初中二次函数中几种常见的解题方法

山东省曹县第一初级中学 孙 静

一、二次函数的基本内容

1.表达式

（3）a决定二次函数图像开口的方向和大小。当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下。a的绝对值越大，图像开口越小，反之越大。

二、二次函数的常见问题

1.最值问题

定义域是闭区间时，二次函数存在最大值和最小值，如果图像顶点横坐标在区间内，那么在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值（最大值和最小值）；如果不在，那么在区间两端点处各取一个最值。定义域是开区间时，二次函数只有图像顶点横坐标在区间内，才在顶点处取得一个最值，否则最值不存在。

2.三角形问题

该问题主要有两类，一是抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形；二是抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。一般在解这样的问题时，我们都会应用到平面几何的相关定理，比如等腰三角形三线合一、直角三角形的勾股定理、直角三角形斜边中线定理和射影定理，然后再结合两点间的距离公式及二次方程的求根公式、判别式定理、韦达定理等知识进行求解。从数学思想的角度看，一旦需要借助于几何数学来进行求解，不可避免地会应用到数形结合思想，有时还需要应用分类讨论思想和转化思想。

关于二次函数的解题方法，套用最经典的一句话就是：万变不离其宗。通过分析上述例题我们发现，只要牢记并灵活运用二次函数的公式和性质，很多问题都很容易解决，即便遇到二次函数与几何图形相结合的问题，借助几何图形的性质和定理也很容易轻松化解，但对于这类题型，难点在于学生如何能够将所有情况都考虑到，做到不漏解。