变式训练探究有感

广东省深圳市南山区蛇口育才教育集团育才二中 甄微微

现代数学课程标准指出，数学教学不仅要使学生获得数学基础知识、基本技能，更要使学生获得数学思想和方法，形成良好的数学思维品质，要通过各种途径，让学生体会数学思考和创造的过程，增强数学学习的兴趣和自信心，不断提高学生自主学习的能力。所以在教学中注重变式训练，可以促使学生的思维向多层次、多方向发散，有助于学生在解决问题时寻找类似问题的解决方法，从而培养学生自主分析问题、解决问题的能力。对于初中生而言，其数学思维的培养主要还是依靠课堂教学，因此，在数学教学中，一题多解、一题多变是数学老师在教学过程中常用的方法。

“将军饮马”问题是中考专题复习中的热点问题之一，涉及的知识有：两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系、轴对称平移等。问题背景可能为：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、抛物线等。知识比较综合，也比较难掌握。

【问题背景】

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】

如图1，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B，问：将军怎么走能使得路程最短？

图1

【问题简化】

如图1，在直线上找一点P使得PA+PB最小。

【问题分析】

这个问题的难点在于PA+PB是折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处需转化问题，将折线段变为直线段。

图2

【问题解决】

如图2，作点A关于直线的对称点A'，当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B，此时为最小值（两点之间线段最短）。

让学生体会转化的思路和方法，从“形”的角度找到取得最值时的点，进而就可以从“数”的角度求值了。

例1：【两定一动之点点】如图3，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，5）和（4，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是 。

图3

变式一：【一定两动之点点】如图4，在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN的周长最小。

变式二：【两定两动之点点】如图5，在OA、OB上分别取点M、N，使得四边形PMNQ的周长最小。

图5

变式一和变式二分别是两次作对称点转化为“两点之间线段最短”，让学生在巩固前面基本模型的同时，又提升了一点难度，符合学生的“最近发展区”，易产生成就感。

变式三：【一定两动之点线】如图6，在OA、OB上分别取M、N，使得PM+MN最小。

图6

变式三通过作一次对称转化为“直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短”，模型有变化，提升学生的灵活运用能力。

思考：“将军饮马”模型还可以怎样变式呢？

从以下两个方面入手：

（1）改变条件。

（2）改变结论。

小组内同学在组长的组织下完成，充分调动学生的积极性，主动探索、思考、总结，课上完成不了的课下完成。

每组派代表对上面所思考的问题进行分享，问题背景可以为：平行四边形、矩形、菱形、正方形以及二次函数等综合问题。结论可以为：线段和最小，三角形、四边形的周长最小以及求点的坐标等（如图7）。

图7

学生在分享的同时加深了对知识的理解和掌握，这也是知识不断内化的过程，同时能调动学生的积极性和创新精神。

变式四：如图8，已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问桥建在何处能使路程最短？

图8

图9

问题分析：考虑MN长度恒为定值，只要求AM+NB的最小值即可，问题在于AM、NB彼此分离，因此可以通过平移使AM与NB连在一起，即将AM向下平移，使得M与N重合，此时A点落在A'位置。显然，A'、N、B三点共线时路程最短（如图9），进而可求。

例2：如图10，已知直线l1//l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= 。

图10

让学生体会转化的数学思想，通过平移将问题转化为我们前面已经讲过的类型，这是初中数学学习中非常重要的一种方法。

思考：如图11，在直线上找一点P使得|PA-PB|最大，这样的点P是否一定存在？

图11

【课后反思】

一、通过一题多变，总结规律，培养学生思维的深刻性

学习了“将军饮马”的基本模型（两定一动之点点）后，让学生尝试通过改变题目的已知条件、结论的方法，体会“万变不离其宗”。可通过改变题目的已知条件，转变为以角、三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、抛物线等为背景的问题，总结规律，体会转化的数学思想；也可以改变结论，变为三角形、四边形的周长最小的问题以及求点的坐标等问题。变式训练的目的不是解决一个问题，而是解决一类问题，杜绝“题海”。通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性的问题，能够更好地培养学生思维的深刻性，进而触类旁通。

二、一题多解，通过变式培养学生的发散思维能力以及思维的严谨性

教学中要重视对数学知识的探究，满足学生求异心理的需求，发挥习题的变式功能，提倡解法的多样性，让学生能够感受因创新所带来的成功的喜悦。这里的一题多解包括一道题目有多个答案以及一道题目有多种解法。

例如：等腰三角形的一个内角为100度，那么它的顶角为_。

变式：等腰三角形的一个内角为50度，那么它的顶角为_。

类似的变式训练，不仅有利于根治学生对多种情况题目的漏解问题，也充分激励了学生，培养了他们的创新探索精神，在提升学生发散思维能力的同时，也培养了学生数学思维的严谨性。

三、引入小组竞争机制，充分调动学生的积极性和创造性

对于一题多变，在老师的引导下，充分鼓励学生通过小组交流、讨论的方式，在组长的带领下对题目的条件、结论进行变式，改变了单一的方式，同时也极大地调动了学生的积极性和创新精神。比如上面的“将军饮马”模型，引导学生进行讨论，进而总结出改变条件或结论的题型，增强学生的参与意识。

四、通过课后练习及时反馈学生的知识掌握情况，并及时反思、改进

可通过A、B卷练习的方法，及时反馈学生的掌握情况，发现问题及时讲评。许多数学习题看似不同，但它们的解题思路、方法是一样的，这就要求老师在教学中重视对这类问题的收集、比较，引导学生寻求解决这类问题的通法，让学生在这个过程中自主地感悟问题之间的内在联系，形成数学思想方法。

综上所述，变式训练是一个很好的载体，通过改变题目的条件、结论或方法的途径，加深学生对基础知识的理解、基本技能及思想方法的掌握，体会“万变不离其宗”，非常有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。在变式训练的过程中，极大地调动了学生学习数学的积极性，学生的解题能力也有所提升。但过程中也存在诸多不足，比如偶尔有个别学生会主动提出一些变式问题，但绝大多数学生依然是在老师的带领下被动地进行变式训练，再比如关于变式题目、例题、练习的选择，怎样能更加适合所教学生的实际，达到学生的“最近发展区”等问题，还需要在后续的教学过程中不断探索。