不一样的抛物线？

吴小胜 (江苏省南京市江宁高级中学 211100)

教师的教与学生的学之间差距有多远？在抛物线的教学过程中，笔者再次深刻体会到教师的教从来都不应该替代学生的学，我们要为促进学生的深刻理解而教．

1 不经意的问题：“抛物线，不一样？”

在抛物线标准方程教学结束之际，一个学生问:“老师，今天我们学习的抛物线与初中作为二次函数图象的抛物线相同吗？”我随口将问题抛给全体学生，结果学生们异口同声地说“不一样”，这使得笔者非常惊讶．在惊讶之余，安排学生在课间写了自己的认识与意见，并收上来做了统计．全班41人全部交了作业：只有2人认为两者是一样的；有1人没有给出自己的结论；2人给出了“不一样的”结论但没有讲出理由；其他认为“不一样”的学生从不同角度阐释了理由，具体如下表．

表1

2 教学片断:怎样说明它们是一样的？

在所有的作业中，有2份作业认为两次所学习的抛物线是一样的，判断的角度却不相同：一个是从表达式的角度，一个是从几何条件的角度.这恰好为教学提供了素材．

2.1 方程形式不同只是因为建系的方法不同

师：大家基本上都认为两次学习的抛物线是不一样的，分别从开口方向、对称轴方程、顶点、表达形式等角度阐述了它们之间的区别．但也有人认为它们是一样的，请看作业图示(1)．

师：这些表达式是想说明什么？有请当事人．

师：那么开口方向，对称轴，顶点位置彼此不同，又如何解释呢？

生1：这些也都是由不同的建系方法造成的，只要调整建系方法，它们可以都开口向上，以y轴为对称轴，以原点为顶点．

师：也就是说，只要建系方法一样，抛物线与坐标系相对位置一样，它们的表达形式就会一样，它们的开口方向、对称轴、顶点也都会一样，因此两次学习的抛物线一样．好！其他人认为呢？

生2：与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)对应的是二次函数，其中x是自变量．但现在四种类型的抛物线并不都是函数，比如在y2=2px中，一个自变量x对应着两个不同的因变量，它就不再是函数了．

师：好像有道理，哪位同学可以解释一下？

生3：这也是建系方法造成的，即调整一下建系方法，这个抛物线的方程y2=2px就可以化为x2=2py了，这就是函数．

师：生2，你认为呢？(生2回答不出)

生3：在调整建系方法的过程中，x轴，y轴交换了、对调了．因此在表达式中x与y也对调了：在函数x2=2py中，x是自变量，y是因变量；在方程y2=2px中，我们可以认为y是自变量，x是因变量．因此在前者x2=2py中，y是x的函数，而在y2=2px中，x是y的函数，因此两者都是函数，只是表示自变量与因变量的字母对调而已．

2.2 两者的几何本质是相同的

师：上面的讨论试图说明它们是一致的，但似乎不是严格的证明，肯定有同学不太信服.接下来我们想一想，能否从几何角度来证明一下呢？请大家看图片(2).

师：请当事人解释一下.

生4：我认为既然它们都被称为抛物线，肯定本质是相同的，也就是说它们满足相同的几何本质，即符合到定点的距离与到定直线的距离相等，因此，我试图证明二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)上每一个点也满足上述的几何条件，只是没有证出来．

师：显然，要证明到定点的距离等于到定直线的距离，那就应该先找到定点和定直线，我们不妨先试着找到它们．

师：生4也做些努力，比如y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a，平移后可得到y=ax2，那么对于y=ax2而言，不妨假设a>0，则其中的焦准距p是什么？

师：这样说来，我们只要证明什么了？

师：如何化简呢？MF中含有x,y两个变量.

师：不错，MF与d更接近了一些，但还没有一致起来，观察式子结构，有何特点，怎样利用？

师：好，现在大家还认为它们不一样吗？

生11：本质一样，只是建系方法不同，导致表达式不同．

3 教学感悟

3.1教师的教与学生的学并不相同

在教师的传统意识中，教师教什么似乎学生就学到了什么，教师很容易以“同情心”“同理心”来认定学生.所以出现偏差时教师会诧异，学生出现“错误”时教师会埋怨“我都讲了N次了，怎么还会错”，岂不知教师的教和学生的学完全是两件事．建构主义认为，学习就是学生认知结构变化的过程，是学生主动建构的过程，学生在自己原有认知结构的基础上，经过认知冲突、同伴讨论、思维、教师的引领，才会产生新的认知．显然在此过程中，学生的习得内容与教师讲授内容并不一定会一致．

3.2 学生的问题才是真问题

思维靠问题来驱动，不同的问题对思维的激发效果并不一样.学生自身提出的问题比教师提出的问题更有针对性，来自于学生的问题才是真问题，才是学生学习的原发动力．因此，教师要特别重视来自于学生的问题，这样的问题最容易激发出学生思维的火花．

3.3 探究是建立知识本质联系的根本途径

死记硬背，模仿等机械、无意义的学习只能增加学生的负担，对于学生的深刻理解没有实质性的帮助．陆游所说：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”点出了教育的要点.深刻理解要求学习者对学习材料进行批判、分析、调整，只能经由学习者本人的主动建构来实现．

3.4 建立知识网络，实现深刻理解

深刻理解、建立知识网络是教学的一大任务．在学习抛物线这一新知识点时，教材是通过与椭圆、双曲线类比来建立抛物线的标准方程的．这种教学设计完全避开了二次函数图象是抛物线这一知识基础，于是在学生的知识结构中，这两个抛物线处于孤立的状态，致使学生也是完全从两个独立角度来理解抛物线(一个是几何图形，一个是二次函数)，所以学生将本质一样的抛物线理解为不一样的抛物线是可以理解的，我们可以通过一种方法让学生主动地将它们联系起来．