核心素养视角下对2021高考卷剖析

摘 要：本文主要从2021年高考卷试题入手剖析，从核心素养视角洞察其中出题目的，剖析高考题本质原理，因此要注重素养导向、能力为重，夯实基础，理解數学本质，构建完整的知识体系.

关键词：核心素养;数学抽象;逻辑推理;数学建模;数学运算;直观想象;数据分析

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0070-04

收稿日期：2021-09-05

作者简介：何正文（1988-），男，广东省茂名人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

2021新高考卷更注重考察学生核心素养的能力，落实立德树人的总目标.本文对今年高考卷的试题进行分析，对试题考点和背景往往由于考察学生的良好数学思维而灵便方法，因此在对试卷进行分析后，笔者从数学抽象，逻辑推理，数学建模，数学运算，直观想象，和数据分析六个方面进行了详细剖析.

一、数学抽象

数学抽象是对具体问题进行抽象出数学数量与几何图形的问题，需要学生能够将题目中的问题“翻译”出数学中的数学问题.今年高考题注重传统文化为背景，让学生抽象出数学问题.

例1 （2021年新高考Ⅰ卷填空题第16题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为

;如果对折n次，那么∑nk=1Sk=dm2.

详解 （1）对折4次可得到如下规格：54dm×12dm，52dm×6dm，5dm×3dm，10dm×32dm，20dm×34dm，共5种;

（2）由题意可得S1=2×120，S2=3×60，S3=4×30，S4=5×15，…，Sn=120n+12n-1，设S=120×220+120×321+120×422+…+120n+12n-1，则12S=120×221+120×322+…+120n2n-1+120n+12n，两式作差得12S=240+

12012+122+…+12n-1-120n+12n=240+601-12n-11-12-120n+12n=360-1202n-1-120n+12n=360-120n+32n，因此，S=720-240n+32n=720-15n+32n-4.

故答案为：5;720-15n+32n-4.

分析 本题以我国传统文化剪纸艺术为背景，让考生体验从剪纸艺术抽象出数列的数学问题，在第一问，学生可以按对折列举一般操作可以计算出来;第二问必须深层次抽象出数列问题了.数列抽象问题应注意以下四点：

（1）对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解;

（2）对于anbn结构，其中an是等差数列，bn是等比数列，用错位相减法求和;

（3）对于an+bn结构，利用分组求和法;

（4）对于1anan+1结构，其中an是等差数列，公差为dd≠0，则1anan+1=1d1an-1an+1，利用裂项相消法求和.

例2 （2021年全国高考乙卷理科选择题第9题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图1，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=（）.

图1

A. 表高×表距表目距的差+表高 B. 表高×表距表目距的差-表高

C. 表高×表距表目距的差+表距D. 表高×表距表目距的差-表距

详解 如图1所示，由平面相似可知，DEAB=EHAH，FGAB=CGAC，而DE=FG，所以DEAB=EHAH=CGAC=CG-EHAC-AH=CG-EHCH，而CH=CE-EH=CG-EH+EG，即AB=CG-EH+EGCG-EH×DE=EG×DECG-EH+DE=表高×表距表目距的差+表高.故选A.

分析 本题以魏晋时期我国数学家刘徽的著作《海岛算经》中的测量方法为背景，让考生体验从古籍问题抽象出几何的数学问题，再回到古籍答案，利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出.

二、逻辑推理

数学逻辑推理能力考察学生清晰、有条理地表达自己的思考过程，对问题进行分析、归纳、推理.今年高考题重视在实际问题出发，引导学生推理，得到结论.发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点.

例3 （2021年全国高考乙卷理科选择题第6题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）.

A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种

详解 根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有C25种选法;然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有C25×4！=240种不同的分配方案，故选C.

分析 本题以北京冬奥会志愿者的培训为试题背景，考查逻辑推理能力和运算求解能力.考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.

例4 （2021年新高考1卷选择题第8题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）.

A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立

C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立

详解 P（甲）=16，P（乙）=16，P（丙）=536，P（丁）=636=16， P（甲丙）=0≠P（甲）P（丙），P（甲丁）=136=P（甲）P（丁），P（乙丙）=136≠P（乙）P（丙），P（丙丁）=0≠P（丁）P（丙），故选B.

分析 本题根据具体问题，从独立事件概率关系逐一判断，判断事件A，B是否独立，先计算对应概率，再判断P（A）P（B）=P（AB）是否成立.

三、数学建模

数学知识可以以模型化的形式进行展示，模型化思维有利于知识系统化，当然数学本身就是一个模型，数学知识点就是数学建模的支点，因此建模思想是高考考察学生一个很重要的思想方法.

例5 （2021年新高考1卷选择题第7题）若过点a，b可以作曲线y=ex的两条切线，则（）.

A. eb

C. 0

详解 在曲线y=ex上任取一点Pt，et，对函数y=ex求导得y′=ex，所以，曲线y=ex在点P处的切线方程为y-et=etx-t，即y=etx+1-tet，由题意可知，点a，b在直线y=etx+1-tet上，可得b=aet+1-tet=a+1-tet，令ft=a+1-tet，则f ′t=a-tet.

当t0，此时函数ft单调递增，当t>a时，f ′t<0，此时函数ft单调递减，所以，ftmax=fa=ea，由题意可知，直线y=b与曲线y=ft的图象有两个交点，则b0，当t>a+1时，ft<0，作出函数ft的图象如图2所示.

图2

由图可知，当0

分析 函数题往往其解题需要构建数学模型，函数题具有规律性和普遍意义的常规解题模式.根据几何意义求得切线方程，再构造函数，利用图像研究函数图象，结合图形确定结果.

四、数学运算

数学运算更加重视表达数学思维，是解题思路的最基础的条件.高考题解决数学运算的问题给予学生更多选择性，同时也注重学生和其他核心素养结合一起考察.

例6 （2021年全国卷甲卷解答题第18题）已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列an是等差数列;②数列Sn是等差数列;③a2=3a1.

注 若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

详解 选①②作条件证明③：

设Sn=an+b（a>0），则Sn=an+b2，

当n=1时，a1=S1=a+b2;

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=an+b2-an-a+b2=a2an-a+2b;

因为an也是等差数列，所以a+b2=a2a-a+2b，解得b=0;

所以an=a22n-1，所以a2=3a1.

选①③作条件证明②：

因为a2=3a1，an是等差数列，

所以公差d=a2-a1=2a1，

所以Sn=na1+nn-12d=n2a1，即Sn=a1n，

因為Sn+1-Sn=

a1n+1-a1n=a1，

所以Sn是等差数列.

选②③作条件证明①：

设Sn=an+b（a>0），则Sn=an+b2，

当n=1时，a1=S1=a+b2;

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=an+b2-an-a+b2=a2an-a+2b;

因为a2=3a1，所以a3a+2b=3a+b2，解得b=0或b=-4a3;当b=0时，a1=a2，an=a22n-1，当n≥2时，an-an-1=2a2满足等差数列的定义，此时an为等差数列;

当b=-4a3时，Sn=an+b=an-43a，S1=-a3<0不合题意，舍去.

综上可知an为等差数列.

分析 试题给出部分已知条件，要求考生根据试题要求构建一个命题，给考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，从而考察学生的运算能力，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.

选①②作条件证明③时，可设出Sn，结合an，Sn的关系求出an，利用an是等差数列可证a2=3a1;

选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出Sn，结合等差数列定义可证;

选②③作条件证明①时，设出Sn=an+b，结合an，Sn的关系求出an，根据a2=3a1可求b，然后可证an是等差数列.

五、直观想象

直观想象是指通过几何直观和空间想象，利用图形解决问题.今天高考题在开放性和直观性的基础上在逐渐加大力度，这样能够更好的推动学生想象能力的培养.

例7 （2021年全国高考乙卷理科填空题第16题） 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

图3

图4

详解 选择侧视图为③，俯视图为④，

如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，BB1=1，E，F分别为棱B1C1，BC的中点，则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E-ADF.

故答案为：③④.

分析 有多组正确答案，有多种解题方案可供选择，考查了考生的空间想象能力，三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.

六、数据分析

数据分析是通过适当的统计分析方法对数据进行分析，考生提取有用信息和形成结论而对数据加以详细研究和概括总结的过程.今年高考题从目前社会与经济出发，使得考生更加关注国家建设.

例8 （2021年新高考1卷理科解答题第18题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列;

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

解析

（1）由题可知，X的所有可能取值为0，20，100.

PX=0=1-0.8=0.2;

PX=20=0.81-0.6=0.32;

PX=100=0.8×0.6=0.48.

所以X的分布列为

X020100P0.20.320.48

（2）由（1）知，EX=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.

若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100.

PY=0=1-0.6=0.4;

PY=80=0.61-0.8=0.12;

PX=100=0.8×0.6=0.48.

所以EY=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.

因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题.

分析 以“一带一路”知识竞赛为背景，考查了考生对概率统计基本知识的理解与应用.（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.（2）与（1）类似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可.

例9 （2021年全国高考甲卷理科选择题第2题）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

图5

根据此频率分布直方图，下面结论中错误的是（）.

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估計该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

详解 因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%，故A正确;

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02×3=0.10=10%，故B正确;

该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%>50%，故D正确;

该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68（万元），超过6.5万元，故C错误.

综上，给出结论中不正确的是C.故选C.

分析 本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，以我国在脱贫攻坚工作取得全面胜利和农村振兴为背景，通过图表给出了某地农户家庭收入情况的抽样调查结果，以此设计问题，考查考生分析问题和数据处理的能力.

参考文献：

[1]何正文.对一道关于三角函数高考题的教学思考与延伸[J].数理化解题研究，2020（03）29-30.

[2]何正文.基于核心素养的多阶数学思维的培养[J].中学数学杂志，2019（01）：14-16.

[责任编辑：李 璟]