类比法在数学解题中的应用

陈镇伟

【文摘】类比是两事物在一些方面相同或类似去推知在另外一些方面也相同或类似，但这种合情推理的结论可能正确，也可能错误，它还要靠逻辑推理去证明正确与否.类比法的关键就在于善于从新问题联想到旧问题，并把新旧问题进行类比.在具体应用中，我们一般可以根据四个原则进行类比解题，把新旧问题相类比，把简单与复杂问题相类比，把直观与抽象问题相类比，把学科间的问题相类比.有意识地培养应用类比法解题可提高思维能力和创造力，是获得新思路新发现的一条重要途径，并且能有效巩固和保持已有的知识.

【关键词】类比;合情推理;数学问题;新旧问题;核心素养

在瀚如浩海的初等数学题中，有大量的题目可用一种特殊的数学解题方法——类比法解决.什么是类比法呢？著名教育家波利亚说过，“在解答一个显然难以求解的问题时，提出一个适当的辅助问题，并加以解答，以找到解決原来问题的途径.这是一个最独特的智力活动……一个辅助问题，只要和原来问题相似，而且较为容易，它就可以给予方法论方面的意义”.实际上类比法的实质就是如此.它是根据新旧问题在某些方面相似或相同，推导出它们在其他方面也可能相似或相同的方法，如果我们从逻辑上来看待类比法，它的形式就是数学推理中的类比推理，用符号表示即为：

研究对象    属性

∵ 甲      A B C D

乙     A B C

∴乙也有属性D.

类比推理是一种或然推理，因而应用类比法所推得的结论是不确定的，我们不能把类比法作为一种严格的数学推理方法.但是，当我们面对一道数学题束手无策时，我们若考虑用类比法来打开思路，则往往能激发我们的思维火花，使我们找到解题线索，为解决问题描出一个大概的过程和轮廓.正如康德所说的：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进.”应用类比法解题，首先必须全面、细致地审清题意，在审清题意的基础上，在脑海中闪现出与此类似的旧问题及相关的理论，并深刻分析问题的实质所在，把未知问题和已知问题加以对照，从而根据已知结论对未知问题的结论做出预测，解决新问题.类比法的关键就在于善于从新问题联想到旧问题，并把新旧问题进行类比.在具体应用中，我们一般可以根据四个原则来进行类比解题，把新旧问题相类比，把简单与复杂问题相类比，把直观与抽象问题相类比，把学科间的问题相类比.

一、把新问题和旧问题相类比

已有的知识、经验和方法往往对我们所要解决的问题有着重要的指导意义，适当地把新问题和旧问题相类比，能开阔我们的思路，使我们寻得解题方法.

例1 解方程x3+（1+2）x2-2=0.

分析 这是以x为未知数的三次方程，学生对三次方程的解法较为陌生，但对一元二次方程的解法则是掌握的，因此，我们可考虑把三次方程转化为一元二次方程，观察原方程结构特点，若把x视为“已知数”，把“2”看作未知数，则原方程便可以看作关于“2”的一元二次方程.

解 设y=2，则原方程可化为y2-x2y-（x3+x2）=0，

解方程得：y=-x或y=x2+x，

∴x=-2或x2+x-2=0，

∴x1=-2，x2=-1+1+422，x3=-1-1+422是原方程的解.

例2 已知x，y，z均为实数，且xy≠-1，yz≠-1，zx≠-1，

求证：x-y1+xy+y-z1+yz+z-x1+zx=x-y1+xy·y-z1+yz·z-x1+zx.

分析 此题若用代数方法证明，则很冗繁，由于这道题的结论形式是三个代数式和等于它们三者之积，因此我们可以回忆一下所解过的类似问题，如下题：

在△ABC中，求证：tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.

这道题的证法是：∵A+B+C=π，∴A+B=π-C，

等式两边取正切得：tan A+tan B1-tan A·tan B=-tan C，

去分母整理得：tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.

要将该题的证法进一步移植到原题中，还必须使：

tan A=x-y1+xy，tan B=y-z1+yz，tan C=z-x1+zx.

经过分析研究，证法如下：

令x=tan α，y=tan β，z=tan γ，A=α-β，B=β-γ，C=γ-α，

则tan A=tan（α-β）=tan α-tan β1+tan α·tan β=x-y1+xy，

同理tan B=y-z1+yz，tan C=z-x1+zx，

∵A+B+C=（α-β）+（β-λ）+（λ-α）=0，∴A+B=-C，

取正切得tan A+tan B1-tan A·tan B=-tan C，

∴tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C，

即x-y1+xy+y-z1+yz+z-x1+zx=x-y1+xy·y-z1+yz·z-x1+zx.

二、把复杂问题和简单问题相类比

面对复杂的问题，可把它简单化并解决之，从而获得解决原问题的启示和依据.

例3 已知角α，β，γ，θ都是锐角，且α+β+γ+θ=π，

求y=sin α·sin β·sin γ·sin θ的最大值.

分析 这里的y是多个角的三角函数的积，较复杂，求解难以入手，不妨先来探讨一个相似的简单问题：已知角α，β都是锐角，α+β=A（A为定值且0

y=sin α·sin β=sin α·sin（A-α）

=12cos （2α-A）-cos A，

依题设条件可知：当且仅当α=A2，即α=β=A2时，

y取得最大值sin A22.

这个简单问题的解决给了我们什么启示呢？它使我们自然会猜想原问题正确的结论也许是：当且仅当α=β=γ=θ=π4时，y取得最大值sin π44，这个结论果真正确吗？需要证明，直接证明此结论似难入手，正难则反，试证若α，β，γ，θ不都相等，则y=sin α·sin β·sin γ·sin θ的值就无法取到最大.有了前面对简单问题的探究，此命题是很容易解决的，事实上，若α，β，γ，θ不都相等，不妨设α≠β，我们暂且固定γ，θ的值不变，而让α，β值变化.

则有α+β=π-（γ+θ）為定值，且0<π-（γ+θ）<π.

∵α≠β，∴sin α·sin β的值不是最大，从而y=sin α·sin β·sin γ·sin θ的值也不是最大，所以我们对原问题的猜想是正确的，问题得以顺利解决.

例4 解方程组x+y+z=3，（1）

x2+y2+z2=3，（2）

x3+y3+z3=3.（3）

分析 粗看之下，很难入手，若用代入消元法，则计算十分繁杂，因此先考虑方程组x+y=3，（4）x2+y2=5，（5）虽然这两个方程组的元数，次数均不相同，但仍有不少与原题相似的地方，如每一方程未知数的次数都是一样的，都是关于未知数的轮换式，都没有不同未知数乘积的项等.根据x+y=3，再由（4）2-（5）2，求出xy=2，根据韦达定理得方程x2-3x+2=0，∴x=1或2，∴方程组的解为x1=1，y1=2，或x2=2，y2=1.

类比于上述解法，在原方程组中已知x+y+z=3，同样设法求xy+yz+zx和xyz的值，最后用韦达定理求解.

具体解法是：由（1）2-（2）2得

xy+yz+zx=32-32=3，

由（1）3-（3）得（x+y+z）3-（x3+y3+z3）=24，

∴（x+y）（y+z）（z+x）=8，

即（3-z）（3-x）（3-y）=8，

∴xyz=1.

根据韦达定理得u3-3u2+3u-1=0，∴（u-1）3=0.

从而可知x=1，y=1，z=1是原方程组的解.

三、把抽象的问题和直观的问题相类比

直观图形有助于挖掘问题的本质东西，帮助我们理清条序，迅速解题.

例5 已知a>0，b>0且a+b=1，求证a-1a2+b-1b2≥92.

分析 我们注意到左边两个平方项有相同的结构，可以类比联想到具有这种结构的函数f（x）=x-1x2，利用导数性质容易断定此函数图像是凹的.如图1所示，

∴f（a）+f（b）2≥fa+b2，

∴a-1a2+b-1b2≥92.

四、把这一学科的问题和邻近学科的问题相类比

数学各门分科并不截然孤立，而是有着千丝万缕的联系的.正是由于这种学科间的相互联系，相互渗透使我们得以根据类比思想方法创造性解决问题，使思维得到更高层次发展.

例6 从四面体的四个顶点A，B，C，D分别向所对的平面引垂线，其长分别为ha，hb，hc，hd，P为四面体内任一点，从P向A，B，C，D四点所对的平面作垂线，垂线长分别为pa，pb，pc，pd，求证：paha+pbhb+pchc+pdhd=1.

分析 立体几何问题一般可以和平面几何问题相类比，故可考虑如下的一平面几何题以获得启发.设 △ABC的三边AB，AC，BC的高分别为hc，hb，ha，并且三角形内任一点P到这三边的距离分别为pc，pb，pa.求证：paha+pbhb+pchc=1.

证法为：如图2，连接PB，PC，

paha=12BC·pa12BC·ha=S△PBCS△ABC.

同理pbhb=12AC·pb12AC·hb=S△PACS△ABC，

pchc=12AB·pc12AB·hc=S△PABS△ABC，

∴paha+pbhb+pchc=S△PBC+S△PAC+S△PABS△ABC=1.

原题与上题类比可得证法如下：

paha=13S△BCD·pa13S△BCD·ha=VP-BCDVA-BCD，

同理pbhb=VP-ACDVA-BCD，pchc=VP-ABDVA-BCD，pdhd=VP-ABCVA-BCD，

∴paha+pbhb+pchc+pdhd=VP-ACD+VP-ABC+VP-BCD+VP-ABDVA-BCD=1.

可以说，在数学中类比法可解决许多难题，它的应用范围较为广泛，使用类比法解题要求我们首先要有扎实的知识基础，其次要善于联想，善于分析，合情推理，挖掘事物间本质、必然的联系，以经过论证的事实为依据，去推测出问题的结论.正是由于类比法的这种特征，所以教师有意识地培养学生应用类比法解题可提高学生思维能力和创造力，并且使其巩固和保持已有的知识，这是获得新思路新发现的一条重要途径.

【参考文献】

[1]吴卓.类比推理在高中生物新课程教学中的应用研究[D].长春：东北师范大学，2011.

[2]陈慧敏.把握问题结构叩开解决问题大门——“用连除解决问题”教学思考[J].教育界：基础教育研究（中），2016（06）：57-59.