低起点高视角让知识生长向深度发展

王瑜

【摘要】复习课是以核心知识为起点，对基本的知识、技能、典型例题、经典习题等的再现，更是对学生进行知识结构串联重组能力的拔高.所谓“温故”“知新”，“知新”就是要在知识的生长中铸就问题解决的高视角，从而达到新的认知高度.本文以“求不等式（组）中待定字母的取值范围”专题教学为例，谈谈数学复习课教学.

【关键词】复习课;待定字母（参数）;高视角;思维发展

在区域名师工作室活动中，两位老师围绕苏科版七年级下册“求不等式（組）中待定字母的取值范围”小专题进行了同课异构教学活动.两位老师教学设计的方案不同，产生的教学效果有所不同，引发笔者思考，现撰文呈现，希望与大家进一步研讨.

一、教学片段

【方案1】（一）由图形语言转化为符号语言

首先让学生根据图形确定不等式的解集.

然后让学生根据图形，确定不等式中待定字母的值：

已知关于x的不等式x-a>0的解集如图所示，求a的值.

变式：已知关于x的不等式x-a>0的解集为x>-3，求a的值.

充分考虑学生的认知水平，从学生的认知起点出发，“根据图形，确定不等式的解集”，从图形语言转化到符号语言，开篇就渗透数形结合的思想.自然过渡到“根据图形，确定不等式中待定字母的值”，设计起点低，逐层递进，让所有学生都可以获得成功感.

（二）五种类型典型例题

类型1：已知解集确定待定字母的值.

已知关于x的不等式组2x-4>0，x-a<1的解集是2

类型2：已知解集确定待定字母的取值范围.

已知关于x的不等式（a+3）x>a+3的解集为x<1，求a的取值范围.

变式：已知关于x的方程x-a=1的解是正数，求a的取值范围.

类型3：根据是否有解确定待定字母的取值范围.

已知关于x的不等式组2x-4>0，x-a<1有解，求a的取值范围.

变式：已知关于x的不等式组2x-4>0，x-a<1无解，求a的取值范围.

类型4：已知整数解的情况确定待定字母的取值范围.

已知关于x的不等式组2x-4>0，x-a<1有且只有两个整数解，求a的取值范围.

类型5：根据含未知数的式子的范围确定待定字母的取值范围.

已知关于x，y的方程组3x+y=2k+1，x+3y=3，若2

根据已知解集确定待定字母的取值、根据已知解集确定待定字母的取值范围、根据有解无解确定待定字母的取值、根据整数解确定待定字母的取值范围、对含未知数的式子确定待定字母的取值范围，全面归纳问题类型，层层深入，让不同的学生有不同的收获.

注重对知识点的串联重组：任何数学内容都不是孤立存在的，“从哪来到哪去”.例题设计与方程、方程组相结合有利于学生形成知识体系，对数学知识有整体、宏观的把握.

【方案2】不等式（组）中字母取值范围的确定，在中考中频频登场.这类试题技巧性强，灵活多变，难度较大，常常影响和阻碍学生正常思维的进行.方案2从方法的角度呈现了以下四种解法：

（一）把握整体，轻松求解

已知方程组2x+y=1+3m，x+2y=1-m满足-1≤x-y<2，求m的取值范围.

（二）利用已知，直接求解

已知关于x的不等式（1-m）x>2的解集是x<21-m，求m的取值范围.

（三）对照解集，比较求解

若关于x的不等式组2x-a<1，x-2b>3的解集为-1

（四）巧借数轴，分析求解

若关于x的不等式组x-a≥0，3-2x>-1的整数解共有5个，求a的取值范围.

二、教学思考

（一）聚焦典型，总结方法

方案1设计起点低，逐层递进，科学设计问题，题型归纳全面;方案2从方法上设计，分为四个部分，例题整合富有挑战性，能激活学生的思维.但是，笔者认为两位执教者对学生解题方法的总结都不是很到位.从教学实践看，对于学生而言，提炼出简洁易记的方法，对提升教学的有效性非常重要.

G·波利亚在《怎样解题》中提出解题的四个步骤：理解题目、拟订方案、执行方案、回顾.四个步骤中，“拟定方案”是关键，如何帮助学生寻找最佳解题策略应该是我们的焦点问题.那么，在本节课的教学中，教师可通过两三道例题唤起学生两点意识：①对未知数、字母参数的认识;②对临界值的关注.教师要引导学生从这两个角度寻找解法的共性和通性，从而归纳出解题思路：第一步，把待定字母当作常数，去解不等式（组）或方程（组），即用含字母的代数式表示解，根据题目条件找出该代数式的大致范围;第二步，再次根据题目条件，运用假设验证法确定临界值能否取到，若假设临界值能取到，会不会和原题矛盾.不妨提炼这种解题步骤为“求参分两步”.此类题型条件稍做变动，结论就会变，但是只要把握住“求参分两步”，就能真正做到以不变应万变.

复习课首先要让学生对基本知识、技能进一步掌握，然后从对典型例题、经典习题的解决中获得解决这类问题内含的思想与方法，促进学生进一步加深对数学知识的理解，总结出解题策略，有助于增强学生解决数学问题的自信心.即从“低起点”入手，“高观点”下多角度把握，让知识在复习课中进一步生长，在知识的生长中铸就能力的进一步发展.

（二）合理变式，巧化难点

布鲁纳指出，教师应当搭建“脚手架”帮助学生从现有的认知水平向潜在水平过渡.数学教学中的“变式”教学就是为学生在认知方面搭建适当的“脚手架”.教师要通过对一道题的多角度、多层次的深入研究，挖掘其中不变的数学本质，从而达到以不变应万变的教学效果.

对临界值的取舍是本节内容，甚至是本章不等式问题中的易错点，也是容易忽视的点.教师在教学中要不停地强化学生对临界值单独讨论的意识.例题中“有解无解问题、整数解问题”，可以通过及时变式——增加或者去掉其中某一个或者两个不等式的等号，通过这些变式以及答案的对比，可以及时巩固“临界值验证法”，有效地化解本节课的重難点，提高此类问题的正确率.及时的变式题组设计能激发学生的学习动机，培养学生思考、总结归纳的习惯，感悟数学本质，逐步形成多角度思考和理解数学的意识.

（三）因势利导，发展思维

在数学教学中，教师所起的作用应是“以其所知，喻其不知，使其知之”，使学生的学习建构在原有知识结构的基础之上，让学生以发展的眼光去寻找新知识的生长点，不断丰富和完善原有知识结构的成体系的知识，让知识和思维向深度发展.这节专题复习课“待定字母”自始至终是我们的研究对象，即参数.由于初中数学是高中数学的基础，含参问题不仅在中考中频频出现，也是高中阶段的重要题型，那么初中教师有必要在日常教学中逐步去渗透参数的思想.实际上，在七年级下册“二元一次方程”练习中，已经涉及对学生来说不易解决的参数问题.原题呈现：“已知关于x，y的二元一次方程（2m+1）x+（2-3m）y+1-5m=0，随着m取值的不同，这些方程都有一组公共解，请求出这组公共解.”

解题教学的目的不仅是为了应试，而是激活思维、形成能力.教师的作用在于引导学生利用已有的知识与经验对新问题进行同化或顺应，因此笔者结合班级学情，在实际教学中为学生搭建了“脚手架”，进行了参数引入与渗透的尝试，以下是笔者对参数的几点教学处理.

1.参数的初步认识

回顾本节课解题思路，引导学生体会待定字母的作用：对题目来说，待定字母本身并没有什么实际价值，但是它的出现简化了问题，提供了明晰的解题方法.这些待定字母，就是参数.参数兼有常数和变数的双重特征，它将一直活跃在我们数学学习之路上.

2.参数的出现与认识

初中阶段参数的出现大部分不难，但是学生会认为参数抽象，影响对题目的把握.那么，教师可低起点举例，例如，在复杂计算题中.“整体换元”引入的字母即参数，让学生感受参数的存在，并带领学生“认清”参数，明确哪个量为常数.

3.参数的处理

对参数的处理，通常有消参、分离参数、主元法等.在含参问题教学过程中，需要培养学生变量的转换意识.例如，在解决：“已知关于x，y的二元一次方程（2m+1）x+（2-3m）y+1-5m=0，随着m取值的不同，这些方程都有一组公共解，请求出这组公共解.”对于本题而言，解决该问题的关键在于“变换主元”.在长期的数学学习过程中，我们习惯于用x，y 来表示变量，用 a，b，m，k等表示常数或参数，容易产生思维定式.其实，本题中求公共解，即求一组 x，y的值，随着m取值的变化，这组x，y的值不变，因此，我们可以“变换主元”，把m视为变量，x，y视为常数，或为参数.

含参问题的解决使得学生把自己的思维和数学运算有机地结合在一起，增强逻辑思维能力、知识运用技能、数学问题解决能力、数学意识等方面的素养.高中学习中，含参问题更是紧紧伴随着学生的学习，因此笔者认为不妨从此处开始，逐步渗透参数思想，从而激活学生的思维能力，发展学生的数学素养.

数学教学始终关注：一、数学知识与技能的教学，重在解决“是什么、怎样做”的问题; 二、数学思想与方法的教学，重在解决“运用什么样的思想与方法去做”的问题;三、数学思维过程的教学，重在解决“怎么想到这样做，为什么要这样做”的问题;四、数学精神与文化的教学，重在促进学生心智、个性、观念、精神等的和谐发展.专题复习课真正做到“低起点”“高视角”，激活学生思维，教师仅仅停留在关注一、二层次的教学层面是远远不够的，必须要以发展的观点看待教学，始终以发展和激活学生思维为目标贯彻教学，让学生对这个多维、多彩的知识世界充满无限的渴望，这正是我们复习课的最终归宿.

【参考文献】[1]章建跃.中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计研究与实践[J].中学数学教学参考，2008（9）.