谈三角变换中的方法与技巧

江门职业技术学院 陈洪新

在进行三角恒等式的证明时，通常大家熟知的是“从较繁的一端变形到较简单的另一端”“两端变形为同一式子”等这些基本的方法，除此之外，如“作差比较法”“作商比较法”“交叉相乘法”“定义法”“分析法”等都不失为一些好方法。本文就这些方法的使用做以简要的介绍。

此处仅以一例说明“作差比较法”“作商比较法”“交叉相乘法”“定义法”“分析法”的运用。在具体实施三角恒等式的证明时，还需用到一些重要的方法和技巧，如“变角法”“减函法”“降次、升次法”等。

一、变角法

在三角变换中，变角法是最基本的方法，此法通常是将不同的角化为同角后，再进行求解。但有时却是反其道而行之的（如例4的证法2），再者，变角的方式也是灵活多样的（如例3的证法2）。

注意：此证法中用到了倍角的余弦公式的变用（即cos4x=2cos22x-1）这一技巧。

此题可利用两角差的正切公式将半角化为单角来解，也可将单角转化为半角问题来解决。

证法1：

二、减函法

减函法，顾名思义，就是将式子中的函数名尽可能减少，通常做法是将式中的正切、余切、正割、余割转化为正弦、余弦来处理，但具体情况还得具体分析（如例4的证法2），例7则是采用了相反的思路来处理。

此题中有正切、正弦和余弦，且有四种不同的角，情况较为复杂，可采用“先角后函”的方法求证。不过此处的变角有些特殊，其是由简单的角变为复杂的角，变函也是由正弦、余弦变为正切。

在“变角法”和“减函法”两种方法中，一般优先采用“先角后函”（如例7），但也不能一味拘泥于此，如例8，则用“先函后角”的方法要更简便。

此题若用“先角后函”，需先展开tan(α-β)，过程烦琐，而用“先函后角”则较为简便。

三、降次、升次法

在三角变换中，降次、升次法的使用是比较重要的方法，尽管以降次法为主，但有时升次更能使问题得到较好的解决，常用诸如同角三角函数中的平方关系及倍角的余弦公式等来降次或升次，以起到化难为易的效果。

此题借助积化和差与和差化积公式、倍角的余弦公式，运用了变角法及升次法。

以上所述的变角法、减函法和降次、升次法可以说是三角变换中最常用的手段，也是较为基本的方法。在三角变换过程中，切记不可形成一种固定思维，要根据式子的具体情况灵活运用。