初中生数学交流表达能力的认识与培养策略

孙 虎 (同济大学附属实验中学 201805)

在基础教育阶段，学生除了要在数学学习的过程中掌握基本的数学知识，发展数感、符号意识、空间和数据分析观念、运算和推理能力、几何直观、模型思想以及应用和创新意识等关键能力，还要养成数学地思考和表达问题的能力．[1]交流表达能力不仅是数学能力的构成成分之一，而且对于思维能力、推理能力、问题解决能力等其他数学能力的培养具有辅助作用．[2]《义务教育数学课程标准(2011年版)》就提出，学生要能够在数学活动中清晰地表达自己的想法，要能在问题解决的过程中学会与他人合作交流[3]，为后续在高中阶段发展数学建模和数据分析等核心素养及“用数学的语言表达世界”做好准备．

在实际的教学过程中，随着年级的增加，学生的交流与表达热情却逐渐降低，这一现象的产生除了受到教学内容难度增加的影响，还有教学策略方面的因素．在教学过程中，教师往往将学生的交流和表达放在课题引入和课堂小结阶段，对学生表达内容的关注也局限于内容是否符合教学主题，表达方式是否流畅、清晰，常常忽视“教表达”对学生数学思维的提升作用．[4]这也导致了学生在向同伴阐述自己的观点时常常会有“不知道怎么说”“想说的事情不能准确地表达”以及“不知道对方是否明白我的意思”等困难的产生．[5]可见，对学生数学交流表达能力的培养，还需要在意识层面获得足够的重视，在实践层面进行深度的探索与优化．

1 交流与表达能力的认识

1.1 交流与表达能力的内涵

数学交流就是指用数学的语言来传递信息和情感的过程．[2]良好的数学交流过程就是将自己习得和理解的数学知识、技能、思想方法以及情感态度等通过口头或者书面的形式传递给对方的过程．在交流的形式上，数学交流既可以是人与人的交流，也可以是人与数学书籍等文字资料的交流，其本质都是借助数学语言和符号来促进数学思维的发展和数学知识的拓宽．在交流的特点上，与生活中的交流相比，数学交流的语言是一种更抽象、更准确、更简约以及更加形式化的专业语言，且以符号语言、文字语言和图表语言为交流的载体．在交流的价值上，数学交流既是解决数学问题的前提,也是数学的最终归宿.作为信息传递的方式，任何数学问题都需要通过交流来促进理解，任何已经解决的问题也都需要通过数学交流来进行传播．

1.2 交流与表达能力的数学学科价值

交流和表达是数学学习过程中分享观点和澄清理解的一种重要方式．数学学习的过程就是多元表征符号系统的建构过程，在数学教学的过程中，高质量的交流与表达也会促进数学表达的听、说、读、写以及思维能力的发展．通过数学交流与表达，学生不仅能够更深刻地理解数学，还能够发展他们使用恰当的数学表达阐释自己数学观点的能力、解决复杂情境问题的能力、发展数学表达的专业语言体系，同时在交流的过程中养成批判思维与辩证思维．学生可以在交流的过程中反思、精炼、讨论和修正数学观点，与他人交流学习结果的过程，也是思维和推理逻辑更清晰的过程．

数学的学习实质上就是数学语言的学习．数学理论几乎都是由概念和命题组成的逻辑体系来表现．有观点认为，数学语言就是数学模型．[6]学生用数学语言表达客观世界，实质上就是将所学数学知识构建数学模型应用于外部世界，用数学模型刻画客观世界中研究对象的性质、关系与规律．[4]特别是在大数据时代，借助模型对数据进行分析和处理变得越来越重要，在这个过程中必然会促成数学思维和能力的发展．在代数方面表示、表达和交流数与符号的信息，在几何方面描述实物或图形运动和变化的情况、描述物体的位置关系，在逻辑推理方面清晰、有条理地表达自己的思考过程等等都建立在良好交流与表达能力的基础上，可见交流与表达能力的发展必然会影响数学能力的发展．

1.3 交流与表达能力的育人价值

通过数学课程的学习，在数学表达能力方面，要能用数和符号来表达和交流信息，能选择适当的程序和方法解决问题，能清晰、有条理地表达和解释自己的思考过程与问题解决的结果，能用文字、符号或图表等清楚地表达解决问题的过程，并解释结果的合理性；在数学交流能力方面，学生要能够在与他人交流的过程中，运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑，学会与人合作，能与他人交流思维的过程和结果，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．[3]在这些发展目标中，尤其重视“清晰地表达自己的想法”和“学会与他人合作交流”能力的发展．

在以上交流与表达能力的育人价值及育人目标中，包含了较为完整的目标指向．结合我国的教学实际，对交流与表达素养的能力发展更加注重自我反思及与内心的交流，同时较为注重交流与表达的条理性，一般会要求学生能够有条理、清晰地表达自己的想法，还要能够较好地理解他人的思考方法和结论并能够针对他人所提的问题进行反思．通过在交流与表达中倾听、交流和思考，除了能够促进学生对知识的深度理解，还能够在学习经历中获得学习体验．同时，通过在学习活动中独立思考、展示交流和质疑批判，还有助于学生交流能力的发展，形成终身受益的数学素养．

2 交流与表达能力培养的案例研究

2.1 在交流引导中促进数学概念的理解

案例1在学习完二次函数图象以后，有位学生找到笔者说出了心中的困惑．

生：老师您好，我们在寻找二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的时候，是令ax2+bx+c=0，然后根据判别式的情况进行研究．我的困惑是：当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个公共点时，对应的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，为什么一个公共点可以对应着两个实数根？我们是不是应该将前半句表述改为“当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个重复的点时”呢？

师：看样子你已经认识到了二次函数的图象和一元二次方程的根之间存在的深度联系．那你觉得二次函数的图象和一元二次方程的根之间有什么区别呢？

生：二次函数的图象是由无数个x和对应的y生成的点组成的，一元二次方程的根是确定的．

师：很好，这说明二次函数的值是由自变量决定的，从图象上看就是y随着x的取值不同而产生无数个点的过程，而且这是一个连续、动态的变化过程，而一元二次方程是静态的．

生：我好像有点明白了，二次函数的图象与x轴的交点是由自变量x的取值决定的，所以当函数图象与x轴有一个交点时只有一个对应的自变量，所以看成一个点而不是两个重复的点．

师：就是这个意思．

生：那为什么一元二次方程判别式等于零的时候就是两个相等的实根，而不是一个实根呢？

师：如果把一元二次方程的两个相等实根看成一个实根的话，你还能看出x-3=0和(x-3)2=0的差别吗？

生：确实看不出它们的差别了，但是解一元二次方程的结果明明是同一个数……

师：其实我们在解高次方程的时候都是把方程化为几个一次因式相乘的形式，上面的(x-3)2=0要看成两个因式相乘的形式(x-3)(x-3)=0，这时候你会发现这个方程确实是有两个相同的解的．

生：我明白了，这就类似于如果abc=0，则有a=0或b=0或c=0，他们是三个相同的根．

师：对的．

案例评析师生交流是教学过程中最常发生的场景，也是教师了解学生真实想法最宝贵的时机．在案例1中，当教师遇到学生询问问题时，先引导学生梳理与之相关的数学信息，在学生表述完他的想法以后，教师再用数学的语言对学生的表达内容进行转述，在转述的过程中让学生自己寻找到问题解决的突破口．这一过程既锻炼了学生用严谨的语言表达数学的能力，同时，学生通过交流与表达完善了认知体系中的相关数学概念，还暗示学生可以在产生问题的时候通过“自我问答”的方式解决问题，培养解决数学问题的自信心．

2.2 在同伴讨论中体会数学的简洁美

案例2在“画线段的和、差、倍”的教学过程中，有一个活动环节是用尺规作图寻找线段的中点，几位学生之间发生了如下对话：

生A：那我以B为圆心作弧的时候再把半径取长一点嘛！

生B：那你画出来的图的两个交点就都靠近点A了，还怎么能找到中点？

图1

生A：我不是你理解的那个意思(说着拿出一幅图,如 图1)，这样不是也可以找到线段中点嘛．

生B：你这么画倒也没问题……

生C：线段既是轴对称也是中心对称图形，你这样画是没问题的，但是总感觉没那么简洁．

生A：难怪课本上这样叙述，虽然我的作法也可以找到线段中点，但是比较繁琐，原来课本上是直接给出了最简洁的一种作图方法．

案例评析学生之间每天都会发生很多与案例2类似的对话，这些对话可能是来源于灵机一动的灵感，也可能是来源于困惑许久的问题．同伴之间的讨论与交流，不会有师生之间存在的天然隔阂，讨论的问题可以更加深入，彼此的观点可以在交流过程中得到充分交换．在案例2中，几位学生讨论了用尺规作图的方法寻找线段的中点，通过对作图方法的深度思考并与同伴进行交流，发现了一些教材之外的方法，共同经历了作图方法的优化，体会到了数学学科中问题解决方法的“多样美”和问题结果的“简洁美”．

2.3 在教学引导中促进思维品质的提升

案例3在学习完“整式”一章后的一节习题课上，发生了如下一段对话：

师：对于“若m2-2m-1=0，则代数式2m4-4m3-4m的值是多少？”，我们可以怎样思考？

生1：我觉得可以把代数式化为2m2(m2-2m)-4m，然后就可以将m2-2m=1代入，得到2m2-4m，从而得到代数式的值为2．

生2：我是将m2-2m-1=0化为m2=2m+1，然后代入代数式2m4-4m3-4m，得到2(2m+1)2-4m(2m+1)-4m，化简得8m2+8m+2-8m2- 4m-4m，合并同类项之后直接得到代数式的值为2．

师：两位同学都用了自己的方法获得了正确的结果，大家看看他们选择的方法有什么异同？

生3：生1将m2-2m当成一个整体，不需要进行很多运算就可以解决问题，生2通过将m2-2m-1=0化为m2=2m+1，将代数式的次数逐渐降低来获得结果．

生4：生1的方法需要先找到“整体”，但是并不是在所有问题中都能够找到这个“整体”，生2的方法虽然看上去运算较多，但是适用的情况更多，比较通用．

师：生3和生4都说出了两位同学使用方法的内涵，生1的方法是我们在后续学习过程中常用的“换元”的方法，使问题简化，能够更清晰地看出问题的真面目，生2的方法是在解决高次问题中常会接触到的“降次”的方法，两种方法各有优势，大家可以在后续的问题解决中继续体会两者的异同．

案例评析课堂教学过程中，师生群体交流是数学思维发展与能力培养的主要方式．案例3通过较为典型的“发问—反馈—追问—思辨—总结”的师生交流与表达方式，探寻多种问题解决方式的特点．在这一过程中，学生们通过展示问题解决的想法及方法获得解决问题的成就感，通过思考同伴的表达发展思辨意识．教师在这一过程中通过引导学生思考和交流，在培养学生交流与表达能力的同时，也让学生意识到数学问题可以从不同角度进行思考，问题解决策略也有适用情境和特点，引导学生选择自己擅长的方式解决问题，从而促进学生思维品质的提升．

3 交流与表达能力的培养策略

3.1 加强数学语言的教学

数学语言是数学交流与表达的工具，在交流与表达过程中正确使用数学语言是理解交流内容和本质的前提．由于数学语言具有简洁性的特点，当学生在阅读数学概念、定理或证明过程时，首先需要了解出现的每个数学术语和数学符号的含义，数学语言发展水平低的学生可能存在信息接收不敏感，文字、符号和图形等三种语言之间的转换不流畅，利用数学语言进行信息交换受阻等问题．

在教学过程中，教师可以通过加强数学词汇意义的理解教学，比如揭示数学专有词汇、符号和图形的内涵来促进数学语言的发展．也可以通过加强三种数学语言的相互转换教学，比如可以通过将“两个数的平方的差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积”这一数学概念的文字表述用符号语言和图形语言进行转译来促进数学知识的内化和数学语言的发展．对于一些特殊数学符号的教学，还可以通过介绍其引入的必要性来帮助学生自然地内化相关知识．

3.2 引导学生积极表达

数学能力的培养离不开数学思想的交流，观点与观点的碰撞交流往往能够迸发出对数学内容更深层次的理解，而学生是否愿意交流则显得很关键．课堂的数学交流一般是由教师发起并进行引导，教师在数学交流过程中的作用至关重要，在引导的过程中，能否激发学生的表达兴趣与欲望对交流的质量有重要的影响．

在交流过程中，教师可以通过将最终的问题分拆为几个难度逐级递增的小问题来培养学生的成就感、激发学生的表达欲望．当学生遇到表达困难时，可以及时对所提问题进行解释或者补充描述，鼓励学生说出哪怕部分观点和想法，也可以在提出问题以后给予学生足够的交流和思考的时间．在交流表达的过程中，鼓励学生及时地对同伴的交流内容进行补充与反馈，培养学生的自我效能和思辨意识．

3.3 丰富交流表达方式

数学交流与表达的形式比较多样，既可以是生生之间的对话，也可以是师生之间的讨论，甚至可以是与数学书面形式语言的交流．信息传递的方向可以是阐述自我观点的输出，也可以是对对方观点聆听的输入．表达的方式既可以是口头表达,也可以是书面表达，以上种种丰富的表达形式为教师的教学提供了不同的选择．

教师可以让学生用自己喜欢的方式进行数学交流．比如将思维过程用语言、算式、图表等记录下来进行展示，或者在教学过程中通过小组合作的形式，选派小组代表进行数学观点的表述和交流，然后同伴进行补充，还可以通过数学写作的方式与别人交流自己在学习中的收获，或者通过为学生提供表达的逻辑框架，让学生的表达形式更加规范，并在此过程中提高表达的能力．

数学交流的目的是为了更好地理解数学，而理解数学的目的又是为了更好地交流，数学理解和数学交流之间是互为因果的关系．教师在教学过程中除了可以通过以上策略提高学生的表达能力，还可以通过为学生提供规范的表达示范——教师本身就是数学表达很好的榜样，引导学生关注数学的多重表征以增加表达方式的选择、加强数学阅读指导以丰富和完善数学语言系统、关注学生语言表达过程中的缺陷以及时完善语言表达等方式，对初中生的交流与表达能力进行培养．