结构化学习的价值取向与路径探寻

□ 葛素儿

当前，数学教学依然存在着知识“碎片化”、教学“重复化”、学习“无序化”等低效现象，然而基于整体视角的结构化学习可以有效改变这一现状。所谓结构化学习，是指按照“点→线→面→体”的方式，将数学学习中的知识、思维和策略进行整体关联和融通，引导学生经历从“立结构”到“用结构”的建构过程，促进学生学习力的提升。在教学中，结构化学习可以采用以下路径推进（见图1），下面将从价值取向、基本路径和核心要素三个方面做简单阐述。

图1 小学数学结构化学习的设计与实施

一、小学数学结构化学习的价值取向

小学数学结构化学习可以改变立足一个知识点的线性学习方式，在立足整体的基础上推进，实现从“单一割裂的点状思维”向“整体融合的结构化思维”的转变。

（一）实现从“点状”到“网状”的知识结构化

小学数学结构化学习，可以充分把握知识体系内各组成要素之间相互联系、相互作用的方式，可以使“点状”的单个知识点形成“网状”的知识图，进而形成大概念统摄下的数学知识结构。

例如，“万以内数的认识”是“数的认识”教学的第三阶段。教学中可以基于位值原理，让学生借助动手操作、画图表征、语言表达等方式，体验十进位值制思想，整体融合数数、数的组成、大小比较、近似数等知识点，经历将知识点串联成线，再由线连成网的过程，同时有机渗透其他位值制计数法，沟通不同进制计数法的联系，初步建立“数的认识”的位值大概念，从而形成关于“数的认识”的结构化知识。

（二）实现从“单点”到“拓展”的思维结构化

根据可观察的学习结果（SOLO 分类评价法），可以将数学理解层次进行梯状刻画，分别是前结构水平、单点结构水平、多点结构水平、关联结构水平和拓展抽象水平。小学数学结构化学习能够改变线性的学习路径，基于整体视角推进，通过可视化的多元表征助力结构化的数学思维生成。多元表征是实际生活情境、操作模式、图像、口语符号和文字符号这五种表征之间的自主转化（见图2），这是一种从“单点”到“拓展”的结构化思维方式。

图2 Lesh提出的数学学习五种表征

通常在数学概念的学习中，教师会引导学生充分挖掘知识的核心元素，通过多元表征的思维方式对概念进行系统关联、转换与应用，在体现知识结构化的同时实现思维结构化。

（三）实现从“理解”到“迁移”的策略结构化

事实上，结构化学习是一个在情境问题中发现元素、在整体关联中理解建构、在应用创新中结构迁移的整体推进过程。在这个过程中，学生在对知识核心元素进行系统关联的基础上，也对核心方法策略进行提炼、归纳与应用，实现从“理解”到“迁移”的策略结构化。策略的形成需要经历“日常渗透—整体感悟—反复体验”的结构化过程。

例如，线段图策略的运用过程是由问题“文字表征”向“图形表征”再到“符号表征”的转换过程，如在教学“求比一个数多几或少几”时，教师可以扶着学生经历从实物图到符号图再到线段图的“立结构”过程。在教学“求一个数的几倍是几”时，教师可以放手让学生经历“用结构”的自主迁移过程，在对实物图、符号图和线段图不同抽象层次的思维图式进行求同与求异的思辨过程中，让线段图表征策略结构化。

二、小学数学结构化学习设计的基本路径

整体建构，意味着无论在学习的哪个环节，都需要教师以结构化的思维去引导学生进行结构化的学习。教学中，教师需要把一个个知识点、能力点、思维点放在单元结构、领域系统中进行整体把握，凸显知识的本质要素，挖掘知识间的关联要素，关注策略性知识的学习，促进学生的理解与迁移。

（一）基于课时视角，凸显本质元素

课时是数学学习的基本单位，是知识的基本元素，学习是基于一个又一个的课时进行日积月累的过程。基于课时的结构化学习，教师需要将知识点放置于单元整体之中，用整体的知识结构、思想方法来理解知识点，把握知识的本质要素，凸显意义建构，为知识关联建立认知通道。这些本质要素正如一颗颗具备可持续生长力的知识种子，在整个知识大厦建立过程中起着奠基的作用。

组长小齐整理大伙交的作业时，发现少了小马的，就到其座位上去索要，谁知小马起身一路小跑躲到了教室旁边的女厕所里，厕所里面的女生惊恐地跑了出来。小马自鸣得意地在女厕所里冲着门外的小齐做鬼脸。小齐铁定了心不肯离去，小马就将厕所里的水龙头拧开，找准角度挤压着水对着外面的小齐打起了水仗。

例如，“长方形、正方形面积的计算”这一内容涉及的概念有这样三组：面积和周长、面积单位和长度单位、面积计算公式和周长计算公式。这两种图形的三组概念，与实际情境结合，本身就比较复杂。皮亚杰把用这种长度乘宽度求面积的能力划分为智慧水平或“运算”水平，这种发展水平要到十一二岁才能出现。因此，要让三年级的学生真正理解面积公式并非易事。教学中，教师可以运用方格图载体，突出面积测量本质，让学生充分经历用面积单位度量长、正方形面积的过程，避免过早地进入形式化计算阶段，借助“选方格→摆方格→算方格→说方格”等活动体现具象到抽象的过程，充分体悟最原始、最简单的度量面积的方法“面积=每行单位面积的个数×行数”，建立面积测量和计算的基本模型，为后面学习平面图形的面积计算作铺垫。

（二）基于单元视角，挖掘关联元素

所谓“单元”，是指“有组织、有意义的一组知识的集合”。通常我们所说的学习单元，是指教材中所编排的学习章节，如“周长”“面积”等板块。这些单元之间的壁垒是可以打通的，从“小单元”结构走向“大单元”结构。关联指的是用整体关联的思维开展数学学习，包括数学知识点、线、面、体不断累积的纵向关联和不同领域知识、思维和策略相互融通的横向关联。

例如，“圆”单元的结构化学习可以分成三个部分（见表1），一是“圆”的个体知识，包括圆的特征、周长和面积；二是“圆”的组合知识，包括圆与圆的组合、圆与方的组合；三是圆的应用，包括圆与生活、圆与扇形、圆的文化，等等。

表1 “圆”单元结构化学习设计

从表1可以看出，“圆”单元的结构化学习基于设计型、实验型、调查型和综合型任务展开，不同的任务对应不同的知识要点和思维指向。在这个过程中，教师应充分挖掘各个知识点背后的关联元素进行整体设计，帮助学生形成“圆”单元交错联系的立体式知识结构。

（三）基于整体视角，注重体系建构

结构化学习是对数学知识的通盘考虑，旨在融通知识点、线、面、体之间的关系，将知识点串成知识链，将知识链织成知识网，使知识呈现出整体的“结构态”，也使思想、方法与策略呈现出立体的“结构态”。这些结构具有很强的迁移力，可以迁移到有关联性的其他学习中去。例如在小学“量与计量”知识领域中，无论是同一体系还是不同体系的计量单位，都有一定的关联。

在“长度单位”的教学中，教师要把握度量的本质进行整体教学，抓住“经验触动”“活动体验”和“类比迁移”这三个教学要素，让学生经历“认识度量、建立度量标准、认识度量单位、掌握度量方法、测量与计算”的“立结构”过程。在后续度量类知识教学中，教师应让学生将度量学习的知识与方法结构进行自觉迁移与应用，充分发挥结构的生长力量，构筑起度量学习的完善认知结构。

三、小学数学结构化学习设计的核心要素

结构化学习尝试打破课时结构与单元结构进行整体推进，让学生经历从碎片化到结构化的“理解与建构、联结与拓展、迁移与应用”的学习过程。

（一）理解与建构，助结构形成

《追求理解的教学设计》一书中提到，“理解”是多维和复杂的，可以从六个侧面来认识它，即解释、阐明、应用、洞察、神入和自知，这六个侧面为“理解”提供了多元化的指标。在教学中，教师要结合这六个侧面帮助学生展开结构化学习，建构完善的认知结构。

（1）结合生活情境“丁丁妈妈把一个月饼平均分成2份，丁丁和弟弟每人吃1份；可可妈妈把4个月饼平均分成2 份，可可和妹妹每人吃1 份”，让学生画图表征两次分月饼的结果，尝试用“一半”表示两次分月饼的共性。

（3）读写分数，认识分数各部分名称及意义。

（2）归纳小结，内化分数的意义。

“量”“率”对应是分数认识的重点，也是难点。本节课将两者整合，结合多元表征的方式，让学生经历动手操作、画图说明、语言表达、生活实例与分数符号之间来回沟通与转化的过程。在这个过程中，我们可以看到一个清晰的理解过程，如解释、阐明与应用。经历这样的结构化学习过程，学生能建立起“行为”“图示”“符号”之间的一一对应关系，逐步理解分数的内涵，初步建立量率对应思想，建构起关于分数的认知结构，如分数意义的不同维度理解，分数学习的方法策略等。

（二）联结与拓展，助结构完善

所谓联结，是指学生在概念的各种表征中建立联系。全美数学教师理事会（NCTM）在2000 年颁布的《学校数学的原则和标准》中提出5 项数学能力，数学联结能力就是其中之一。数学知识体系中点、线、面、体本身是相互联结的，通过沟通、转换与融合，将有联系的知识联结起来是数学学习的一种核心能力。

【案例2】基于面积模型的“两位数乘两位数”拓展

（1）借助核心问题“欣欣农场蔬菜种植区的长和宽是1、2、6、8 四个数字组成的两个两位数且乘积最小，请帮忙找到种植区的长和宽”来驱动，引导学生基于运算意义，将最小的数字1和2放在十位，得到两种可能16×28 和18×26。

（2）借助核心问题“16×28 和18×26 的乘积谁大谁小，不通过竖式计算，你能否在格子图中表示出来”引发图式思辨，让学生先在格子图中表示出两个长方形的相同部分“16×26”，再在格子图中比较不同部分“16×2”和“2×26”，接着引导学生将格子图的表征与算式的分解一一对应，让算理与算法融合，并初步得到结论“两数的和若相等，它们的差越小，积就越大”。

（3）借助核心问题“方案1：长71 米、宽34 米，方案2：长78 米、宽31 米，哪种方案面积大”来驱动，引导学生进一步体会图与式的对应关系，经历方法策略结构从“立”到“破”再“立”的过程。

这个思维进阶的过程有效地打通了“两位数乘两位数”与“面积”之间的壁垒，借助运算意义与面积模型建立新的联结，从一般化的结构建立到变式问题的解决，学生的认知结构进一步完善。

（三）实践与应用，助结构迁移

实践与应用，是从“学结构”到“用结构”的迁移过程，学习者将学习经验迁移到新的情境中，类比学习新知、解决新的问题，通常可以借助项目式的方式结构化推进。例如“玩转圆柱”项目学习，以“卷、切、削、比”四个项目活动为抓手，从“课”到“类”，引导学生充分经历“用结构”的过程。

基于整体视角的“玩转圆柱”项目，借助结构性材料进行结构化的学习，在更高层面上实现理解与迁移，提升学生融会贯通的综合素养。

总之，数学是一门有结构的学科，“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的（布鲁纳）”。数学教学需要发挥结构的力量，借助结构化思维设计学习材料，让学生经历有结构的学习活动，促进知识、思想和策略的整体建构。