数学拓展课内容开发策略研究

□ 王丽兵

编者按

如何开发数学拓展课

数学拓展课作为数学常规教学的补充与拓展，对教师的教学方式、学生的学习方式提出了更高的要求。有关拓展课的教学，已越来越受到教育管理部门与一线教师的关注，相关研究也日渐深入。近年来，杭州市名师王丽兵带领其工作室团队，一直坚持儿童立场，以数学拓展课研究为载体，注重数学与生活的联系，通过帮助学生经历对真实问题研究的过程体验，培养学生的关键素养和关键能力。本刊特选取其部分研究成果，以期能给热衷于小学数学拓展课研究的一线教师以借鉴与引领。

当前，数学拓展课的研究与开发已经成为小学数学教学改革的热点之一。拓展课在内容选择上具有较强的自主性和灵活性，但它在给教师自主选择权的同时，也对教师的课程设计能力提出了更高的要求。它要求教师由传统的课程执行者与实施者逐渐转向于课程开发的研究者与创造者。这一角色与功能的转变，导致很多教师在面对拓展课教学的时候，经常迷茫于“上什么”的问题，常常感到内容很多却无从下手，找不准着力点。基于这样一个背景，团队成员努力尝试探索数学拓展课内容的开发策略，以期在丰富数学拓展课内容的同时，促进教师课程设计能力的提升。

一、丰富原有基础性课程的知识序列

数学拓展课服务于学生思维与能力的发展，是对数学基础性课程的补充、延伸、拓展与整合。因此，在进行拓展课开发前，教师需要分析学生究竟在什么地方需要补充和拓展，才能更好地把握内容开发的方向。

（一）查漏补缺：关注学生认知的需求

关注学生认知需求，简单讲就是了解学生对什么样的知识内容感兴趣。在教学中尽量给学生创设多渠道主动提问的条件和机会，是了解学生认知需求的好方式。对学生共性的需求进行分析，能帮助教师明晰拓展课研究的方向。

如人教版四年级上册“角的分类”中对于“什么是角”给出了描述性的定义：“从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。”同时介绍小于90°的角叫作锐角；90°的角叫作直角；大于90°而小于180°的角叫作钝角；180°的角叫作平角；360°的角叫作周角。从大小来讲，锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角。从理论上讲，教材中对角概念的界定逻辑严密，描述清晰。但从实际情况来看，很多学生在认识了上述角以后，都会产生一个疑问：“有大于180°而小于360°的角吗？如果有，它叫什么角？有什么特点？”

学生的疑问说明，传统教学中对于角的认知是有“漏洞”的，而这一“漏洞”让学生产生了强烈的好奇心。这表明，教材呈现的内容与学生主体认知需求之间产生了供需矛盾，而对这类问题的查漏补缺就可能使其成为数学拓展课开发的切入点。

其实，教材虽然并没有直接涉及与优角相关的内容的介绍，但在后续的“四边形”“扇形”“统计图”等知识的学习过程中，都隐藏着优角的身影（如图1）。所以与优角相关的内容就可以设计为拓展课，让这部分基础性课程的知识序列变得更加丰满。

图1

关注学生的认知需求，挖掘学生的学习兴趣点，对教材知识序列“缺位”的地方及时进行补位，一方面能满足学生的认知需求，另一方面也是对教材知识序列的完善。这是数学拓展课内容开发的有效途径之一。

（二）顺藤摸瓜：借助知识的经验迁移

学习是可以迁移的。教师可引导学生借助已有的知识经验，通过迁移、联想，获得新知识，以拓展学生的知识网。

如人教版四年级下册“三角形的内角和”一课，教材建议引导学生通过工具测量、实验操作等不同方式，对各种类型的三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）的内角和进行研究，从而发现“任意三角形的内角和都是180°”。同时，教材后续编排了多边形内角和的研究内容，即边数为n的多边形的内角和等于（n-2）×180°。

教材知识内容的编排系统有序，学习方法的建议清晰具体，但学生在学习这部分内容之后，常常会产生内在的迁移需求，如以下教学片段。

师：今天我们学习了有关“三角形的内角和”的知识，请问同学们还有什么问题吗？

生：老师，我想知道，既然有内角，那是不是还有外角？

生：三角形有内角和，那三角形有外角和吗？

生：外角的数量和内角的数量一样吗？外角和也是固定不变的吗？

从中可以看出，学生通过对“三角形内角和”的学习，已经为“外角”的认知做好了心理及能力方面的准备。因此，在有了研究内角和的知识与方法的基础时，借助迁移的力量，可以进一步顺藤摸瓜，设计关于“外角”的拓展课。这种方式也是数学拓展课内容开发的重要方式之一。

（三）破旧立新：跳出固有思维舒适区

数学拓展课是体现教师专业特长的创新课。从课程创新的角度而言，教师除了可以进行局部的微创新以外，还可以打破原有的思维认知习惯，跳出课程开发课程，为拓展课寻找新的知识领域。

如“统计与概率”领域，小学阶段对统计图的学习主要有三种：条形统计图、折线统计图、扇形统计图。教材中与统计图内容相关的“变式”，往往是形式的调整，比如单式或复式的变化，横式或纵式的变化等。但现实世界中除上述三种形式的统计图之外，还有其他样式的统计图吗？如果有，它的应用范围与特点又是怎样的？答案是肯定的，比如雷达图（又称网络图或蜘蛛网图）、组合图等。雷达图是针对某一统计对象，用从同一点开始的多条轴，表示三个或更多个变量的二维图表。这种形式在呈现多变量数据的时候更加清晰方便，广泛应用于工农业生产、生活与科学研究的各个领域。这种“新”的统计图不仅符合拓展课的内容要求，也符合小学高段学生的认知能力水平，可以成为拓展课内容。

跳出课程开发课程的思维方式，其实就是一种课程创新意识，当教师在不断追问的过程中逐步具备这种意识后，就可能突破原有的思维框架开发出新的拓展课内容，实现知识体系的开放性建构。

二、突破传统知识领域板块界线

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》（以下简称《课程标准》）将课程内容分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个知识领域板块。教师可以通过交叉、融合等多种方式，突破知识领域界限，以实现拓展课内容的开发与设计。

（一）在交叉领域中，开发拓展课内容

有一些综合性的问题常常涉及多个知识领域，交叉重叠，这类问题具有较高的研究与开发价值。

如人教版六年级上册中的“数与形”，就是“数与代数”与“图形与几何”的交叉领域内容。它既蕴含着几何直观的思想，又渗透了运算能力与数感的培养。教师可以以此为参照，挖掘符合儿童学习能力的拓展课内容。

如“新版龟兔赛跑”（适合五年级学习），就是这样一个典型的例子。教师呈现路线图（如图2）并介绍：课前同学们通过“预学单”创作完成了“新版龟兔赛跑比赛行程图”。用不同颜色的线，代表了不同动物跑步的路线。在这幅图中，你觉得哪条线代表兔子？哪条线代表乌龟？

图2

生：蓝色线代表兔子，红色线代表乌龟。

师：我们来看看大家创编的“新版龟兔赛跑”发生了怎样的变化。

这个拓展内容来自于“统计与概率”“数与代数”的交叉领域。首先，从形式上来讲，它以折线统计图作为信息呈现的形式；其次，从内容上来讲，它将“行程问题”和“龟兔赛跑”的故事情境巧妙地整合在一起。既培养了学生数据分析的能力，又培养了学生分析问题和解决问题的能力。尤其通过故事创编活动，不仅寓教于乐，而且开放性的结论使得学生的学习热情被进一步点燃。

（二）树立全科视角，整合拓展课内容

随着教育改革的不断深入，STEAM 课程成为当前教育改革的发展趋势之一，它也为教师开发拓展课内容提供了一个新的视角。教师可以尝试打破学科壁垒，淡化学科界线，着力于儿童关键能力与关键素养的培养，站在全科视域的高度，寻找数学与其他学科融合的契合点。

比如用“鞋子”作为载体，可以从数学的角度设计专门的探究活动，研究鞋码与脚长的关系、鞋长与人体身高的关系；可以从人文的角度，研究有关鞋子的历史文化、起源发展、成语故事；可以从艺术的角度，采用不同的绘画形式，表现鞋子各种样式的形态与纹样；可以从活动的角度，让学生尝试花式穿鞋带，设计并制作个性艺术鞋垫，编织绳（草）鞋等。

像这样从一个具体的载体出发，在全科视角下，整合多学科教学目标，将知识、技术、文化与思想统统渗透融合其中，并挖掘其蕴含的教育价值，就有可能开发出一个优质的拓展课内容。这种全科思维为数学与其他学科联动提供了一种新的课堂样态，也是数学拓展课内容开发的一个新视角。

三、挖掘数学在生活中的应用典型

数学起源于人类的生产劳动。生活表象的背后，往往暗含一定的科学原理，对这些原理进行挖掘也是数学拓展课内容开发的有效途径之一，以两个具体内容为例。

（一）应用广泛却又“不为人知”的二维码

“二维码”在生活中随处可见，它已经深度融入人们日常的生活、生产当中。但二维码的工作原理却不太为人所知。

有关“二维码”的知识其实是建立在数学二进制基础之上的。它将人们想要存储的信息，通过不同的编码格式转换为二进制字符串，字符在变成0和1 组成的序列之后，通过一系列优化算法，得到最终的二进制编码。“1”对应黑色小方块，“0”对应白色小方块，将这些小方块八个一组填进大方块里，就变成了大家熟悉的二维码。

二维码可以开发为拓展课内容，既可以丰富学生的认知版图，也能够让学生深刻地感受到数学在生活中的应用。同时，研究二维码的意义不仅仅在于认识二维码本身，更为重要的是它开启了认识“进制数”的新视角。接下来学生对“五进制”“八进制”“十六进制”等不同进制的认识和理解，也就变得顺理成章、水到渠成了。

（二）同一温度却有不同数值的温度计

温度计是测量温度的专用工具。一般有两种记录标准，一种是摄氏度（℃），一种是华氏度（℉）。

℉代表华氏温度，由荷兰人华伦海特提出，把纯水凝固时的温度定为32℉，把标准大气压下水沸腾的温度定为212℉。℃代表摄氏温度，由瑞典人安德斯·摄尔修斯提出，把水的结冰点定为0℃，在1 标准大气压下水的沸点为100℃。从关联的角度来讲，它们之间的关系可以记作：

生活中类似的例子还有很多，处处留心，就会发现很多值得研究的拓展小课题，同样能开发出优质的拓展课内容。

总之，数学拓展课，由于它的内容取材范围不受基础性课程知识体系的限制，教师可以从多个领域、多个维度对其进行拓展、挖掘与整合。但需要强调的是，教师要把握学生的年龄特点，找准学生思维与能力的起点，增强拓展课内容与研究主体的匹配性。这应是数学拓展课内容开发始终需要坚持的方向和底线。