高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究

秦秀红

【摘要】不等式内容在高中数学教学体系中占比并不大，但与解不等式相关的算法和技巧却贯穿高中数学学习的始终.不等式如同高中数学的解题工具，甚至是解决函数问题、圆锥曲线问题、数列问题、三角函数问题过程中不可缺少的元素，且分类讨论思想、数形结合思想在不等式的解题过程中也有较明显的体现，这对学生数学思维的培养和锻炼具有积极的作用.基于此，本文首先借助具体的不等式高考试题，分题型分析了试题的命题意图和考试方向;其次，结合高中生数学学习的具体情况，针对不等式内容的教学提出了相应的教学策略，希望可以为广大高中数学教师提供有效参考.

【关键词】高中数学;不等式;高考试题;命题规律;教学策略

一、高中数学不等式高考试题分析

（一）考查不等式概念与性质的高考试题分析

例1 （2017高考山东理7）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是（  ）.

A.a+1[]b

B.b[]2a

C.a+1[]b

D.log2（a+b）

解析 因为a>b>0，且ab=1，

所以a>1，0log22ab=1，2a+1[]b>a+1[]b>a+ba+1[]b>log2（a+b），故选B.

例2 （2016高考新课标I8）若a>b>1，0<c<1，则（  ）.

A.ac<bcB.abc<bac

C.alogbc<blogacD.logac<logbc

解析 用特殊值法.令a=3，b=2，c=12，得312>212，选项A错误;3×212>2×312，选项B错误;3log212<2log31[]2，选项C正确;log312>log212，选项D错误.故选C.

试题分析：

（1）命题意图分析

这类题主要考查不等式的性质，以及指数函数、对数函数、幂函数的性质.此类题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力.

（2）考试方向分析

这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解.

（3）解题难点分析

比较指数式或对数式的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同或幂的指数相同，通常利用指数函数或对数函数或幂函数的单调性进行比较;若底数不同，可考虑利用中间量进行比较，也可以利用特殊值法.

（二）考查不等式常规解法的高考试题分析

例3 （2015高考江苏卷7）不等式2x2-x<4的解集为.

解析 由题意，得x2-x<2，即x2-x-2<0，故解集为（-1，2）.

例4 （2017全国Ⅰ理23）已知函数f（x）=-x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|.

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集;

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，求a的取值范围.

解析 （1）利用零点分段法把含绝对值的不等式问题转化为不含绝对值符号的不等式组问题来求解.将a=1代入，则不等式f（x）≥g（x）等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0，对x按x<-1，-1≤x≤1，x>1讨论可得解.

（2）当x∈[-1，1]时，g（x）=2.若f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，等价于当x∈[-1，1]时，f（x）≥2，则f（x）在[-1，1]的最小值必为f（-1）与f（1）之一，所以f（-1）≥2且f（1）≥2，得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1，1].

试题分析：

（1）命题意图分析

这类题主要考查一元二次不等式、简单的分式不等式以及绝对值不等式的解法.

（2）考试方向分析

这类试题若以选择题或填空题的形式出现，属于容易题，也可以是解答题，与不等式选讲相结合考查，难度中等.

（3）解题难点分析

解答此类问题，关键在于熟记常见不等式的解法.解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号.绝对值不等式的解法有三种：法一，利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想;法二，利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想;法三，通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.

（三）考查不等式的恒成立、恰成立、能成立的高考试题分析

例5 （2017高考天津理8）已知函数f（x）=x2-x+3，x≤1，x+2x，x>1，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥x2+a在R上恒成立，则a的取值范围是（  ）.

A.-4716，2      B.-4716，3916

C.[-23，2]D.-23，3916

解析 可将f（x）≥x2+a转化为-f（x）-x2≤a≤f（x）-x2去解决，由于涉及分段函数问题，因此，要遵循分段处理原则，分别对x的两种不同情况进行讨论，针对每种情况x的范围，利用极端原理，求出对应的a的范围.

试题分析：

（1）命題意图分析

本题考查绝对值不等式的性质，属于创新题，有一定的难度.它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，以及学生分析问题与解决问题的能力.

（2）考试方向分析

这类试题在考查题型上通常以选择题或填空题的形式出现，难度较大，往往是高中数学主要知识的综合题.

（3）解题难点分析

解决此类问题的关键为运用函数图像及其性质（数形结合）.在求解恒成立参数时，可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题，也可以画出两个函数的图像，根据临界值求参数取值范围，或者转化为F（x）>0的问题，转化为讨论求函数的最值或求参数的取值范围.对于判断不等式恒成立的选择题，一般采用举反例排除法，解题时可对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除.

（四）不等式选讲问题分析

不等式選讲试题的解法其实内嵌于不等式必考试题中，其涉及的绝对值不等式解法在前文已有所分析和论述，在此不再赘述.

二、高中数学不等式教学策略分析

（一）题型要分清，课后练习应具针对性

高中数学教师在讲解不等式内容时，应鼓励学生广泛做题，深入做题，紧跟课堂学习节奏，不掉队.从“刷题”角度分析，高中数学教师在讲解不等式内容时，应依据题型为学生准备具有针对性的习题，例如上文分析的四大题型.高中数学教师可收集、汇总相关题型的数学试题，试题可为高考模拟题，可为高考真题，也可为数学课本的课后练习题.要特别注意的是，高中数学课本的课后习题是高考出题的“范本”和高考数学提纲的“约束”，具有较高的参考价值.高中数学教师应引导学生积极做课本上的课后习题，尤其对于数学成绩偏差的学生.高中数学试题资料较为丰富，不管是学校统一购置分发的，还是学生自行在书店购买的，学生均可将其作为一轮复习和二轮复习的“刷题”资料，但必须注意的是，高中数学教师应引导学生“断舍离”，有重点地“刷题”，不能盲目，更不能蛮干.高中生的数学成绩往往差距较大，不同学生的审题习惯、思维习惯以及计算习惯不同，“刷题”的效果也显示出较为明显的差异.高中数学教师在带领学生做题时，应指导学生依据自身的实际情况选择试题，在明确了具体的做题方向后，再深入复习.教师在布置课后习题时，量不能太大，兼顾复习进度的同时，应确保不同层次的学生在课堂中均可有所收获.因此，高中数学教师可将课后习题分等级，给不同层次的学生分发不同的习题，对不同层次的学生给予不同的做题指导，从而提升学生课后练习的针对性.

（二）练习册用来“看”，做题需要先“看题”

学生在学习新知识或者复习解题方法时，对没接触过的、遗忘了的知识内容需要付出更多的时间成本.高中数学教师在课上往往也只是讲解例题后，便要求学生完成相应的课后作业，其实，此间缺少了一个非常关键的过程，即“看题”.“看题”指的是学生接触到新的知识或复习了难点知识后，不应直接“刷题”，而应准备一本练习册，专门用来“看题”，将此类型题看十道，把此题型的解题步骤琢磨十遍，书读百遍其义自见，“看题”的作用即为此.学生通过“看题”，可更全面地掌握不同类型题目的解法，进而在后续的“刷题”过程中，会“下笔如有神”，在解题思路上不至于无从下手.换言之，“看题”的过程是为学生提供解题思路的过程，虽然学生不经历此过程，在实际做题中依旧会积累相关的解题经验，但此经验的积累效率往往较差，会多走弯路.基于此，高中数学教师应引导学生多“看题”，多体会和理解解题过程中的思想.数学的解题过程在一定程度上也可看作“模仿”的过程，而此“模仿”在经历了“看题”的过程后，会更精致、准确.

（三）课堂讲解应控制节奏，提问应具针对性

高中数学的教学过程较为复杂，整体教学难度也较大，虽然从试题内容角度分析，高中数学题的解题过程或者整体计算量并不大，但受限于高中生的实际能力水平，大部分学生在学习数学时依旧感受到比其他科目更大的压力，并且此种压力会使得学生在课堂中表现出消极、懈怠的情绪，加之手机、漫画、小说等极易分散高中生注意力的事物的影响，导致高中数学课堂教学效果存在一定的不可控性，并且教学质量波动较大.很多学校设有重点班，重点班的学生成绩普遍较好，思维能力强，数学课堂教学效果往往较好，课堂教学节奏较快，学生回答问题也更具积极性，但普通班的学生就明显跟不上节奏.高中数学教师在讲解不等式问题时，可从命题意图、考试方向、解题难点等角度分析不同类型题的解题特点，进而针对此类特点设置相应的课堂问题，且问题是从试题出发，并非从学生的角度出发.所以在讲解不等式问题时，高中数学教师应控制课堂教学的整体节奏，保证讲一题，学生懂一题.为了确认学生是否真的懂了，高中数学教师应针对班级学生分层设置问题.针对成绩一般的学生，提问不等式概念、性质类问题，针对成绩中等的学生，提问常规解法类问题，针对成绩较好的学生，提问不等式的恒成立、恰成立、能成立类问题，进而全面了解学生对不等式解题方法的掌握程度，为布置课后练习题提供更全面、更具体、更有效的参考.

三、结束语

总之，从内容角度讲，不等式类型题的考查内容不多，但由于不等式渗透在高中数学的各个角落，已然成为学生在解题时必须计算和求解的内容.高考试题一般不会针对不等式单独出题，如果题型被限定在了填空题或者选择题，往往难度较低.不等式一般会嵌套在具体的大题或者综合性较强的选择题和填空题中，作为解题的一部分出现.高中数学教师应结合学生的实际情况，细化教学过程，无论是在课上提问方面，还是在布置课后作业方面，均应更具针对性，尤其要注意“看题”方法的引导，促使高中生在学习不等式、解决不等式问题时有章可循，有法可依.