Horadam四元数关于二项式和的若干恒等式

陈庆华

（福建师范大学 数学与信息学院，福建 福州 350108）

四元数序列是一个数字延伸到复数的数域，其在许多领域分支发挥着重要的作用，如广泛应用于量子物理和数学等.其中，通过特殊整数序列定义的四元数序列引起了广泛学者的研究.此外，二项式定理作为初等数学的一个重要定理，是一块非常热门的研究内容，其在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和以及差分法中都有广泛的应用.本文将四元数与二项式定理结合，探讨四元数关于二项式和的有趣的恒等式，不仅是对四元数性质的扩充，也是将二项式和运用到四元数领域，对二项式定理的应用实例研究具有实际意义，凸显了数学中相关领域的联系和交叉.

1 Horadam 四元数的介绍

四元数序列是一个数字延伸到复数的数域，它是由实部a0，a1，a2，a3和基1，i，j，k 组成的以下形式的元素：

其中i2=j2=k2=-1,ij=k=-ji，jk=i=-kj，ki=j=-ik.

1963年，Horadam[1]定义了系数为Fibonacci 序列和Lucas 序列的四元数

之后，Pell-Lucas 四元数，Jacobsthal-Lucas 四元数等也被学者们广泛研究.例如，Halici[2]中研究了Fibonacci 和Lucas 四元数的生成函数，Binet 公式和一些组合性质.Ramiz[3]中定义了k-Fibonacci 和k-Lucas 四元数，并得出类似于Cassini 恒等式的一些公式，此外，文献[4]引入了h(x)-Fibonacci 四元数多项式，推广了k-Fibonacci 四元数，更多关于四元数的内容可参考文献[5-8].

近年来，Serpil 等[9]推广了一种新的四元数序列，即Horadam 四元数.包含了前人所研究的四元数序列，如Fibonacci 四元数、Lucas 四元数、Pell-Lucas 四元数、Jacobsthal-Lucas 四元数.

定义1Horadam 四元数被定义为：

这里Wn是第n 个Horadam 数，其通项公式表示为：

且这个四元数符合如下递推关系：

该递推关系的特征方程的根为：

令Δ=p2+4q，即α-β=，得到：

引理1Horadam 四元数的Binet 公式表示为：

基于这些研究，本文推导出Horadam 四元数的一些恒等式.本文第2 节介绍了Horadam 四元数的指生成数型函数.第3 节推导出这个Horadam 四元数关于二项式和的一些恒等式，推广了对二项式定理的应用.

2 关于Horadam 四元数的结论

2.1 Horadam 四元数的指数型生成函数

不同于普通的生成函数，推导出Horadam 四元数的指数型的生成函数.

定理1Horadam 四元数的指数型生成函数为：

证明将式(8)代入式（9）左边得由于，因此有，定理得证.

2.2 Horadam 四元数关于二项式和的恒等式

这一部分得出若干关于二项式和的恒等式.首先，回顾二项式系数（）定义为：

定理2令n 为非负整数，则

定理3令n 为非负整数，则

证明将式(8)代入式（11）左边得

定理4令n 为非负整数，则

证明将式(8)代入式（12）左边得

定理5令n 为非负整数，则

证明将式（8）代入式（13）左边得

已知(α-β)2=Δ，且四元数不满足乘法交换律，化简得

注1若取a=0，b=1，则定理1-5 为文献[10]中的特殊情况.

定理6令n 为非负整数，则

证明将式(8)代入式（14）左边得

定理7令n 为非负整数，则

证明将式(8)代入式（15）左边得

3 总论

本文从特殊的四元数序列，即Horadam 四元数出发，先计算指数型生成函数，其次把二项式和与四元数结合，推导得出若干恒等式，使四元数的性质更加丰富，推广了二项式定理的应用.