再探椭圆的一个定值命题的推广*

2021-05-17 03:04安徽省滁州中学239000
中学数学月刊 2021年5期
关键词:极线原点定值

(安徽省滁州中学 239000)

本文通过对椭圆的一个定值命题的推广过程进行反思,揭示这一定值命题的几何意义,继而给出能够推广的原因:关于原点对称的点,其极线关于原点对称.文[1]对椭圆中的一个与焦点弦有关的定值命题进行了探究.该命题为:

图1

文[1]最终通过分析解析几何的坐标法证明思路,获得一般化探究的路径,从而完成对这一命题的推广.为了从几何角度进一步解释文[1]为什么能够对命题1进行推广,需要给出一个能够揭示命题1几何意义的证明,即:

图2

本文讨论过程中涉及的线段均指有向线段.

先以命题2为例,说明能够推广的原因,然后以此为基础,指出能够推广为命题3的原因.

图3

证明设点P,Q的极线与直线PQ分别交于点G,H,直线AB交点P的极线于点M,直线AC交点Q的极线于点N,过点A作极线的平行线交直线PQ于点U.

文[1]提出将点A分裂为两点A1,A2,得出一个更为一般性的命题.通过对命题1能够推广为命题2和命题3的原因的分析,接下来给出这一命题的证明,并且给出其推广命题.观察文[1]提出的最后一个命题:

图4

获得圆锥曲线的一般性命题并非是圆锥曲线问题的探究终点,更为重要的是探讨圆锥曲线命题的几何意义,从而获得对命题的透彻理解.通篇考虑本文对这一定值结论的反思历程,最为关键的一步是获得能够揭示命题1的几何意义的证明,正是从文[1]提出的推广命题中,看出定值的代数式的几何意义,才得出一个关键判断:椭圆的这一定值命题极有可能是由焦点、准线的关系(极点极线)生成的,最后形成本文的命题1的新证.

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