教“融通”的数学

【摘 要】“融通数学”的教学理念要求数学教学应融化概念与原理、融合思路与方法、融入文化与生活，达到沟通知识联系、打通体系结构、悟通本质规律的目的，其教学设计应遵循“顺木之天，以致其性”“立乎其大，小不能夺”“务本为本，本立道生”等原则。

【关键词】融通数学;概念教学;整体结构;数学本质

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2021）11-0076-05

【作者简介】陆建，江苏省滨海中学（江苏滨海，224500）校长，正高级教师，江苏省特级教师，“江苏人民教育家培养工程”培养对象。

“融”指融化、融合;“通”指通达、通透。融则通，通则透，“融”是过程，“通”是目的，“透”是最佳状态。“融通”指融会贯通，把各方面的知识融化汇合、贯穿联系，得到全面而透彻的理解。“融通数学”意指在数学教学中，要突出知识的联系与迁移，把握知识的整体性与系统性，通过教学各要素之间的融合，实现整个教学结构之间的通达，从而促进学生的自我建构与完整发展，提升学生的核心素养。[1]

“融通数学”要求数学教学应融化概念与原理、融合思路与方法、融入文化与生活，达到沟通知识联系、打通体系结构、悟通本质规律的目的。因此教师在教学过程中，要深刻理解教学内容，把握知识内在联系，优化知识生成方式，挖掘数学思想方法，吃透数学内容本质，说到底就是要教“融通”的数学，而不是教“混沌”的数学。下面以人教版高中数学必修一“充分条件与必要条件”的教学设计为例，谈谈本人的粗浅想法，敬请同行批评指正。

一、教学实践

1.问题情境先引领。

问题1：小王是某高校的硕士研究生，想报考李教授的基础数学专业博士生，小王给教授发了封邮件，阐述了自己的理由：“我不想比别人差，父母也要我考博。”可是教授给他的回复是：“你考博的理由不‘充分。”这是为什么呢？

问题2：党的十八届五中全会提出“十三五”期间，必须坚持“创新、协调、绿色、开放、共享”的发展理念，特别强调，坚持绿色发展是保持中华民族永续发展的“必要条件”，这里的“必要条件”是什么含义呢？

【设计意图】很多数学概念都有深厚的现实背景，充分条件和必要条件也不例外。事实上，在我们的日常生活中，面对两件事情，常常需要进行比较、分析，然后作出判断，进而明确它们的关系，充分条件和必要条件就是其中的两种特殊关系。因此本环节中，教师从学生身边熟悉的实例引入，让学生先行理解生活中“充分”“必要”的意义，在此基础上自然地揭示课题。从生活中的用语到数学中的定义，过渡自然、衔接顺利，能够激发学生学习的兴趣和探究的欲望，启发学生用数学的眼光观察世界。

2.“推出”符号简表达。

一般地，当命题“若p则q”为真命题时，记作p?q;当命题“若p则q”为假命题时，记作p [?]q。

问题3：下列空格处应该填“?”还是“[?]”？

（1）x2>4           x>2;

（2）a，b都是奇数      a+b是奇数;

（3）n是4的倍数      n是2的倍数。

【设计意图】数学符号语言具有抽象性、统一性、简洁性的特点，它能准确明了地刻画数学对象的本质特征。此处引入数学“推出”符号“?”，既简化了数学命题的表达，又表明了命题的真假，可谓“一举两得”。而“推出”符号连接的两个数学判断到底具有什么样的关系呢？接下来学习的充分条件和必要条件就反映了它们的关系，因此，“?”符号的适时引入，为简约化表达概念提供暗示和铺垫，助推了充分条件和必要条件定义的顺利生成。

3.自主建构巧生成。

问题4：根据刚才的讨论，你能尝试着给充分条件和必要条件下定义吗？

追问1：根据充分条件和必要条件的定义，你能举例说明吗？

追问2：在定义中，为什么取名“充分条件”“必要条件”而不用其他名称呢？

【设计意图】“一个好的例子胜过一千次说教”，通過追问1，让学生自己举例，深化学生对概念的理解，巩固形成的概念认知。通过追问2，深入挖掘“充分”“必要”的内涵，p是q的充分条件，表明p成立一定能够充分地保证q的成立，p对q来讲是充分的、足够的、尽量的;q是p的必要条件，表明要使p成立，q的成立是必要的、必须的、必不可少的，或者说若q不成立，p也一定不成立。3个问题环环相扣、层层深入，随着问题的讨论和解决，学生对概念的理解不断深化，思维的脚步不断逼近概念的核心，数学抽象素养得到有效发展。

4.多元联系深挖掘。

（1）集合的视角。

问题5：设集合A={x|x≥1}，B={x|x>0}，则“x∈ A”是“x∈ B”的什么条件？

设集合M =（-∝，1）∪（1，+∝），N={x|x2-1≠0}，则“x∈ M”是“x∈ N”的什么条件？

从这两个问题的解决中，你能得到什么一般性的结论？

【设计意图】数学知识是相互联系的，数学教学要利用和加强这种联系，实现多元勾连，帮助学生形成良好的认知结构。本环节借助带有集合背景的两个问题，引发学生从集合的视角对充分、必要条件进行再认识和思考，学生在对两个问题的共同特征进行比较分析的基础上，抽象概括出反映两个数学判断之间关系的充分、必要条件也可以用集合的包含关系来刻画和描述，数学知识的联系性使数学知识互联互通、触类旁通，同时渗透了“特殊与一般”的数学思想，进一步发展了“数学抽象”的数学素养。

（2）命题的视角。

一段对白：在由p?q对充分、必要条件进行定义时，小p和小q曾有过一段有趣的对话——

小p得意地对小q说：“有我就有你，我总算把你拿下了！”小q不服气地说：“你别高兴得太早，要知道，没有我就没有你！如果我不在了，你也活不成，请你勿忘我！”小p想想小q说的也对：更何况“没有我也可能有他，而有他却不一定有我呢？”想到这，小p赶忙向小q道歉，从此两人不再争吵，平等相处。

问题6：你觉得他们两人说的有道理吗？为什么？

问题7：战国时期思想家墨子的著作《墨经》中有一段話：“有之则必然，无之则未必然;无之则必不然，有之则未必然。”这两句话与充分、必要条件有联系吗？谈谈你的理解。

【设计意图】在定义充分、必要条件时，p，q之间具有关系“p?q”，那么p，q之间是否还具有其他的推出关系呢？这对理解充分、必要条件至关重要。为了突破这个难点，本环节利用拟人化的手法，将p与q的关系寓于风趣的对话之中，幽默生动的语言把充分、必要条件与命题的关系表述得清清楚楚、活灵活现、易于理解。同时利用《墨经》中的两句话来佐证上述关系，再现古人的智慧，渗透数学文化。本环节既为充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件概念的生成形成铺垫，又运用了类比思想，发展了逻辑推理的数学素养。

（3）拓展的视角。

问题8：我们在定义充分、必要条件时，只关注p?q，至于q能否推出p并非我们关注的重点，但q?p与q [?]p还是有区别的，请谈谈你的想法。

师生共同分析q?p说明p对q是必要的;q [?]p说明q对p不充分，p对q是不必要的，由此得出下列概念：

如果p?q且q [?]p，那么称p是q的充分不必要条件;

如果p [?]q且q?p，那么称p是q的必要不充分条件;

如果p?q且q?p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件;

如果p [?]q且q [?]p，那么称p是q的既不充分又不必要条件。

问题9：我们能否从集合和命题的角度来说明上述几个条件呢？

师生共同梳理相关知识，达成下列共识：

从命题角度看，若原命题为真，逆命题为假，则p是q的充分不必要条件;若原命题为假，逆命题为真，则p是q的必要不充分条件;若原命题和逆命题同时为真，则p是q的充要条件。

从集合角度看，若A? B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件。

【设计意图】类似于集合A? B，可以得出A? B或A= B一样，p是q的充分条件，仅表明p?q，但q?p却不一定成立，于是，就有必要对p是q的充分条件进行进一步细化拓展。通过解决上述两个问题，把p与q的关系区分为四种情况，并联系命题和集合来理解，使学生对概念的理解进一步升华。在本教学环节中，教者从集合、命题、拓展等三个不同的视角对概念进行多元表征，打通了知识的前后联系，使学生的数学理解自觉地进入融会贯通的状态，期间数学抽象、逻辑推理等数学素养得到了进一步发展。

5.运用概念助理解。

例1：下列各题中，p是q的什么条件？（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选一个）

①p：四边形是正方形

q：四边形的四条边相等

②p：两直线平行  q：内错角相等

③p：x2+x-2=0    q：x-1=0

④p：a2>b2     q：a>b

例2：不列各题中，p是q的什么条件？（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选一个）

①p：x2-2x-3<0  q：x2-x-2<0

②p：|m|≠3            q：m≠3

③p：f（0）=0 q：f（x）是R上的奇函数

④p：b2=ac q：a，b，c成等比数列

⑤p：x+y≠3       q：x≠2或y≠1

问题10：你能总结一下判断充分条件，必要条件的方法吗？

【设计意图】四种条件的选择与判断是常见的题型，这类问题常以相关数学知识为载体，考查学生对概念的理解和运用。本环节通过两个例题进行实战演练，在解题实践中巩固充分、必要条件的认知，同时总结出相应的判断方法，即定义判断法、反例否定法、集合关系法、等价命题法，从而揭示解题规律、领悟方法本质，有利于提升学生归纳、概括的数学能力和数学抽象素养。

6.自主小结促提升。

问题11：请你谈谈本节课学习了哪些内容？有什么收获和启发？试画出本节知识内容的网络结构图。

通过学生思考、自主小结、反馈交流、教师修正，并得到下列知识网络结构图：

[定义判断法][充分非必要条件][必要条件][反例否定法][集合关系法][等价命题法][判断方法][必要非充分条件][充要条件][充分条件][建构联系][集合关系][命题真假]

【设计意图】本环节通过让学生回忆学过的知识、渗透的数学思想方法、经历的数学体验感悟，再让学生画出知识网络结构图，从而对教学内容进行整合，将零散的知识积聚、优化，形成结构紧凑的知识体系，使本节课的教学达到了融会贯通的良好境界。

二、教学反思

1.顺木之天，以致其性。

“顺木之天，以致其性”出自唐代文学家柳宗元的《种树郭橐驼传》，意指只要顺应树木自然生长的规律，充分发展它的习性，就能使树木活得久且长得好。这句话启发我们在教学中，要顺应数学概念发生发展的规律，尊重知识的逻辑合理性，促进学生自然地获取概念、生长知识;同时也要顺应学生思维发展的规律，教学生学会思考，进而发展理性思维，提升核心素养。数学概念的产生往往是自然而然、顺其自然的，而不是别扭的、强加于人的。数学教学应以自然的引入、自然的问题、自然的启发，让学生自然地参与到数学概念的建构中来，自然地融会贯通、生长思维、提升素养。

本设计以两个生活中的情境为认知起点，沿着充分、必要条件概念发生、发展的线索，设计了11个环环相扣的问题，自然地展开探究的画卷，帮助学生积累数学活动经验，有效地促进了数学概念的孕育、拔节和生长。同时教师引导学生联系集合、类比命题、拓展推广和探寻判断方法，顺应学生思维发展的规律，不断激发学生进行综合、分析、归纳、概括、联想等思维活动，渗透思维策略的指导，使学生对概念的理解得到自然的深入，数学抽象、逻辑推理等数学核心素养得以有效的发展。

2.立乎其大，小不能夺。

数学认知结构是学生头脑中的数学知识，按照自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构，对数学概念深刻理解、融会贯通的标志是学生头脑中是否形成了良好的概念知识结构。《孟子》里有句名言：“先立乎其大者，則其小者不能夺也。”强调抓住中心或者重点环节，其他方面就会环绕中心而不偏离，这句话启发我们，数学概念教学应该注重整体，抓大放小，避免被繁杂的细节所干扰。要以建立系统完善、联系紧密的数学概念认知结构，渗透数学思想方法，进而探究研究问题的一般思路等作为课堂教学的中心任务。

本节课中，教师通过问题情境、学生活动、意义建构、数学理论、数学应用、回顾反思等课堂内容组织形式，紧密联系集合、命题等知识，打通知识壁垒，帮助学生形成关于“充分、必要条件”的知识结构;通过小结提升，绘制知识网络结构图，画龙点睛、锦上添花，使学生形成的概念认知逐步结构化、紧密化、整体化。在知识建构的过程中，学生深深地体会到了研究新的数学对象的一般思路，即“对同类对象进行比较、归纳共同本质属性、下定义、概念辨析，与相关数学对象比较、分类、概念应用”等，以此优化学生的思维品质，养成“数学地”思考问题的习惯，从而发挥数学学科育人的作用。

3.务本为本，本立道生。

“君子务本，本立而道生”，孔子的这句话借鉴到数学教学中，提醒我们只有把握了数学本质，才能准确地理解与建立相关的数学概念、公式、思想方法，把握其在解决问题中体现的规律和作用，从而产生深度学习。因此，数学教学要突出知识之间的沟通联系，探寻联系之中的共性，挖掘其中的数学内涵，凸显数学内容的本质，促进理解的融通。充分、必要条件的本质是描述两个数学判断之间条件关系的一种数学语言，而集合、命题也是刻画数学对象的常用语言，从这一认识出发，教学设计突出了充分、必要条件与命题、集合之间的联系，瞄准共性、显化本质，多角度地表征概念，帮助学生把握概念的内涵，优化了学生的认知结构。

“融通数学”顺应数学知识发生发展的规律，以问题为抓手开启思维、展开探究、追寻本质，努力构建符合学生认知特点的整体结构，促进理解的融会贯通，有效地提升了核心素养，需要我们在今后的教学实践中不断地研究和探索。

【参考文献】

[1]陆建.促进理解融通 提升核心素养——基于“融通数学”理念的“抛物线标准方程”教学设计[J].中学数学月刊，2019（8）：24-26.