结合数学思想 培养核心素养——以解三角形中方程思想运用为例

王弟成 (江苏省苏州实验中学 215011)

数学思想方法是对数学知识内容及其所使用的方法的本质认识，数学思想也是数学知识到数学素养的桥梁，掌握了它就能驾驭知识，寻找到解决问题的方法．教学实践中我们发现，在落实“四基”过程中抓住“基本思想”教学，对数学思想方法进行有效的渗透、揭示、运用，不仅能促进学生“四能”提高，也是落实并提升学生核心素养的有效抓手．本文以几道三角题求解为例，谈谈自己的理解．

1 问题呈现

这道三角综合题条件简洁明了，主要涉及两角和与差的三角函数．要求证的是两角之间的正切关系，并在给定一边长的条件下求该边上的高．教材上有类似问题，应该说此题难度并不大，但在实际教学中发现，多数学生处理第(1)问的证明时问题不大，而对第(2)问却束手无策，不知道从方程角度看问题，不能自觉运用方程思想整体把握问题．有的学生虽能列出关于边的方程，却不能结合目标对方程结构特点深入分析，导致列出了方程(组)却不会解．也有学生虽然能做出来，但说不出所以然，不能从思想方法角度理解解法，解出了题却无助于解题能力提高．

2 解法探究

2.1 利用方程思想整体把握问题

2.2 分析特点解方程

2.3 改变目标创新思路

若重新审视目标，换个角度思考，求面积关键是求ab的值，而求ab的值并不一定要分别把a与b的值都求出来，首先应考虑整体求解，看是否能整体求出ab的值．

两条思路都很清楚，都是学生会选的思路，都体现了方程思想指导下的思路探寻，但选择边的困难主要在于解方程．目标一变，好法显现，解法3中立足ab整体思考，则显得轻松得多，因此认识越深刻，解法越简捷．

2.4 数形结合变换思路

从上面分析知△ABC是锐角三角形，故可结合平面几何知识解决．

上述方法之所以能轻松解决问题，主要是利用条件结合平面几何知识，构建了关于h的一元方程，而解决一元方程相对简单多了．

3 在解题教学中运用方程思想提高学生学科素养

方程思想应用广泛，中学数学中很多问题都可以运用方程思想整体把握，寻求思路，解决问题．教学中发现，学生会列方程解决问题，但没有形成意识，不会从方程角度看问题，没有形成素养．这就需要教师主动抓住机会渗透、揭示、运用思想方法，用思想方法指导概念的获得和解题思路的形成，发挥思想方法这一有力武器的作用．同时，让学生感受到思想方法不是空洞的，而是实实在在存在的，能指导我们高效思维．三角公式和解三角形中正、余弦定理本质上都是方程模型，正余弦定理的运用充分体现了方程思想．下面再以几个例子加以说明．

图1

例2如图1，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三个顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是( )．

此题乍看无从入手，仔细分析后发现，立足三角形的边和角，分别在两个不同的、有联系的三角形中建立含有边和角的方程，两个方程两个未知数，解之即可．思路直接，目标明确，不需过多的思考，是解决此类问题的通性通法和程序化思维．把握这一点，就能找到解决三角问题的切入点．

图2

分析(1)根据已知条件直接使用余弦定理即可求解．

(2)从所求∠PBA出发，只要能建立关于∠PBA的方程即可，首先思考的是用∠PBA表示相关量．显然题中其他的边和角都可以用角∠PBA表示，如PC=cos∠PBA，PB= sin∠PBA，∠PAB=30°-∠PBA．

上述问题的求解过程中对问题的整体把握、对本质的深刻认识、对已知条件的合理使用、对解题方法的选择、对解方程困难的突破、对算法的恰当选择，都是在方程思想引领下完成的．在解题过程中，学生的“四能”得到培养，数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养都得到提升,教学需要这样的过程．