整体思想在数列定义教学中的应用

2021-06-05 02:53内蒙古自治区赤峰市喀喇沁旗锦山实验中学刘月飞
数学大世界 2021年11期
关键词:常数例题整体

内蒙古自治区赤峰市喀喇沁旗锦山实验中学 刘月飞

在数列的教学中,很多老师困惑的是对于较复杂的数列表达式,学生对于前后项的书写有困难,一不小心就容易写错,不能深层次地把握数列中项与项之间的变化关系。下面就把我个人在数列定义及等差数列定义(等比数列在此文中不做说明,教学策略类似等差数列)教学中的一点感悟做如下分享。

一、数列定义教学

数列定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项。数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫首项),排在第二位的数称为这个数列的第二项,排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以,数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,简记为数列{an}。

我们在数列定义教学中除了把以上内容讲明白之外,重点是对定义的拓展认知,一般情况下,学生只认识到{an}是数列,而对于如{an+1-an}、{an2+n}、{nan}等组合得到的数列,学生认知度不够,所以在教学中,我们就要渗透整体思想意识,让学生自由书写数列并写出它的项数变化,例如:

学生A:数列{an+1-an},首项是a2-a1,第二项是a3-a2,以后依次是a4-a3,…,an+1-an……

学生B:数列{a2n+n},首项是a21+1,第二项是a22+2,以后依次是a23+3,…,a2n+n……

学生C:数列{nan},首项是1a1,第二项是2a2,以后依次是3a3,…,nan……

教师可以组织小组讨论,让每一个学生都可以放开思想,任意书写数列,从而达到真正意义上的理解。如果每一位学生对数列的定义能上升到以上所述的理解,那么对数列定义的认知就会上升到一个新的高度,也进一步提升了学生对数学中换元思想的认知。

例题:设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,求{an}的通项公式。

二、等差数列定义教学

等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列。可符号表示为:an+1-an=d(d为常数,n∈N*)。

在等差数列教学的过程中,同样要对定义进行拓展,让学生从整体的角度去理解等差数列的定义。

学生A:等差数列{an+1-an},则有:(an+1-an)-(an-an-1)=d(n≥2,n∈N*,d为常数)。

学生B:等差数列{a2n+n},则有(a2n+n)-(a2n-1+n-1)=d(n≥2,n∈N*,d为常数)。

学生C:等差数列{nan},则有(n+1)an+1-nan=d(n∈N*,d为常数)。

这样让全班学生完全放开去书写,并得到相应的等差数列定义式,进一步提升学生的整体换元意识。对于等比数列定义的教学,可以让学生按等差数列的定义教学去自主研究,小组合作探究,很自然就可以达到目标。

例题:已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d,对任意的n∈N*,b是an和an+1的等差中项。设cn=a2n+1-b2n,n∈N*,求证:数列{an}是等差数列。

说明:此题就是要证(b2n+1-b2n)-(b2n-b2n-1)=常数(n≥2,n∈N*),学生要有整体意识来认知数列{b2n+1-b2n}(n∈N*)为等差数列。

总之,践行新课程理念,就是要实现全人的教育,而立德树人的任务就要在学科内完成。通过数学学习,应该达到培养学生有耐心、细心、有恒心、有毅力的优良品质的目标。那么,高中数学课堂教学评价就要以这个目标达成为核心,不仅关注教师对知识的传授,更要关注教师如何引领学生解决问题。从关注教师的“教”到关注学生的“学”,这一视角的转变,为传统的课堂教学评价注入了全新的内容。对定义的教学一定要关注定义的本质,要明白学生理解的误区,从而有针对性地进行教学,引领学生耐心地观察问题,细心地发现问题,有恒心地探索问题,有毅力地解决问题,把新课标理念融入数学课堂教学中。

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