周期函数概念的历史

韩 粟 (华东师范大学教师教育学院 200062)

1 关于周期现象的认识

昼夜交替，阴晴圆缺，潮涨潮落，春去秋来……这些循环往复的自然现象伴随着人类社会的产生与发展．古代先民通过观测、记录天象的变化规律，制订历法，选址建筑，经营农耕．

图1 英国邮票上的巨石阵

西方文明中，位于英国威尔特郡的史前遗迹——巨石阵(Stonehenge)被认为是世界上最早的天文台．如图1所示，它可以用来观察月相由新月到满月的周期变化，一些学者还认为它可以用来确定太阳升起和落下的最北处和最南处．在古巴比伦，人们发明日晷来确定一天中的时刻；编制能够协调月相盈缺和太阳升落的阴阳合历，又将七个星宿和七个神灵一一对应，创立七天一循环的星期制度，用以安排农事活动．古埃及的祭司还会通过东方天空中天狼星的显现来预言尼罗河的泛滥日，以便防范洪灾，树立其威信[1]．

古代中国的先人同样擅长利用大自然的周期变化规律，他们既能仰观天宇，通过圭表测日等制定二十四节气；又能俯察大地，研究动植物生长乃得七十二候．《汉书·礼乐志》中载有的“精健日月，星辰度理，阴阳五行，周而复始”一说，反映出古代人民对自然节律的认识塑造了其朴素的辩证唯物哲学观．约一千年后，金元之际的数学家李治(1192—1279)在《敬斋古今黈》中首提“周期”一词，书中记载：“阴阳相配之物，而老少又必相当．乾之策，二百一十有六，老阳也；坤之策，百四十有四，老阴也．老阴老阳相得为三百六十，则周期之日也．”[2]这一典故源于《周易》中的“六爻”占卜法，其中一爻对应的策数只有36、32、28、24四种，36策为老阳，记为乾卦，24策为老阴，记为坤卦，则六爻至多可得乾卦216策，至多可得坤卦144策，二者合并，得周期之数为360．

无论哪一种文明的迹象都表明：周期起源于天文学．天象的周期变化为人类社会确定了自然时序，引起的各种周而复始的现象又致使周期一词在农牧、地理、宗教、哲学等方面具有了丰富的内涵．但就这些而言，倘若用数学的眼光看周期，它在抽象之后无非就是一些简单的算术而已．直到三角学的解放和微积分的创立，周期才被赋予数学上更广泛的意义．

2 三角函数的周期性

在欧洲，德国数学家雷格蒙塔努斯(J.Regiomontanus,1436—1476)最早将三角学从天文学中独立出来，成为数学的一个分支．进入17世纪，代数也不再是几何的附庸，经过沃利斯(J.Wallis,1616—1703)、牛顿(I.Newton,1643—1727)和莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646—1716)等大数学家的努力，代数及分析的理论不断拓展．此后，函数日趋成为主流，角的概念得到推广，在此背景下三角函数应运而生．法国数学家拉尼(T.-F.de Lagny,1660—1734)、英国数学家柯特斯(R.Cotes,1682—1716)都曾致力于三角函数的研究，他们不约而同地发现三角函数可以用来描述自然界中普遍存在的周期现象，这一性质即三角函数的周期性(periodicity)[3-4]．

图2 法国数学家拉尼 图3 英国数学家柯特斯

表1 《无穷分析引论》中的诱导公式

进一步将它们替换成加上2nπ后的值，得到一系列诱导公式(表1)．

欧拉没有明确提出三角函数周期性的概念，但他默许n在整数集内任意取值，说明他已经发现自变量每增加(或减少)2π，正弦函数值或余弦函数值重复出现．还有一条有力的证据来自于第21章《超越曲线》，此章的内容表明：正弦曲线和平行于自变量所在坐标轴的直线(不超出振幅)有无数多个交点，且每两个相邻交点间距离相等，余弦曲线同理，代数曲线则不具有这一性质[5]．

图4 任意角XOP

欧拉的工作使得针对三角函数周期性的研究开始全面化、系统化．此后，一些数学家跟随欧拉，通过列举诱导公式来表述正弦函数和余弦函数的周期性变化特征，并补充了正切函数等其他三角函数的周期性．

19世纪中后期，周期函数(periodic function)一词面世．英国数学家惠勒(Wheeler,1877)指出：记任意角XOP的角度为φ．对任意(非零)整数k，φ±2kπ和φ对应角的所有三角函数值相等．这一性质使得三角函数又被称为周期函数，周期为2π．他还注意到正切函数和余切函数有着更小的周期π[6]．

1883年，美国数学家奥利弗(Oliver)在文献[7]中“函数的周期性”一节给出了更详细的解释：若k取正整数，则+2π,+4π,…,+2kπ表示角XOP的终边OP逆时针转过1,2,…,k圈；若k取负整数，则-2π,-4π,…,-2kπ表示终边OP顺时针转过1,2,…,k圈．因此，角度φ和φ±2kπ对应的终边均为OP，则它们对应的三角函数值相同，所以称三角函数为“角的周期函数”[7]．维钦斯基(Wiczynski,1914)借助单位圆中角终边OP的旋转给出了相同的解释[8]．

上述数学家基于诱导公式和角的终边说明了三角函数的周期性，还有数学家结合三角函数的图象给出了直观的解释，如格兰维尔(Granville,1909)以正弦函数y=sinx的图象为例，指出：角在0到2π内变化时，正弦值先从0增加到1，再从1减少到-1，最后从-1增加到0；在2π到4π内，正弦值经过相同系列的值，依次类推，所以正弦函数的周期为2π；同理，余弦函数、正割函数y= secx及余割函数y=cscx的周期都为2π．由于正切和余切在每π弧度内经过相同系列的值，所以它们的周期为π．综上，他提出：当角匀速增加或减小时，每一个三角函数反复经过同样系列的值，故称其为周期函数[9]．

至此，我们看到，当欧拉将三角学从静态的解三角形中解放出来后，动态的三角函数的研究如雨后春笋般涌现，数学家们用尽三角学内的各种工具，如诱导公式、角的终边、单位圆、函数图象等，分别定义了三角函数的周期性，还展开了充分的探讨，因此得出的结论也是比较准确的．

3 周期函数的定义

19世纪末至20世纪初，无论是由物理学中对各种信号波形的处理引发的对数学工具的强烈需求，还是数学内部函数作为一门数学语言的飞速发展(如来自函数图象的直观证据等)，都促使数学家们着手探索一般周期函数的定义．尽管三角函数的周期性已经昭然若揭，但同奇、偶函数一样，要发展出用代数的符号语言完整表述的周期函数定义，其中经历了曲折的数学抽象过程．

3.1 描述性定义

最初，一些数学家倾向于用自然语言描述周期函数这一概念，与此同时，周期的概念也开始登上历史舞台．

1900年，杜尔斐(Durfee)给出如下定义：当自变量或幅角增加时重复自身的函数称为周期函数．周期是使函数值发生重复的自变量的改变量[11]．而帕尔默(Palmer,1914)给出的定义为：周期函数是指当自变量增加一个常量时值不变的函数，该常量的最小正值称为周期[12]．比较这两个定义，可以看出前者尚未摆脱三角函数的影响，抽象程度较低，而后者尽管未使用函数符号，但已经初具雏型．按照杜尔斐的说法，周期应该有无数个，帕尔默却只取最小正值的那一个作为周期．可以推测，在周期函数概念的诞生之初，数学家们对周期该如何定义存在着一定的分歧．

还有一种定义是基于函数的图象来描述周期性，如莫里兹(Moritz,1915)先定义：每隔一个确定区间重复自身的曲线称为周期曲线(periodic curve)，发生重复的区间称为周期；然后他称这种曲线所表示的函数即为周期函数[13]．盖伊(Gay,1935)的定义则为：若一个函数的图象由一系列形状完全相同的弧所构成，则称该函数为周期函数，x轴上使曲线纵坐标取遍所有可能值的区间长度称为曲线的周期[14]．诚然，一个数学概念一开始总是建立在直观和经验上，但过分依赖几何直观容易导致致命的错误，且看图5所示的两个简单的函数图象．对照上述定义，两个曲线显然都在重复自身，每一段弧的形状更是完全相同，按照莫里茨的定义，它们都有确定的周期，但按照盖伊的定义，周期则是雾里看花，不知所云．事实上，借助构造分段函数的方法，我们可以画出很多满足上述定义的函数图象，但它们表示的未必是真正的周期函数．

图5 两个函数的图象

综上，尽管上述定义适用于三角函数，但符号语言的缺位、定量刻画的缺失，导致此类定义未能清晰地界定一般周期函数概念的内涵，自然语言的滥用又使得概念的外延被错误地放大，导致周期的定义也不甚明朗．所以，此类描述性定义不符合数学的抽象性和严谨性，尔后不再被使用．

3.2 不完善的形式化定义

1899年，穆雷(Murray)在《平面三角学》一书中首次用函数的符号语言给出了周期函数的定义：若函数f(x)具有性质f(x)=f(x+k)，其中x可取任意值，k为常数，则称f(x)为周期函数，而满足该等式的最小(正)数k称为该函数的周期[15]．该定义可以视作上文中帕尔默定义的符号代数版本，也是现行教科书中定义的雏型.但结合函数概念及其构成要素仔细推敲，该定义还存在一些可待商榷之处，比如：(1)没有明确周期函数的定义域(根据下方的注释，可以推测穆雷默认周期函数的定义域为全体实数)；(2)认为周期函数的周期一定存在且只有一个，其在正数范围内取值．

此后，对于周期的讨论延续不断．罗森巴赫(Rosenbach,1937)指出：一个周期函数的周期的任意(整数)倍也是周期[16]．斯梅尔(Smail,1952)定义：使f(x)=f(x+P)的绝对值最小的常数P为原始周期(primitive period)(又称基本周期，fundamental period)[17]．1955年，怀利(Wylie)在《平面三角学》中首次明确了周期的非零性[18]．

上述工作解决了从三角函数的周期性抽象到一般周期函数过程中围绕周期产生的一系列问题.在三角学中，将角的终边旋转0圈自然是无意义的，然而一般化后，却极易忽略周期取值非零这一点．基本周期的概念，正对应着将终边旋转1圈的情形．

1940年，德累斯顿在《微积分导论》中定义周期函数如下：设函数f(x)的定义域为R(Range, 表示取值范围)，若对任意的x，x和x+P都属于R，且满足f(x)=f(x+P)，则称f(x)是周期为P的周期函数[19]．德累斯顿的定义表明：周期函数的定义域不需要为整个实数集，甚至不需要是连续的区间，只要定义域至少有一侧无界即可．

符号语言的使用使得周期性被确认为函数的重要性质之一，实现了周期函数从描述性定义到形式化定义的飞跃．但上述数学家的定义并非尽善尽美，比如：斯梅尔所说的基本周期一定存在吗？周期的取值范围到底是什么？此时期内，没有一个数学家给出完整无误的周期函数定义．

3.3 较完善的形式化定义

1958年，夏普(Sharp)集前人之大成，给出了较完善的周期函数定义：设函数f(x)的定义域为D，k为非零实数，当x在D中时，x±k也在D中．若对于D中x的每一个值，均有f(x)=f(x+k)，则称f(x)为周期函数，数k称为f(x)的一个周期[20]．与斯梅尔对基本周期的定义略有差异，夏普只取最小的正数为基本周期，又称最小正周期(smallest positive period)，与今日教科书中的说法相同．那么，最小正周期一定存在吗？夏普通过常值函数这一反例，简短有力地说明了周期函数不一定存在最小正周期．

取任意有理数q≠0，则当x为有理数时，x+q为有理数，有f(x+q)=1=f(x)；当x为无理数时，x+q为无理数，有f(x+q)=0=f(x)；所以任意有理数都是狄利克雷函数的周期．取任意无理数∂，其相反数-∂为无理数，则f(-∂)=0，而f(-∂+∂)=f(0)=1，即f(-∂)≠f(-∂+∂)，所以任意无理数都不是狄利克雷函数的周期．对狄利克雷函数周期性的讨论同样表明了周期函数的最小正周期不一定存在．

此外，夏普在书中还提出并证明了周期函数的若干定理：

定理1若周期函数f(x)的周期为k，则k的任意非零整数倍也是f(x)的周期．

夏普特别强调，定理3中的周期不可与最小正周期一概而论，即不能由函数f(x)和g(x)的最小正周期均为k而推出上述任何一个函数hi(x)(i=1,2,3,4)的最小正周期仍为k．接着夏普不加证明地给出了下述定理：

定理4若周期函数f(x)和g(x)的最小正周期的比为(非零)有理数，则它们存在一个共同的周期，且上述函数hi(x)(i=1,2,3,4)仍为周期函数．

现行高中教科书定义周期函数如下：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．[21]与该定义相比，夏普的定义要求x±k必须都在定义域D中，势必导致周期函数的定义域在数轴的两侧都要无界，高等数学中许多教科书便采取了与之相似的定义．若取正弦函数的正半部分y=sinx,x∈[0,+∞)，在此定义下它便不是周期函数．

两种定义孰对孰错？孰优孰劣？许多一线教师就此问题屡屡产生争鸣．综合、辨析他们的观点[22-23]，笔者认为：在高中阶段，学生只需理解周期函数的定义域是无界的，无需基于定义去考究其范围是至少单侧无界还是双侧无界，能针对具体问题情境具体分析即可．回到周期的起源，几乎所有具有周期性的自然现象都是从某一时刻开始的，如果采取后者，不承认仅单侧无界的函数的周期性，则大大削弱了周期函数的应用价值，也背离了运用三角函数构建事物周期变化的数学模型的出发点．考虑到初等数学与高等数学的衔接，或许数学工作者们应当将周期函数的定义进行适当的推广，如定义“弱周期函数”[24]等，以消释现行两种周期函数定义的矛盾．

4 结论与启示

综上所述，我们可以大致勾勒出周期函数概念的历史演进过程(图6)．

图6 周期函数概念的历史演变

有诗云：“东升西落照苍穹，影短影长角不同．昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣．”为准确刻画这些与现实生活息息相关的周期现象，数学家们首先建立起三角函数这一数学模型，而数学内外部的需求又推动着一般周期函数概念的诞生，其间经历了由描述性定义、不完善的形式化定义到较完善的形式化定义的演变，为时一百余年．直至今日，数学界对周期函数概念的定义仍未达成统一．

对周期函数定义的追本溯源、刨根问底，为当前高中数学教学提供了诸多启示：

其一，提供丰富的课堂教学素材．在最新一届的国际数学史与数学教育会议上，教育取向的数学史研究超过了三分之一[25]．研读与梳理原始史料，特别是西方早期数学教科书的原文，为一线教师提供了最贴近中学教学实际的历史素材，能够用于预测和解释学生的学习困难，精准设计教学过程．已有的实证研究[26]也表明：融入数学史的周期函数教学，不仅能够加深学生对概念本质的理解，更能帮助学生树立动态的数学观．

其二，培养严密的数学抽象素养．数学抽象是数学的基本思想，而数学史让我们看见，人们正是从自然界中的周期现象中逐步抽象出周期函数的数学概念，最初过分依赖直观和经验让数学家们走了一些弯路，但经过数代人的不懈努力，最终形成了较完善的定义．以史为鉴，可以让学生在辨析历史的过程中积累从具体到抽象的经验，以新代旧，跨越历史，深刻体会数学的严谨性与抽象性．

其三，开展跨学科的数学建模活动．人教版教科书以我国古代发明的一种灌溉工具——筒车为例，筒车上盛水筒的运动具有周期性，因此可以用三角函数建立盛水筒运动的数学模型[21]．天文学中的天体运动、物理学中的交变电流、医学中的心电图、艺术中的音调音色，这些都呈现出周期变化的特点，能够用于开展数学建模活动，且学生仅有数学中三角函数和周期函数的知识是远远不够的，还需要他们广泛调动其他学科的知识来建立并检验模型．在课时允许的情况下，数学教师可以与其他学科的教师合作，走进校内实验室或者校外更广阔的实践天地，让数学建模素养的培育落地生根．

图7 几种交变电流的波形(人教版物理选择性必修二)

其四，尝试高观点下的数学教学．上文讨论了数学史上的著名函数——狄利克雷函数的周期性，这实则是大学微积分教科书中的习题．曾有教师将其呈现为课堂例题，少数学生可以当堂给出完整的证明，在教师引导下多数学生可以理解证明的过程和结论，无形间提升了逻辑推理素养．若有学生在经历了周期函数定义的演变后产生“现在书中的定义一定准确吗”等疑问，教师不妨呈现高等数学中的另一定义，引导他们辨析二者的异同，或许对学生批判性思维的培养能够有所增益．