微积分教学中一般的二项式定理及其应用

宋 健 达朝究

([1]内蒙古工业大学理学院 内蒙古·呼和浩特 010051；[2]西北民族大学数学与计算机科学学院 甘肃·兰州 730000)

目前在微积分教学中反映出很多学生在微积分知识学习时，常常面对复杂的数学问题，不能够熟练地利用所学知识，对所给出的数学问题找出有效的方法解决这些复杂问题，特别在学习Taylor公式和Taylor展开这些较为复杂的内容时学生更加困难，往往不能把中学所学的数学知识与大学数学教学内容联系起来。对于这一问题，亟待数学教师对微积分内容提高认识，在实际教学中要注重数学公式的教学，引导学生对公式更加深次的理解，尽可能多地为他们多提供一些用数学公式进行解题的范例，鼓励学生多思考、多做题，从而提升学生对数学公式的认识，潜移默化地培养学生利用数学公式的习惯，让学生真正地将数学公式作为解答与数学相关实际问题的工具来使用，有效减轻学生学习微积分的压力，激发学生学习数学的热情，使他们认识到微积分教学目的是为后继学习专业知识提供强有力的数学工具。

另一方面，在对学生解答微积分问题过程中了解到，大多数学生之所以解题效率低下，往往都是将问题想得过于复杂，为了有效改善这一现状，应注重加强引导，让学生掌握基础的公式定理及其它们的内涵，才能够更好的帮助学生找出问题的解题思路，有效提高解题效率。

在微积分中Taylor公式是一个重要的公式，它不仅是分析理论的重要内容，而且在实际工程和计算数学等领域应用它的展开可以解决复杂的数学问题，如力学中的摄动方法、数学物理中的渐进方法都是Taylor展开的重要应用。由于大学低年级学习实数范围的微积分时，对Taylor展开只是不加仔细推敲地概略讨论了几个初等函数的展开。本文应用Taylor展开将二项式定理推广为一般的二项式定理，给出一般的二项式定理的证明及其在高次方根中应用。而Taylor展开在微积分教学中占据着非常重要的地位，针对该展开式的应用，将会帮助学生解决相当一部分数学难题。因此在实际教学过程中，教师还需要加强对Taylor展开教学分析，引导学生正确的使用Taylor展开进行解题，培养学生的解题技巧，最终达到降低高等数学学习难度，提升学生解题能力的教学目的。本文应用Taylor展开将二项式定理推广为一般的二项式定理，给出一般的二项式定理的证明及其在高次方根中应用。

1 Taylor展开

1.1 Taylor展开

1.2 Taylor展开的条件

2 一般的二项式定理

二项式定理不仅是初等数学中有着广泛的应用，而且在概率论与数理统计、微积分等有关高等数学的学习中占有重要的地位，特别是一般的二项定理应用更为广泛，如在近似计算求高次方根、数值计算中的误差估计、数值计算中判断选取计算方法收敛性的证明等都会用到一般的二项定理，在理论物理和力学方面特别是流体力学中为了将复杂的方程进行通过无量纲化或尺度分析的方法将其化成的我们熟悉的方程，同时也要保留主要的物理量都要涉及到一般二项定理的应用，关于一般二项定理的应用还诸多领域这里我们不再一一列举。但在微积分教学中关于它的推导和应用涉及的很少，为此我们应用Taylor展开给出其证明。

3 应用一般的二项式定理计算高次方根

从上述实例可以看出Taylor展开得到一般的二项式定理，可以简单而且精确地计算高次方根的值，体现出Taylor展开在近似计算中具有重要的地位，为数值计算特别是摄动法提供了坚实的理论基础。通过一般的二项定理说明Taylor展开是微积分教学的一个重要内容，不仅在理论分析方面有重要作用，应用也非常广泛。但在微积分课程中没有深入广泛的展开讨论，本文通过对二项定理的通过和例子也仅仅说明Taylor展开在高次方根近似的应用，还有很多其它方面的应用，以及多元函数的Taylor公式、Taylor展开及其应用等很多内容可以展开进一步的讨论总结，从而对Taylor展开有一个全新的认识与了解，为学习复变函数与积分变换中的级数理论打下坚实的基础。