也证“平面平行运动刚体弹性碰撞前后相对速度大小相等”

王孝厂

(浙江省温州中学 浙江 温州 325014)

贵刊2020年第7期刊登了陈铁松老师的《平面平行运动的刚体弹性碰撞问题的探讨》[1]一文，文中作者证明了两个做平面平行运动的自由刚体“发生碰撞过程中，若发生碰撞的两点在碰撞力的方向上相对速度大小相等”，则“碰撞前后系统动能不变”[1]．

本文将从弹性碰撞出发，直接证明做平面平行运动的自由刚体和受理想约束的刚体发生弹性碰撞过程中，发生碰撞的两点在碰撞前后沿碰撞力的方向上相对速度大小相等．

1 两个自由的刚体发生弹性碰撞

如图1所示，有两个光滑刚体甲、乙，C1和C2分别为两刚体的质心，其速度分别为vC10和vC20，两刚体绕质心转动的角速度分别为ω10和ω20．两刚体在某一时刻发生弹性碰撞，刚体甲上的A1点与刚体乙上的A2点接触，并且刚体甲对刚体乙的冲量为I．由于没有摩擦，冲量I方向应沿过两刚体接触点的公法线(图1中PQ)．假设碰撞后刚体甲、乙质心的速度分别为vC1和vC2，两刚体绕质心转动的角速度分别为ω1和ω2，对过质心垂直纸面的轴的转动惯量分别为J1和J2．

图1 自由的刚体发生弹性碰撞

对刚体甲、乙分别应用质点系动量定理[2]得

-I=m1vC1-m1vC10

(1)

I=m2vC2-m2vC20

(2)

在碰撞过程中刚体的质心对地有加速度，设某时刻刚体甲质心加速度为aC1，在刚体甲的质心系中，刚体甲中任意质量为Δmi的质元都会受到惯性力ΔFi=-ΔmiaC1[2]．质元受到惯性力与重力Gi=Δmig相类似，重力的等效作用点为质心(重心)，容易得到刚体甲各部分所受惯性力的等效作用点为刚体甲的质心，同理可得刚体乙在质心系中各部分所受惯性力的等效作用点为刚体乙的质心．所以在两刚体的各自质心系中惯性力对质心的力矩为零．在两刚体各自的质心系中，对刚体甲、乙分别应用质点系角动量定理[2]得

rC1A1×(-I)=J1ω1-J1ω10

(3)

rC2A2×I=J2ω2-J2ω20

(4)

由柯尼希定理[2]及碰撞过程的机械能守恒得

(5)

通过移项可化为

(6)

利用矢量点乘的性质可化为

(7)

将式(1)～(4)代入式(7)可得

I·(vC10+vC1)+(rC1A1×I)·(ω10+ω1)=

I·(vC2+vC20)+(rC2A2×I)·(ω2+ω20)

(8)

利用矢量混积的性质[2]

(a×b)·c=b·(c×a)

可将式(8)化为

I·(vC10+vC1)+I·[(ω10+ω1)×rC1A1]=

I·(vC2+vC20)+I·[(ω2+ω20)×rC2A2]

(9)

整理得

I·(vC10+ω10×rC1A1)-I·(vC20+ω20×rC2A2)=

I·(vC2+ω2×rC2A2)-I·(vC1+ω1×rC1A1)

(10)

式(10)除以I可得

(11)

令A1点碰前、碰后沿PQ的速度分量v10n和v1n，则

令A2点碰前、碰后沿PQ的速度分量v20n和v2n，则

所以式(11)即为

v10n-v20n=v2n-v1n

也就是碰撞前后沿碰撞力的方向上相对速度大小相等．

2 自由刚体与受约束刚体的弹性碰撞

在第1种情况中若刚体乙上的O点被光滑的槽限制在直线MN上运动，如图2所示，则在两刚体碰撞的过程中，光滑槽可能会对刚体乙施加一冲量，设为I1，I1垂直于MN．

图2 自由刚体与受约束刚体发生弹性碰撞

对刚体甲、乙分别应用质点系动量定理得

-I=m1vC1-m1vC10

(12)

I+I1=m2vC2-m2vC20

(13)

惯性力在质心系中对质心的力矩为零，所以在两刚体的质心系中，对刚体甲、乙分别应用质点系角动量定理得

rC1A1×(-I)=J1ω1-J1ω10

(14)

rC2A2×I+rC2O×I1=J2ω2-J2ω20

(15)

由柯尼希定理和碰撞过程的机械能守恒得

(16)

将式(12)～(15)代入式(16)，化简可得

I·(vC10+ω10×rC1A1)-I·(vC20+ω20×rC2A2)=

I·(vC2+ω2×rC2A2)-I·(vC1+ω1×rC1A1)+I1·(vC2+ω2×rC2O)+I1·(vC20+ω20×rC2O)

(17)

由于O点只能沿着MN运动，可得

I1·(vC20+ω20×rC2O)=0

(18)

I1·(vC2+ω2×rC2O)=0

(19)

将式(18)、(19)代入式(17)得

也就是v10n-v20n=v2n-v1n，即碰撞前后，沿碰撞力的方向上相对速度大小相等．

若刚体乙只能绕O点无摩擦地定轴转动，则在碰撞过程中刚体乙也会受到一个过O点的冲量I2，则可认为光滑槽沿着与I2垂直的方向，所以v10n-v20n=v2n-v1n也显然成立．

由上证明可见，平面平行运动的刚体不管是否受到理想约束，在弹性碰撞过程中，碰撞前后沿碰撞力的方向上相对速度大小相等，利用此关系列出的方程为一次方程，可以代替能量守恒与动量、角动量相关的关系式一起求解碰撞之后刚体运动各参量．