次的规律和方法，并升华为一类问题的共性，然后用这个共性解决所有相关的问题，这就是数学思想.