大概念视角下“三角函数的图象与性质”课堂教学设计*

张海强 (江苏省宜兴中学 214200)

2020年12月17日，笔者应邀参加江阴市教师发展中心和江阴市高级中学联合举办的对外公开教学，执教“三角函数的图象与性质”(第1课时)，采用人教版教材，学生为江阴市高级中学高一平行班，学生基础好，反应敏捷．

1 大概念和大概念提取

大概念(Big idea)是一种高度形式化、兼具认识论与方法论意义、普适性极强的概念；它已经不再仅仅是一个简单词汇，它背后潜藏着一个意义的世界，它超出了一个普通概念的应有内涵与外延,作为一种深刻思想、学说的载体，已成为“思想之网”的联接枢纽．“大概念”好比“车辖”．其表述方式可以是相关的概念、主题、有争议的结论或观点.[1]大概念的提取是“大概念教学”的前提，浙江大学教育学院刘徽[2]总结了大概念提取的八条路径，即课程标准、学科核心素养、专家思维、概念派生、知能目标、生活价值、学习难点和评价标准，其中，前四种是自上而下提取的，这种方式提取的大概念往往是“现成”的，难点在于教师能否准确理解大概念；后四种是自下而上提取的，难点在于是否能沿正确的方向上升到大概念的层面.

课程标准是国家课程的基本纲领性文件，因此，原则上所有大概念的提取都要参照课程标准，甚至从课程标准可以直接提炼大概念.[2]高中数学新课标指出：函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具．[3]此即为一个大概念，函数研究的一般方法可以概括为：背景→概念(具体函数)→图象→性质→应用．

知能目标，即知识和技能目标也可以向上提炼为大概念.[2]函数作图教学从初三开始，学生积累了大量的作图经验，但这些作图经验是零散的、碎片化的，经过提炼，可以将它们上升为“函数作图关注基本形状(描大量的点)和具体位置(抓关键的点)”这一大概念．

综上，本教学设计涉及两个大概念：(1)函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具；(2)函数作图关注图象的基本形状(描大量的点)和具体位置(抓关键的点)．

2 大概念视角下的课堂教学设计

函数作图教学从初三开始，分别学习了一次函数、二次函数和反比例函数的图象，进入高中，又学习了幂函数、指数函数和对数函数的图象，学生对函数作图积累了大量的经验，三角函数的作图则是对学生函数作图经验的总结与提炼，以形成函数作图的方法论．

活动1 请回顾研究函数的一般方法．

函数研究的一般方法为由背景抽象出数学概念(具体函数)，再画出函数图象，进而由图象得出函数性质，最后将具体函数作为模型加以应用．其结构图如图1所示．

图1

前面我们感受了周期现象，并抽象出了刻画周期现象的重要数学模型——三角函数，今天一起来学习三角函数的图象与性质——正弦函数、余弦函数的图象．(引出课题)

设计理由在单元层面进行“大概念”教学是由其性质所决定的．一个抽象概念(观念)要通过一定数量的具体案例才能得以支撑，如“函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具”这一大概念，其研究方法需要多次强化，才能为学生所掌握，并形成独特的思维方式，最终积淀为数学素养．

单元具有拓展性结构，既包括在集中一段时间内教学的单元，也包括不集中时间教学，分布在各个不同的学时(甚至学段)中的，但指向同一个(组)大概念的单元．如大概念“函数作图关注基本形状和具体位置”横跨初、高中，即使在高中，内容涉及必修课程主题二函数、选择性必修主题一函数中的“一元函数导数及其应用”和选修课程A,B类课程中的微积分．

本案例为学生描绘了一幅学习地图，让学生既知道自己所处的位置，更知道要去向何方．

活动2 回顾从初三以来函数图象绘制的过程，总结函数作图的经验，并提炼为一般方法．

经过学生讨论，最终得出函数作图的一般方法大致可分为两个环节：探求基本形状(描大量的点)和确定具体位置(抓关键的点)．

设计理由将学生零散的、碎片化的作图经验加以提炼，形成大概念：函数作图关注图象的基本形状(描大量的点)和具体位置(抓关键的点)，为后续的三角函数作图作必要的准备．

活动3 由三角函数的定义和解析式y= sinx，你能描述正弦函数图象有什么特征吗？

图2

围绕定义域、值域、周期性、单调性等部分性质展开,并指出这些性质对研究图象有什么帮助.由三角函数的定义可知，正弦函数具有周期性(周而复始)，它可以简化三角函数的作图过程，只需考虑一个周期的函数图象；值域从纵向限制了图象的范围；单调性则粗略地描述了图象的大致走向，帮助学生直观想象三角函数图象的整体图形特征．从解析式的角度，由诱导公式sin(-x)=-sinx知，函数y=sinx为奇函数．

设计理由研究函数的思路一般有两种：一是根据定义画函数图象，再结合图象研究性质；二是根据定义推导性质，再由性质画图象．在具体实践中，往往需要将两者有机结合起来．此处借助单位圆，从定义、性质等角度对正弦函数的图象作大致的描述，有利于学生对正弦函数图象的整体把握，体现数形结合的思想，发展了学生逻辑推理和直观想象素养．这一设计突破了“先画图象，再由图象得出性质”的习惯思维，成为本课堂教学设计的一个创新点．

至此，建议让学生描绘正弦函数的大致图象，由于学生对图象的凹凸性把握不准，所以可为引入描点法作应有的铺垫．

活动4 如何作出正弦函数y=sinx图象上的点T(x0,sinx0)？请你尝试用描点法画出y=sinx，x∈[0,2π]的图象．

图3

如图3，将点A绕着点O′旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0=sinx0，由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x0,sinx0)．

图4

借助信息技术描出任意多的点，并连续成线．

设计理由图象上任意一点的作法，蕴含了函数图象整体的构成原理．以单位圆为脚手架，从定义出发描出正弦函数图象上的点T(x0, sinx0)，这一方法比直接描点法更精确，更为重要的是它揭示了函数图象与三角函数定义之间的内在逻辑联系，体现了知识的整体性和联系性．

掌握了任意一点的作法原理后，通过选择具体的、足够多的点进行描点，是从感性认识的积累飞跃到理性认识不可或缺的步骤．这12个等分点的选取不仅操作简便，而且包含了函数中零点和最值点以及一些常用的特殊角，有利于对图象特征的把握．

利用信息技术的连续动画功能，可以得到更多的图象上的点，达到点动成线的直观效果，使学生进一步理解任意一点与整体图象之间的关系，理解图象形成的内在道理．

活动5 画出y=sinx，x∈[0,2π]的图象，并作出正弦函数y=sinx，x∈R的图象．

从区间[0,2π]到实数集R的延伸．从数的角度：sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z,k≠0)可知，函数y=sinx，x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈R且k≠0的图象与y=sinx，x∈[0,2π]的图象形状完全一致．因此将函数y=sinx，x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移2π个单位长度，就可以得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象(图5)．

图5

设计理由从区间[0,2π]的局部图象到实数集R上的整体图象，是从有限到无限的推广过程，是数形结合思想的集中体现，是训练逻辑推理和直观想象的绝佳素材．

图6

活动6 请你找出确定正弦函数图象的一些关键点．(“五点法”作图)

设计理由当函数图象的基本形状确定后，如何较快作出其简图呢？这就涉及函数作图关注的第二个环节:具体位置(抓关键的点)．至此，大概念：函数作图关注图象的基本形状(描大量的点)和具体位置(抓关键的点)得到进一步强化．

活动7 请你作出余弦函数的图象,你有哪些不同的思考角度？

设计理由正弦函数与余弦函数是一对密切关联的函数，借助已知的正弦函数的图象来画余弦函数的图象，可以加强对两者联系性的认识，也体现了化归思想．

活动8 请你作出下列函数的简图：

(1)y=1+sinx,x∈[0,2π]；

(2)y=-cosx,x∈[0,2π]．

设计理由通过画两个简单函数的简图，加深对正弦函数与余弦函数图形特征的认识，熟练掌握“五点法”作图的操作步骤．

在画出两个函数的简图后，引导学生从图象间的关系感知函数解析式的变换和图象变换之间的内在联系，为后续学习三角函数的图象变换作准备．同时提升学生学会从不同的角度看问题的意识和能力．

活动9 请你谈谈本节课的收获、体会和感受．

宏观角度：知晓了研究函数的一般方法；明晰了函数作图关注的两个环节.中观角度：数形结合思想，着重突出数与形之间的转换与印证.微观角度：会画出正弦函数与余弦函数的图象．

其结构图如图7所示．

图7

设计理由让学生从反思与分享中学会学习，以改进学习方式，充分展示学生的个性．

图形思维能够加深理解程度，让思考更清晰．结构图依据图形思维绘制，堪称思维导图的升级版，该图以两个大概念为底色，包含了三个数学学科核心素养:抽象、推理和模型.函数的图象与性质通过数形结合来贯通，经纬交错，一目了然．

3 结语

大概念能反映学科的主要观点和思维方式，是学科结构的骨架和主干部分，有助于教师准确定位教学价值，落实数学学科核心素养；大概念是对众多知识概念的筛选与融合，有利于教学内容的结构化，提倡“少而精”；大概念能提供对于理解知识、研究和解决问题的思想方法或关键工具，可运用于新的情境，有助于对学习知识的迁移应用．