理解：从工具性走向关系性——由一道命题引发的思考

□ 董从发

在一次学校自己组织的测评中有一道题引发了教师们的讨论热情：批卷老师探讨如何评判学生的对错，任课老师探讨评价的意图与导向，教学中心则思考如何改进评价的形式与质量。此题之所以引起大家的讨论，是因为形形色色的答案彰显出学生的不同理解，而教师对不同答案的解读，折射出的是各自不同的教学观。这道试题的呈现，引起了教师对考什么、怎么考的思辨。

一、案例介绍

试题内容如下：聪聪在学习了“分数乘法和倒数”后，对“分数除法怎样计算”感到很好奇，于是他翻阅了数学书，发现书上是这样说的：“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。例如”聪聪虽然看懂了计算方法，但他在思考：“为什么除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数呢？”请用你喜欢的方法说明的道理。

从测试中可以发现，很多学生不知道该如何阐述算理，“说明道理”仅停留在“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”的算法上，或者“被逼着”用以往的“平均分”知识来解释（如图1）。

图1

这是两种比较典型但还不是最低水平的回答，测试中还有近10%的学生就是把算式抄一遍或干脆空着。

当然，也有学生能够从本质上理解分数除法的道理，并将自己的解题过程用“线段图+推理描述”的形式展现出来，其思维过程清晰可见（如图2）。

图2

二、命题解读

分数除法建立在分数乘法的基础上，是分数四则运算中的最后一项内容。这一内容与很多知识有直接的联系，如分数乘法的意义、算法及其应用，倒数、整数除法的意义、解方程等等。学习分数除法，一方面会加深学生对乘除法关系的理解，体会数学知识方法的内在联系，另一方面也为学生后续学习比和比例、百分数打下基础。该题的考查点在于：学生对分数相关知识内在的联系是否打通，对算理是否真正理解，能否用所学知识来解决问题这三个方面。

分数除法的计算方法并不难，大多数学生在教师未教学前就已经可以计算，所以很多教师在教学这一内容时往往一带而过，没有深入地引导学生思考讨论“为什么这样做”。这种粗放型的教学方式，表面上“赢得了”时间，让学生有充裕的时间巩固练习，但这种教学会造成学生对这一知识点的认识停留在“工具性”理解上，无法达到“关系性”理解的水平。本命题的落脚点就是考查学生对分数除法的理解，是记住其“形”，还是理解其“理”，学生的思维究竟达到了什么程度。

三、命题导向

一线教师常常有一种“你怎么考，我怎么教”的心理，所以要从源头上改进教师的教学，需要以命题评价为导向，引领课堂教学。本测试内容开放，答题的方式多元，可以见证学生对题目的多维理解。这与以往追求结果的命题方式不同，这样的命题关注的是知识形成的过程，展现的是学生的数学素养。命题者希望通过这道题目的测试提醒教师，命题检测的核心意义在于透过学生的解题过程，发现学生的解题策略、思考方式和思维品质，从而促进教师更好地反思教学、推动教学。

四、教学思考

透过评价再重新审视“分数除法”这一内容的教学，如何引导学生从“工具性理解”走向“关系性理解”？是否可以从对这节课教学的反思延伸开去，思考一类课的教学？围绕这些问题，呈现以下思考。

（一）反思交流，重构教学过程

测试后，通过反思测试中出现的问题，结合与同伴交流的结果，重新设计了“分数除法”这节课的教学过程。

1.问题引入，独立解决

2.交流反馈，建立连接

在反馈中，引导学生观察：你能看懂这两位同学的方法（如图3、图4）吗？

图3

图4

3.沟通方法，拓展研究

师：分数除以整数可以转化成乘这个数的倒数来算，那如果除数不是整数，该怎样算呢？

生：也可以算走1 千米需要多少时间，时间少的快。

师：这样的算式你会算吗？这样算的道理是什么？我们先来研究（师展示学生作品，如图5）

图5

师：你看懂了上面的哪些方法？

生：第①幅图中的方法是对的，但是为什么这样算没有说明白。

……

以上教学过程，学生不再仅仅把“除以一个分数等于乘以它的倒数”作为解决这类问题的工具使用，而是充分经历了知识的形成过程，深入地理解了除以一个分数与乘以它的倒数之间的关系。

事实证明，学生有分数乘法的学习经验，有分数与除法的关系等知识经验，教师只要大胆放手，舍得花时间，就能让学生的理解从“工具性”走向“关系性”。

（二）以点带面，思考同类教学

1.关注知识本源，厘清知识脉络

教学不能停留在知识的抽象层面，而要关注它的来龙去脉，从知识本源出发正确解读教材，向数学本质迈进。人教版六年级上册“分数除法”单元里安排了三个例题：分数除以整数，一个数（整数、分数）除以分数，分数除法解决问题。这是一个由易到难、循序渐进的过程。教师要引导学生理解除法是乘法的逆运算，分数除法本质上就是分数乘法。教学时可以从等式的意义、直观图、分数与除法的关系等学生已有的知识经验出发，再逐步沟通理解，引导学生建立模型。

在这一系列内容中，分数除以整数的算理，学生相对比较容易理解。他们可以通过直观操作，用折纸和画图数形结合的方法，分析、计算得出结果。而一个数除以分数的算理就比较难理解，教师可以引导学生通过画线段图，将新问题转化为已经解决的问题，在数形结合中理解算理、发现算法。同时，“除以整数”和“除以分数”这两类题都可以放入“总数÷份数=每份数”的关系中进行理解，前者是已知几份求每份数，后者是已知1份数的几分之几求每份数。在教学中，教师要关注知识的本源，引导学生厘清知识脉络，使学生深入理解所学知识，逐步建立良好的认知结构。

2.关注能力发展，提升思维品质

学生解决一个问题，运用到的数学能力远远不止一种，学生需要经历读取分析、推理认证、抽象概括等过程，检验的是综合应用各种能力的结果，如动手操作能力、问题解决能力、思维拓展能力等。如下面这个教学过程。

生：我觉得这里（如图6）应该填个小括号，这样看起来就明白除法变成分数了。

生：除号相当于分数线！

师：把你的想法写给大家看看！（如图7）

图6

图7

学生在完成个性化的算法建构后，通过生生间的相互启发、点拨、激励，不断修正，产生共鸣，达到对知识的深层理解。

综上所述，命题评价可以有效引导教师优化课堂教学。通过对评价内容、评价结果的反思，可以有效地促进教师教学方式的改变。如本次测试，通过对一道题目的深入分析，促进了教师的教学从重知识向重过程、由重“教”向重“学”的转变，让教师们更深入地体会到要在展现学生思维的过程中，发展学生的数学思维能力，提升思维品质。让学生从“工具性理解”走向“关系性理解”，这或许应该是小学阶段教学测评最重要的价值！