巧妙嵌入“黄金” 成就试题“精彩”

王勇 杜晓霞

近期研究全国各地高考模拟试题，发现一些有关“黄金”的数学题目，其中客观题设计得小巧玲珑、韵味十足;主观题命制得大气洒脱、气势磅礴，令人拍案叫绝！此类试题是考查学生的迁移能力、探究能力及核心素养的极好素材，具有很好的区分和选拔功能.现归纳整理出来，供参考.

1 黄金分割点

例1 （2020 ·武汉市调考题）设点P是线段MN上一点，NP>MP，若NP2=MP·MN，则称点P是线段MN的黄金分割点.如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，BD>AD，若点D是线段AB的黄金分割点，给出下列说法：

①AC=BD;②S2△CBD=S△ADC·S△ABC;

③sinB=5-12;④tanA=2.

其中正确的有（）.

A. ①④ B. ②③C. ①②③D. ①②③④

解析 若点D是线段AB的黄金分割点，则有BD2=AD·AB，BDAB=ADBD=5-12.对于①，由题可知Rt△ACD∽Rt△ABC，可得AC2=AD·AB，又BD2=AD·AB，所以AC=BD，①正确.

对于②，因为BD2=AD·AB，所以S2△CBD=12·CD·BD2=14CD2·BD2=14CD2·AD·AB=12·CD·AD·12·CD·AB=S△ADC·S△ABC，②正确.

对于③，由①知AC=BD，所以sinB=ACAB=BDAB=5-12，③正确.

对于④， 由①知AC=BD，所以cosA=ADAC=ADBD=5-12， sinA=1-cos2A=1-5-122=5-12，所以tanA=sinAcosA=5+12，④错误.故选C.

点评 本题紧扣“黄金分割点”的定义得到比例式，结合相似三角形、三角形的面积公式、解直角三角形及同角三角函数的基本关系即可得解.

例2 （2020 ·襄阳市模拟题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分線段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足ACAB=BCAC=5-12.后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点.如图2，在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点， 设AP=x1AB+y1AC，AQ=x2AB+y2AC，则x1x2+y1y2=（）.

A. 5+12 B. 2

C. 5D. 5+1

解析 由题意可知PCBC=BPPC=5-12，BQBC=CQBQ=5-12，

所以BP=5-12PC，PC=5-12BC，CQ=5-12QB，BQ=5-12BC，

则AP=AB+BP=AB+5-12×5-12BC

=AB+3-52（AC-AB）=5-12AB+3-52AC，

同理，AQ=3-52AB+5-12AC，

而AP=x1AB+y1AC，AQ=x2AB+y2AC，

所以x1=5-12，y1=3-52，x2=3-52，y2=5-12，

故x1x2+y1y2=5-13-5+3-55-1=5，故选C.

点评本题以黄金分割数及黄金分割点为载体命制，主要考查平面向量的线性运算，对运算求解能力要求较高.

2 水平黄金点

例3 （2020 ·太原市模拟题）点M在曲线G：y=3lnx上，过M作x轴的垂线l，设l与曲线y=1x交于点N，若OP=OM+ON3（O为坐标原点），且点P的纵坐标为0，则称点M为曲线G上的“水平黄金点”，则曲线G上的“水平黄金点”的个数为（）.

A.0 B.1 C.2 D.3

解析 设M（t，3lnt），则Nt，1t，所以OP=OM+ON3=2t3，lnt+13t，依题意可得lnt+13t=0.设g（t）=lnt+13t，则g′（t）=1t-13t2=3t-13t2，当013时，g′（t）>0，g（t）单调递增.所以g（t）min=g13=1-ln3<0，又g1e2=-2+e23>0，g（1）=13>0，所以方程g（t）=lnt+13t=0有两个不同的根，所以曲线G上的“水平黄金点”的个数为2.故选C.

点评 本题设出点M，N的坐标，由题设条件得点P的坐标，由“水平黄金点”的定义得到方程lnt+13t=0.构造函数g（t）=lnt+13t，利用导数研究该函数的单调性和最小值，结合零点存在性定理即可得解.3 黄金分割数

例4 （2020 ·随州市模拟题）据传公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割数约为0.618，该数也可以表示为2sin18°.若m=2sin18°，m2+n=4，则1-2cos227°mn=.（用数字作答）

解析 1-2cos227°mn=1-2cos227°2sin18°4-4sin218°

=-cos54°2sin18°·2cos18°=-cos54°2sin36°=-cos54°2cos54°=-12.

点评 本题将m=2sin18°及n=4-m2=4-4sin218°代入所求式子中，再利用二倍角公式及诱导公式即可得解.

4 黄金三角形

例5 （2020 ·福州市质检题）顶角为36°的等腰三角形被称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来既标准又美观.如图3所示，△ABC是黄金三角形，AB=AC，作∠ABC的角平分线交AC于点D，易知△BCD也是黄金三角形.若BC=1，则AB=;借助黄金三角形可计算sin234°=.（本题第一空2分，第二空3分）

解析已知∠A=36°，AB=AC，∠ABC=∠C=72°，BD为∠ABC的角平分线，所以∠A=∠ABD=∠DBC=36°，∠C=∠BDC=72°，所以△ABC∽△BCD，得ABBC=BCCD.

又AD=BD=BC=1，设AB=AC=x，则CD=x-1，所以x1=1x-1，解得x=5+12（负值舍去），即AB=5+12.

因为sin234°=sin180°+54°=-sin54°=-cos36°，

在△ABC中，根据余弦定理可得cos36°=AB2+AC2-BC22AB·AC=5+122+5+122-122×5+12×5+12=5+14，所以sin234°=-5+14.

点评 本题第一个空根据三角形相似结合题设条件易得结果;第二个空根据诱导公式及余弦定理得解.本题是“双空题”，顺应新高考的命题创新趋势.

5 黄金五角星

例6 （2020·福建省质检题）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，也称“黄金五角星”.在如图4所示的正五角星中，以P，T，S，R，Q为顶点的多边形为正五边形，且PTAT=5-12.下列关系中正确的是（）.

A. BP-TS=5+12RS

B. CQ+TP=5+12TS

C. ES-AP=5-12BQ

D. AT+BQ=5-12CR

解析 由题意，知BP-TS=TE-TS=SE，RSSE=PTAT=5-12，

所以SE=5+12RS，即BP-TS=5+12RS，故A正确;

CQ+TP=PA-PT=TA=5+12ST，故B错误;

ES-AP=RC-QC=RQ=5-12QB，故C错误;

AT+BQ=SD+RD，5-12CR=RS=RD-SD，若AT+BQ=5-12CR成立，则SD=0，不合题意，故D错误.故选A.点评 本题紧扣正五角星的结构特征和PTAT=5-12，利用平面向量的线性运算即可得解.

6 黄金矩形

例7 （2020·长沙市四校联考题）长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最能引起美感的比例，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金分割比例5-125-12≈0.618，则这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停地分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形（如图5），已知图中最小正方形的边长为1，则矩形ABCD的长约为（）.

A.10.09B.11.85C.9.85D.11.09

解析 根据题意，如图6，若图中最小正方形HPNM的边长为1，即HP=1，则矩形HPLJ中，LP=JH=15-12=5+12，则在矩形HJIF中，HF=JH5-12=5+122，同理可得FC=5+123，DC=5+124，

BC=5+125=6+25×6+25×5+132=56+245×5+132

=805+17632.因为5-12≈0.618，所以5≈2.236，所以BC≈80×2.236+17632=11.09.故选D.

点评 本题紧扣“黄金矩形”的定义并结合图形求解，对运算求解能力要求较高.考查考生的阅读理解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算.

7 黄金折扇

例8 （2020 ·长春市模拟题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.如图7，一般情况下，折扇可以看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为5-12时，图7扇面看上去形状较为美观，有人称之为“黄金折扇”，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）.

A. 3-5πB. 5-1π

C. 5+1πD. 5-2π

解析 设扇形的半径为R，弧长为l1，圆心角的弧度数为α，圆面中剩余部分的弧长为l2.由扇形的面积公式和弧长公式，可得S1S2=12l1R12l2R=l1l2=αR（2π-α）R=α2π-α=5-12，解得α=3-5π.故选A.

点评 本题是利用数学文化“折扇”为背景命制的与三角函数相结合的题目，把雅致秀气的折扇与扇形的面积相交汇，体现了美育的素养导向.求解的突破口是熟记扇形的面积公式，把半径相同的两扇形的面积比转化为两扇形的圆心角的比，再利用它们的圆心角的和为2π，即可得小扇形的圆心角的弧度数.

8 黄金螺旋线

例9 （2019·山西省五市联考题） 若数列{an}满足a1=1，a2=1，an+2=an+an+1，则称数列{an}为斐波那契数列，圖8斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例，故而斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画出若干个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图8所示的7个正方形的边长分别为a1，a2，…，a7，在长方形ABCD内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（）.

A. 1-103π156B. 1-π4C.1-17π26D. 1-68π273

解析 由题意可得数列{an}的前8项依次为1，1，2，3，5，8，13，21，所以长方形ABCD的面积为13×21=273，6个扇形的面积之和为π4（12+22+32+52+82+132）=68π，所以在长方形ABCD内任取一点，该点不在任何一个扇形内的概率P=1-68π273.故选D.

点评 本题根据斐波那契数列的定义和斐波那契螺旋线的构成，先算出长方形ABCD的面积和6个扇形的面积之和，注意到当计算事件A的概率P（A）比较困难时，可先计算事件A的对立事件A的概率P（A），再利用公式P（A）=1-P（A）即可得解.

9 黃金椭圆

例10 （2020 ·青岛市模拟题）（多选题）我们通常称离心率为5-12的椭圆为“黄金椭圆”.如图9，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），A1，A2，B1，B2为顶点，F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，则下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（）.

A.A1F1，F1F2，F2A2成等比数列

B. ∠F1B1A2=90°

C. PF1⊥x轴，且PO∥A2B1

D.四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2

解析 因为C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），所以A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，-b），F1（-c，0），F2（c，0）.

对于A，若A1F1，F1F2，F2A2成等比数列，

则A1F1·F2A2=F1F22，所以（a-c）2=（2c）2，所以a-c=2c，所以e=13，不满足题意，故A错误.

对于B，若∠F1B1A2=90°，则A2F12=B1F12+B1A22，所以（a+c）2=a2+a2+b2，所以c2+ac-a2=0，即e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍去），故B正确.

对于C，若PF1⊥x轴，且PO∥A2B1，则P-c，b2a，且kPO=kA2B1，即b2a-c=b-a，所以b=c.因为a2=b2+c2，所以e=ca=c2c=22，不满足题意，故C错误.

对于D，四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2，即四边形A1B2A2B1的内切圆的半径为c， 所以ab=ca2+b2，所以c4-3a2c2+a4=0，即e4-3e2+1=0，解得e2=3+52（舍去）或e2=3-52，所以e=5-12 ，故D正确.

故选BD.

点评 本题对每个选项都可以算出椭圆的离心率，只有当离心率为5-12时的椭圆才是“黄金椭圆”.本题是“多选题”，是新高考的标志性题型，敬请考生强化训练，增强适应性，坦然迎接新题型的挑战.

10 黄金双曲线

例11 （2020 ·广州市模拟题）我们把离心率为e=5+12的双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）称为黄金双曲线.

如图10，已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0，c=a2+b2），给出以下结论：图10

①双曲线x2-2y25+1=1是黄金双曲线;

②若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线;

③若F1，F2分别为左、右焦点，A1，A2分别为左、右顶点，B1（0，b），B2（0，-b），且∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线;

④若直线MN过双曲线的右焦点F2，且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线.

其中正确结论的序号为.（将所有正确结论的序号都填上）

解析 对于①，a2=1，b2=5+12，则c2=a2+b2=3+52，e2=c2a2=3+52=5+122，所以e=5+12，所以双曲线是黄金双曲线，故①正确.

对于②，b2=c2-a2=ac，整理得e2-e-1=0，解得e=5+12（负值舍去），所以双曲线是黄金双曲线，故②正确.

对于③，F1B12=c2+b2，B1A22=b2+a2，F1A22=a+c2，在Rt△F1B1A2中，F1B12+B1A22=F1A22，即c2+b2+b2+a2=（a+c）2，整理得b2=ac，由②可知e=5+12，所以双曲线是黄金双曲线，故③正确.

对于④，易知F2（c，0），把x=c代入双曲线的方程得c2a2-y2b2=1，解得y=±b2a，则NF2=b2a.因为∠MON=90°，所以由对称关系知△MON为等腰直角三角形，所以∠ONF2=45°，所以△ONF2为等腰直角三角形，所以c=b2a，即b2=ac，由②可知e=5+12，所以双曲线是黄金双曲线，故④正确.综上，正确结论的序号为①②③④.

点评 本题对所给的四个结论，逐一计算双曲线的离心率，只有当离心率为5+12时的双曲线才是“黄金双曲线”.考查的核心素养是直观想象和数学运算.

11 黄金抛物线

例12 （2020 ·湖北省七市联考题）如图11，由部分抛物线：y2=mx+1（m>0，x≥0）和半圆x2+y2=r2（x≤0）所组成的曲线称为“黄金抛物线”，若“黄金抛物线”经过点（3，2）和-12，32.

（1）求“黄金抛物线”的方程;

（2）设P（0，1）和Q（0，-1），过点P作直线l与“黄金抛物线”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由.

解析 （1）因为 “黄金抛物线” 过点（3，2）和-12，32，所以r2=-122+322=1，22=3m+1，所以m=1.

所以“黄金抛物线”的方程为y2=x+1（x≥0）和x2+y2=1（x≤0）.

（2）假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB，显然直线l的斜率存在且不为0，

设直线l：y=kx+1（k≠0），联立y=kx+1，y2=x+1，消去y，得k2x2+（2k-1）x=0，

所以xB=1-2kk2，yB=1-kk，即B1-2kk2，1-kk，所以kBQ=k1-2k，

由y=kx+1，x2+y2=1，消去y，得（k2+1）x2+2kx=0，

所以xA=-2kk2+1，yA=1-k2k2+1，即A-2kk2+1，1-k2k2+1，

所以kAQ=-1k，

因为QP平分∠AQB，所以kAQ+kBQ=0，

所以k1-2k-1k=0，解得k=-1±2，

由图形可得k=-1-2应舍去，所以k=2-1，

所以存在直线l：y=（2-1）x+1，使得QP平分∠AQB.

点评 本题第（1）问根据“黄金抛物线”经过点（3，2）和-12，32易得结果;第（2）问是探究性问题，可先假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB，经分析得出kAQ+kBQ=0是破解问题的关键，结合图形可求出直线l的斜率为2-1，进而可知存在直线l：y=2-1x+1，使得QP平分∠AQB.

12 黄金棱柱

例13 （2020 ·南宁市模拟题）如图12所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中点.

（1）求证：平面A1EC⊥平面AA1C1C;

（2）若我们把平面A1EC与平面A1B1C1所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由;

（3）设AB=a，求三棱锥AA1EC的体积VAA1EC.

解析 （1）如图13所示，连接AC1与A1C交于点F，连接EF，由题设可得EC=EA1，则EF⊥A1C，同理EC1=EA，则EF⊥AC1，又A1C∩AC1=F，所以EF⊥平面AA1C1C，而EF平面A1EC，故平面A1EC⊥平面AA1C1C.（2）延长CE交C1B1的延长线于点H，连接A1H，则A1H是平面A1EC与平面A1B1C1的公共棱.

由平面几何知识易知C1B1=B1H=A1B1，则∠C1A1H=90°，即A1C1⊥A1H.

又CC1⊥平面A1B1C1，易证A1H⊥A1C.

所以∠CA1C1为平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的平面角.

若此正三棱柱为“黄金棱柱”，则∠CA1C1=60°，应有CC1=3A1C1，即AA1=3AB，这与条件AB=AA1矛盾，所以此三棱柱不是“黄金棱柱”.

（3）VAA1EC=VEA1AC=13·EF·12AA1·AC=16×32a×a×a=312a3.

点评 本题第（1）问通过添加辅助线，由面面垂直的判定定理即可得证;第（2）问先找到平面A1EC与平面A1B1C1的公共棱，進而找到这两个平面所成二面角的平面角，利用反证法得证;第（3）问利用等体积法求解.