摘 要:本文主要从2021年高考卷试题入手剖析,从核心素养视角洞察其中出题目的,剖析高考题本质原理,因此要注重素养导向、能力为重,夯实基础,理解數学本质,构建完整的知识体系.
关键词:核心素养;数学抽象;逻辑推理;数学建模;数学运算;直观想象;数据分析
中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2021)34-0070-04
收稿日期:2021-09-05
作者简介:何正文(1988-),男,广东省茂名人,本科,中学一级教师,从事高中数学教学研究.
2021新高考卷更注重考察学生核心素养的能力,落实立德树人的总目标.本文对今年高考卷的试题进行分析,对试题考点和背景往往由于考察学生的良好数学思维而灵便方法,因此在对试卷进行分析后,笔者从数学抽象,逻辑推理,数学建模,数学运算,直观想象,和数据分析六个方面进行了详细剖析.
一、数学抽象
数学抽象是对具体问题进行抽象出数学数量与几何图形的问题,需要学生能够将题目中的问题“翻译”出数学中的数学问题.今年高考题注重传统文化为背景,让学生抽象出数学问题.
例1 (2021年新高考Ⅰ卷填空题第16题)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为
;如果对折n次,那么∑nk=1Sk=dm2.
详解 (1)对折4次可得到如下规格:54dm×12dm,52dm×6dm,5dm×3dm,10dm×32dm,20dm×34dm,共5种;
(2)由题意可得S1=2×120,S2=3×60,S3=4×30,S4=5×15,…,Sn=120n+12n-1,设S=120×220+120×321+120×422+…+120n+12n-1,则12S=120×221+120×322+…+120n2n-1+120n+12n,两式作差得12S=240+
12012+122+…+12n-1-120n+12n=240+601-12n-11-12-120n+12n=360-1202n-1-120n+12n=360-120n+32n,因此,S=720-240n+32n=720-15n+32n-4.
故答案为:5;720-15n+32n-4.
分析 本题以我国传统文化剪纸艺术为背景,让考生体验从剪纸艺术抽象出数列的数学问题,在第一问,学生可以按对折列举一般操作可以计算出来;第二问必须深层次抽象出数列问题了.数列抽象问题应注意以下四点:
(1)对于等差、等比数列,利用公式法可直接求解;
(2)对于anbn结构,其中an是等差数列,bn是等比数列,用错位相减法求和;
(3)对于an+bn结构,利用分组求和法;
(4)对于1anan+1结构,其中an是等差数列,公差为dd≠0,则1anan+1=1d1an-1an+1,利用裂项相消法求和.
例2 (2021年全国高考乙卷理科选择题第9题)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作,其中第一题是测海岛的高.如图1,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=().
图1
A. 表高×表距表目距的差+表高 B. 表高×表距表目距的差-表高
C. 表高×表距表目距的差+表距D. 表高×表距表目距的差-表距
详解 如图1所示,由平面相似可知,DEAB=EHAH,FGAB=CGAC,而DE=FG,所以DEAB=EHAH=CGAC=CG-EHAC-AH=CG-EHCH,而CH=CE-EH=CG-EH+EG,即AB=CG-EH+EGCG-EH×DE=EG×DECG-EH+DE=表高×表距表目距的差+表高.故选A.
分析 本题以魏晋时期我国数学家刘徽的著作《海岛算经》中的测量方法为背景,让考生体验从古籍问题抽象出几何的数学问题,再回到古籍答案,利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出.
二、逻辑推理
数学逻辑推理能力考察学生清晰、有条理地表达自己的思考过程,对问题进行分析、归纳、推理.今年高考题重视在实际问题出发,引导学生推理,得到结论.发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点.
例3 (2021年全国高考乙卷理科选择题第6题)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有().
A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种
详解 根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有C25种选法;然后连同其余三人,看成四个元素,四个项目看成四个不同的位置,四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种,根据乘法原理,完成这件事,共有C25×4!=240种不同的分配方案,故选C.
分析 本题以北京冬奥会志愿者的培训为试题背景,考查逻辑推理能力和运算求解能力.考查排列组合的应用问题,属基础题,关键是首先确定人数的分配情况,然后利用先选后排思想求解.先确定有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,然后利用组合,排列,乘法原理求得.
例4 (2021年新高考1卷选择题第8题)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则().
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
详解 P(甲)=16,P(乙)=16,P(丙)=536,P(丁)=636=16, P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙),P(甲丁)=136=P(甲)P(丁),P(乙丙)=136≠P(乙)P(丙),P(丙丁)=0≠P(丁)P(丙),故选B.
分析 本题根据具体问题,从独立事件概率关系逐一判断,判断事件A,B是否独立,先计算对应概率,再判断P(A)P(B)=P(AB)是否成立.
三、数学建模
数学知识可以以模型化的形式进行展示,模型化思维有利于知识系统化,当然数学本身就是一个模型,数学知识点就是数学建模的支点,因此建模思想是高考考察学生一个很重要的思想方法.
例5 (2021年新高考1卷选择题第7题)若过点a,b可以作曲线y=ex的两条切线,则().
A. eb