基于学材研发的小学数学拓展性教学实践与思考

□ 张莉渺

小学数学拓展性教学，是对教材进行扩充、延伸和展开的教学[1]，教学中，教师可依据自身对学科的理解，从学生已有的认知出发，对教学资源进行开掘、整合、拓展后形成适合学生自主学习的材料[2]，并基于这些材料展开拓展性教学。

一、理念构思

围绕学材研发开展数学拓展性教学，更能展现拓展课的魅力。教师可先研发有数学探究味的学材，再借助学材提出核心问题，创设可探究的问题空间，进而开展拓展性教学实践。基于学材研发的拓展教学设想如图1所示。即根据学生学情，教材呈现的知识基础，以及素材的自身特征进行学材研发，再依托学材，在给学生留足可探究的问题空间的基础上进行不同类别的拓展性教学设计。

图1 基于学材研发的数学拓展性教学的设想

拓展性学习材料应源于生活，易于操作，且动态开放，以此促进教学过程的真实化，提升教学内容的探究性，助力学生研究的再创造。基于这样的学习材料进行拓展性教学，可以让学生在动手操作、实践探究中感悟数学思想与方法，提升数学素养。

二、学材研发

生活中的素材有很多，教师要充分利用素材的自身特点，遵循有趣味、可探究、难度适宜、易获得、可操作等原则选择学习素材，并对素材进行设计，将其研发为学材。

（一）基于学情，链接生活经验和知识背景

学习材料的选择和设计要贴近学生的现实背景。学生的现实背景包括生活经验背景和知识逻辑背景[3]。只有基于学情的学材研发和课堂设计，才能将学生定位于学习场的中心。

【案例1】正方体展开图

该课是人教版五下第三单元“长方体和正方体的表面积”的拓展内容。学生已有的知识及经验基础是：①正方体的基本特征；②正方体的表面积计算；③旋转、轴对称等图形运动方式；④初步的分类思想。在此基础上，引导学生利用磁力片（如图2）直观展开正方体的六个面，并结合旋转、轴对称等运动方式把握展开图的关键特征，识别重复情况，有序思考，厘清11 种正方体展开图。磁力片就是贴近学生的，满足学生生活经验背景和知识逻辑背景的学习材料。

图2 《正方体展开图》教学示意图

（二）基于教材，促进知识整合与适度拓展

学材的研发、拓展课堂的组织，不能与教材完全脱离，应基于教材的知识结构，链接知识点，适度延伸。

【案例2】怎样做体积最大

图3 《怎样做体积最大》教学示意图

人教版五下《长方体和正方体的体积》一课的教学中，可设计一堂探究无盖长方体体积的拓展课：用一张边长为18cm 的正方形纸做一个无盖长方体，怎样做体积最大？涵盖的知识点有：①无盖长方体的制作；②长方体种类的有序思考；③长方体的体积计算；④折线统计图表征体积变化；⑤规律的探寻和发现；⑥由整数推理到小数的极限思想。这节拓展课的教学，既能帮助学生对知识点进行整合，也能对现有知识结构进行适当拓展。学生往往存在“正方体体积最大”的思维定式，纸板就是帮助学生打破这一思维定式的好学材。

（三）基于素材，挖掘材料特点和探究价值

选择哪些素材作为数学探究的工具，还需要充分利用各类素材本身的特点。

（1）游戏类素材，如扑克牌、骰子、魔方、七巧板、小球等，可在一定的规则范畴下重复操作，便于规律的探究。

（2）操作类素材，如绳子、正方体、火柴棒等，容易裁剪和拼摆，其操作的便捷性和形状的特殊性便于相关数学知识的实践探究。

（3）其他日常素材，如A4纸、乒乓球等，虽看似普通，但如果能找到值得研究的驱动问题，可大大激发学生的探究兴趣，例如“为什么A4纸就是这样的尺寸”“乒乓球的体积怎么算”等。

三、拓展教学

（一）创设问题空间，变学材为教学支架

有了合适的学材，教师还需要对其进行合理组织，以构建有实效的“教学”，而“问题空间”正是把学材转变为教学的重要支架。围绕学材创设相应的问题空间，可把问题设定为真实场景下的相关任务，把学生定位成解决问题的核心力量。

1.围绕学材，提出核心问题

拓展课教学中，核心问题主要来自于教材和生活。

（1）以核心知识为主题。

从教材知识出发，挖掘可延伸拓展的知识点，提出核心问题。

【案例3】怎样围面积最大

在三下的学习中，从核心知识“周长和面积”之间的关系出发，学生已经认识到：周长一定时，长和宽越接近，围成的正方形面积最大。在此基础上，可以继续探究：“如果用一根长度固定的绳子一面靠墙围，怎样围面积最大？”

（2）将现实问题数学化。

生活中有很多现实问题，以数学的眼光审视和分析问题，是另一种提炼核心问题的策略。

【案例4】A4纸中的秘密

“为什么国际通用的A4 纸的尺寸是210×297mm？”这一现实问题的背后，其实隐藏着很多与数学知识相关的问题：A4 纸到底怎么来的？它与A3、A5等A系列纸的大小、面积等有什么关系？为什么A 系列纸的比例一定要保持1.414∶1，而不保持1.618∶1？围绕这些数学问题，以A3、A4、A5 纸为学材，利用推理方式，借助比的知识，可将这些现实问题浓郁的数学探究味凸显出来。

2.借助学材，扩大探究空间

好的学习材料能为学生的学习创设较大的问题空间，让学生在这样的问题空间中，调动已有的知识经验，尝试解决问题。

【案例5】“抢地盘”游戏

在以“长方形面积计算练习”为基础的拓展教学中，教师设计在方格纸中进行“蚂蚁抢地盘”游戏的场景（如图4），引导学生探究在P 点的移动过程中 S1、S2、S3、S4四部分面积间的关系：①S1和 S2的变化；②S1+S2的变化；③S3和S4的大小关系以及变化趋势；④S1+S2+S3+S4是否确定；⑤S1+S2与 S3+S4的大小比较。这些问题的设计由简单到复杂，由单一到综合，突破了静态的问题空间，让学生的思维跟着P点动了起来。

图4 “抢地盘”游戏示意图

（二）基于学材研发，分类教学实践

基于学材研发的拓展课的设计和实践，可分为四类：知识延伸类、游戏活动类、规律探究类、生活问题类。虽然每一类拓展课的教学组织形式和侧重点有所不同，但均充分利用了研发学材的特性，让学生的学习真正发生。

1.知识延伸类：让新旧知识顺利链接

知识延伸类拓展课，是基于课内知识的拓展教学。为使旧知和新知顺利衔接，可借助研发的学材，提升两者的契合度。其教学组织形式可参考图5。

图5 知识延伸类拓展课教学流程

【案例6】小票中的巧思妙算

该课可在二上教学“表内乘法（二）”后开设（如图6）。知识储备为100 以内加减法、表内乘法；教学目标是借助图形操作，提高学生简便计算的能力；活动材料为一张破损的购物小票和几何图形若干。小票中依次呈现了四类商品的单价（依次为9、5、6、9 元）和数量（依次为4、4、4、6个），每类商品的金额、应收总额等数据因小票破损而缺失。教学中，首先回顾用一般方法计算“一共花了多少钱”，进而利用几何图形的可组合性和可分割性，数形结合，尝试探究简便计算，学会“打包”巧算，为乘法分配律的教学做好孕伏，并进行分类整理，适度建模。

图6 《小票中的巧思妙算》教学示意图

2.游戏活动类：促猜想实践充分展开

游戏活动类拓展课教学中，需要经过多次猜想和尝试，才能得出结论。其教学组织形式可参考图7。因此，学材的设置可多样丰富，以供学生多次操作。得出结论后，还应从数学的视角适度分析其背后的原因。

图7 游戏活动类拓展课教学流程

【案例7】一张A4纸对折42次有多高

这是在人教版四上《大数的认识》一课学习后进行的拓展课内容。在探月情境的引入下，提出核心问题：如果可以将一张A4 纸对折42 次，那么它会有多高？鼓励学生经历多次猜想和实践：尝试先通过对折发现对折次数和纸张层数之间的规律，再借助10 张纸、100 张纸的厚度推算出一张A4 纸对折42 次后的高度，并得出结论：从理论上讲，这个高度可以到达月球（如图8）。引导学生思考这神奇现象背后的原因，渗透指数函数思想。

图8 《一张A4纸对折42次有多高》教学示意图

3.规律探究类：使分类探究直观外显

规律探究类的拓展课，往往需要借助学材进行分类研究，借助学材的直观性，分类呈现操作结果，并进行归纳整理，得出规律。其教学组织形式可参考图9。

图9 规律探究类拓展课教学流程

【案例8】圆饼切切切

一张很薄的圆饼，在圆面上切相同的刀数，怎样才能切出最多的块数？教学中从简单的切1 刀和切2 刀入手，深入探究切3 刀、4 刀的情况，借助橡皮泥，清晰地呈现交叉点个数和所切块数之间的关系（如图10），引导学生归纳整理，感悟切的刀数和最多可切成块数之间的关系。

图10 《圆饼切切切》教学示意图

4.生活问题类：用数学思维抽象建构

生活问题类的数学拓展课，往往需要将生活问题提炼为数学问题，制定研究方案，在此基础上进行操作实践，得出结论并加以应用。其教学组织形式可参考图11。

图11 生活问题类拓展课教学流程

【案例9】哪部电梯来得快

三年级拓展内容“电梯问题”中，创设给一幢8层建筑楼安装电梯的情境，探究两部电梯“使用哪种安装方案来得快”这一问题。并提供三种方案供学生讨论①：两部电梯都逐层停靠；方案②：一部单层停靠、一部双层停靠；方案③：一部低层（1～4楼）停靠、一部高层（5～8 楼）停靠。学生在体验观察、多次测量、合理假设后，考察底层上客时间、每上一层的时间等关键因素对电梯运送时间的影响，并画图推演探究“单双层停靠模式”和“高低层停靠模式”等运行方式的不同（如图12）。

图12 《哪部电梯来得快》教学示意图

四、意义与价值

借助研发学材开展小学数学拓展性教学，是一种能力导向的教学，落脚点是学生数学思维的发展，是学生解决问题能力和数学综合素养的提升。

（一）突显直观操作，促进数学思维可视

实物操作可以促进数学思维的可视化，在新、旧知识结构间搭建桥梁，降低教与学的难度。基于学材开发的拓展性课程，如拼摆磁力片研究正方体展开图、移动绿豆研究病毒传播途径等，都能够更好地凸显直观操作的力量。

（二）培养工具意识，丰富问题解决策略

数学学习材料是学生学习数学的重要工具。拓展性教学不仅要帮助学生树立正确运用教师所提供的学习材料解决实际问题的工具意识，更要培养学生“自助”的能力。当遇到新的问题时，尝试主动寻找合适的“工具”展开研究，激活相关联的认知结构，逐渐完善问题解决的策略。

（三）基于问题解决，提升数学核心素养

“问题解决”是拓展性教学的核心。基于学材的拓展性教学，往往围绕学材提出核心问题，例如：“A4 纸的尺寸为什么是这样的？”“一张A4 纸折叠42 次有多高？”等。围绕这些问题，学生尝试依托学材进行规律探寻、追根溯源，唤醒原先碎片化的知识，综合运用知识和经验寻找解决问题的策略，并通过推理得出结论，提升数学综合素养。

（四）更新教学方式，孕伏项目学习模式

一些生活类问题的拓展性教学，如前文提到的“哪部电梯来得快”等内容，其实已经孕伏了项目学习的影子，能够更好地唤醒学生的问题意识，做好方法技能的准备，有利于后继项目教学的展开。

总的来说，开发和积累研究性学材，焕发了数学学材的生命活力。以此展开的数学拓展课教学，拓宽了学习的探究空间，培养了学生的综合素养，满足了学生数学思维发展的需求。