中美初中数学教材“特殊平行四边形”内容比较研究——以浙教版、人教版和美国MH版教材为例

金红江 (浙江省杭州高新区(滨江)教育研究院 310053)

1 问题提出

几何课程作为数学教育中的重要组成部分，一直以来都是各国中学数学教育研究的热门领域，其知识点的复杂性与演绎的多样性决定了其在课程编制上的差异性.在国际比较的视野下，受不同教育理念和课程标准的影响，几何教材有着丰富多样的呈现方式.当前国内外教材比较研究多聚焦于比较整体或单个模块(如代数、几何)的差异，得出的结论和建议多适用于教材的整体编制，鲜有聚焦于局部课程内容的微观分析.这样的比较在追求广度的同时，一定程度上缺失了深度；结论具有整体性的同时，一定程度上削弱了针对性和可操作性.

特殊平行四边形来自平行四边形边、角、对角线等构成要素的特殊化，其定义-判定-性质的研究路径可以体现教材中整个四边形内容的内在逻辑，能够“以小见大”．正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形，给教材编排差异提供了空间，因此基于“特殊平行四边形”教材内容，对中美两国教材进行比较，探究两国几何教材的异同点，可为我国初中课程改革和一线教师教学提供参考.

2 研究设计

2.1 教学目标

根据美国教科书检查组织的报告，Glencoe Mathematics Geometry教材的使用率最高[1]，因此研究选取美国Glencoe Mathematics Geometry教材(以下简称MH版)作为研究对象之一，再结合浙江教育出版社的初中数学义务教育教科书(以下简称浙教版)和人民教育出版社的初中数学义务教育教科书(以下简称人教版)，采用比较法和文献研究法，从定性和定量两个角度对三版教材中“特殊平行四边形——矩形、菱形、正方形”的内容进行微观分析与比较.具体见表1.

表1 教材介绍

2.2 比较维度

(1)知识分布 知识分布将比较3个版本中各部分教学内容所占页数与总页数的比值、知识点数量与知识点总量的比值，定量分析3个版本教材中的特殊平行四边形知识分布的差异.

(2)栏目设计 对三版教材中所包含的活动栏目进行分析，并分别统计例题、课堂练习及课后练习的数量，从定性和定量两个角度分析三版教材的栏目设计差异.

(3)知识深度 不同的呈现方式会影响学生理解和掌握知识的难易程度.由于研究范围仅限于特殊平行四边形，故将概念的呈现方式分为直观描述、简单演绎、复杂演绎3种层次，分别赋值计算．

直观描述：仅仅通过描述性语言来表达相关概念．举例：正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角[2] 58．

简单演绎：由描述性语言与单个上位概念，经初步演绎所得的下位概念．举例：有一组邻边相等的矩形是正方形[3] 126.

复杂演绎：由两个或多个上位概念(可含描述性语言)，经多步演绎所得的下位概念.举例：If a quadrilateral is both a rhombus and a rectangle,then it is a square[4] 348. (译文：如果一个四边形既是菱形又是矩形，那么这个四边形是正方形.)

3 数据分析

3.1 知识分布

分别统计人教版[2] 52-64、浙教版[3] 114-130和MH版[4] 340-354教材中相应内容所占页数与总页数的比值、知识点数量与知识点总量的比值，得到知识分布结果(表2).

表2 知识分布

人教版矩形、菱形和正方形知识点的占比分别为0.43，0.43，0.14；浙教版分别为0.375，0.375，0.25；MH版分别为0.40，0.40，0.20.人教版矩形、菱形和正方形页数的占比分别为0.41，0.35，0.24；浙教版分别为0.36，0.33，0.31；MH版分别为0.50，0.32，0.18．可以看出三个版本中矩形和菱形均拥有相同的知识点占比，且均明显高于正方形.总体上，人教版知识分布最为集中，其次为MH版，知识均集中于矩形和菱形，而浙教版三部分知识占比最为平均.

3.2 栏目设计

分别统计人教版[2] 52-64、浙教版[3] 114-130、MH版[4] 340-354教材中矩形、菱形以及正方形内容的活动设计、例题、课堂练习、课后练习的数量，结果如表3所示.由表3可以看出，在例题数量上浙教版最多，人教版其次，MH版最少；课内练习三者较为接近；课后练习MH版最多，浙教版其次，人教版未设置.而活动设计则分别为三种不同的类型：思考、合作学习和建构.从数量上看，人教版数量上明显多于浙教版和MH版；从形式上看，人教版的思考多为一个引导性问题，而浙教版的合作学习和MH版的建构则涉及一定的现实情境，要求小组合作交流或动手操作.

3.3 知识深度

根据各个版本教材中定义、定理的呈现方式，对每个定义和定理赋值，统计数量后再根据2.2(3)中知识深度的计算公式，分别计算出定义和定理的知识深度；最后定义和定理取相同权重算出知识点深度.具体结果见表4.

表3 栏目设计

表4 知识深度

由表4可以看出，人教版、浙教版和MH版教材中定义的深度值分别为1.50，2.00，1.67；定理的深度值分别为1.70,1.58,1.29.由此得到知识点深度值分别为1.64，1.68，1.35．因此定义深度：浙教版>MH版>人教版；定理深度：浙教版>人教版>MH版；综合深度：浙教版>人教版>MH版.

4 结论与建议

4.1 结论

人教版的知识广度最低，知识分布最集中，知识点集中于矩形和菱形．其例题数量是三版教材中最低的，而活动设计是最多的，主张精讲多问，活动设计均为引导性问题，以问题驱动为导向，培养学生的问题意识，将几何知识的学习融入问题解决的过程中．拥有最低的定义深度和最高的定理深度，注重让学生易于理解，但对从定义到定理的演绎过程要求最高，知识点深度居中，体现出“少且精”的特点.

浙教版的知识点分布最分散，矩形、菱形、正方形的知识占比最平均，其中正方形内容是三版教材中所占比重最多的.课内习题和活动设计的数量较多，注重课堂知识的及时巩固，同时鼓励小组合作或动手操作，注重让学生通过直观感受、思考操作、合作交流等方式获取新知.拥有三版教材中最高的定义深度和居中的定理深度，对学生的认知水平和新知引入要求较高，与其体验式的活动设计相辅相成.知识点深度最高，体现出了“多且深”的特点.

MH版的知识分布较为集中，主要集中于矩形和菱形．例题和课后练习的数量是三版教材中最多的，而课内习题的数量却是最少的．知识点难度是三版中最低的，其中定义深度位居第二，定理深度最低，相对放宽了对学生逻辑演绎的要求，易于学生理解.其中，建构(CONSTRUCTION)栏目的活动设计颇具特色，将一个复杂的问题细分成多个子问题，再根据每个子问题设计相应的探究步骤，逐步搭建起解决问题的桥梁，体现出“广而浅”的特点.

4.2 建议

从几何知识体系上看，正方形是一种特殊的矩形或菱形，是矩形和菱形的下位概念，教师应注重把握先行组织者设计的原则，在上位概念的同化中学习下位概念，适当精简正方形的讲授内容，引导学生认识几何知识之间的联系，把握教学生长点，注重知识延伸点，提高教学效率，形成层次化的研究思路；正确迁移矩形、菱形的教学方式和思想方法，采用整体性教学设计，掌握研究几何图形的基本路径，体现数学的整体性，把握逻辑的连贯性，重视思维的迁移性和思考方法的普适性.

从栏目设计的形式上看，人教版的思考多为一个引导性问题，而浙教版的合作学习和MH版的建构则涉及一定的现实情境，要求小组合作交流或动手操作.相较而言，人教版缺乏让学生通过直观感受、操作对比、合作交流等方式获取新知的体验过程，因此在使用人教版教材教学时可借鉴浙教版和MH版中的活动设计，使教学的活动设计更具多样性，从而调动学生学习的积极性，提高学生课堂学习的参与度.

国内两个版本教材中特殊平行四边形的知识点深度显著高于美国MH版教材，在不考虑两国初中生认知水平存在显著差异的情况下，人教版和浙教版教材在特殊平行四边形部分对学生提出了更高的要求.因此在教学过程中，教学环节的设计应当具备合理的难度梯度，优化知识的呈现方式，做到由浅入深、循序渐进.