基于共形映射的裂缝井流动问题研究

康 浩，宋新民，戴 鹍，雷征东，高 建，孙永彪，聂婷婷

(1.河北师范大学中燃工学院，河北 石家庄 050024；2.中国石油勘探开发研究院，北京 100083；3.中国石油大学(北京)，北京 102249)

直井压裂可以将油气的平面径向流变为平面线性流，从而大大提高产量。截至目前，已经有大量学者针对压裂直井的产能问题进行深入细致的研究，得出大量理论和模型：陈晓明等[1]运用点源函数和格林函数的方法，引入双区复合模式对渗流规律进行刻画；熊也等[2]同时考虑应力敏感性、水力垂直裂缝和双重介质三个方面，建立不稳定渗流数学模型；李准等[3]利用摄动变换和拉普拉斯变换法，获得了压裂直井的6个典型的流动阶段；朱维耀等[4]综合考虑了页岩气渗流、扩散和解吸的流动机理，进行了产能预测和影响因素的分析；王永辉等[5]研究了高温深层碳酸盐岩压裂改造，建立了相应的8种渗流模型；张烈辉等[6]利用边界元方法提高计算精度，精确地描述了煤层气藏压裂直井的生产动态。这些研究丰富了压裂直井产能计算理论，也有效地指导了现场生产。但是，从流线和等势线分布特征角度开展分析的研究还比较少，推导过程复杂且计算不便。

共形映射是一种数学变换方法，它能够将复杂区域(坐标平面)上的工程问题转换到简单区域(坐标平面)上去讨论，从而大大降低了问题的难度，对于油气井产能的计算大有帮助。

通过两种共性映射的应用，从流场分布的角度对比了映射前后流线与等势线的对应关系，证实了不同的具体渗流问题，往往还具有一定的本质相同的流动特性，可以为水平井多级压裂、体积压裂等复杂条件下的产能计算提供借鉴。

1 理论基础

首先，根据复变函数理论，如果在复平面上的复数z=x+iy在一定范围内变化时，复平面上的复数W随z值的变化而变化，则W称之为z的复变函数。设复变函数W(z)=ξ(x,y)+iη(x,y)的实部ξ(x,y)和虚部η(x,y)在(x,y)可微，并且满足柯西-黎曼条件[7]，则W(z)在定义域D内的z=x+iy点可导。进一步地，若W(z)在定义域D内的每一点可导，则复变函数可在定义域内解析。事实上，若以复变函数W(z)的实部ξ(x,y)作为渗流场的势函数，见式(1)。

(1)

则流体的渗流速度见式(2)。

(2)

考虑到复变函数W(z)=ξ(x,y)+iη(x,y)的实部ξ(x,y)和虚部η(x,y)在(x,y)可微，并且满足柯西-黎曼条件，则复变函数W(z)的虚部η(x,y)可以作为渗流场的流函数[8]。进而解析函数和渗流场之间就建立了一一对应关系，可以用复势理论来研究渗流问题。

其次，若W(z)在定义域D内解析，z0为定义域内一点，只要W′(z0)≠0，则W(z)在z0具有两个性质：一是保角性，即通过z0的任意两条曲线间的夹角与经过映射后所得对应两曲线间的夹角一致；二是伸缩率的不变性，即通过z0的所有曲线的伸缩率均为|W′(z0)|，且与该曲线的形状和方向无关。此时，称映射W(z)在z0是共形的，如果解析函数W(z)在定义域D内处处有W′(z)≠0,那么映射W(z)是定义域D内的共形映射[9]。

2 共形映射前后井产量的关系

假设L为z平面上围绕井的封闭曲线，dn、dL为z平面曲线L的法向及切向单元，λ为作共形映射后W平面上对应的封闭曲线，dv、dλ为W平面上曲线λ的法向单元及切向单元。 则在z平面上的井的绝对产量可以用围道积分来表示[10]，见式(3)。

(3)

实际上，在进行变换时，相应等势线上所给定势的值是相同的，即等势线上的势的值保持相同，所改变的只是等势线和流线的几何形状。又由于在对应平面上各点周围无限小单元内的几何线段处处相似，因此有式(4)。

(4)

由此可见，映射前后井的绝对产量保持不变。

3 模型建立与求解

实际问题如下所述：在半径为re、厚度为h和渗透率为K的圆形等厚、水平、均质地层中心有一长度为2L的裂缝井，边部供给充足，储层的原油黏度为μ，裂缝井井底压力为pw,供给半径为re,供给边界处的压力为pe,求裂缝井的产量。

3.1 求解一

为了应用共性映射方法求解以上问题，可以先参考如下渗流的产量计算问题[11-12]：在平面W上，有一宽度为π的无限大地层，原油分别从右侧无限远处和左侧无限远处流入生产坑道，生产坑道的产量为Q，储层厚度为h，渗透率为K，原油黏度为μ，生产坑道压力为pw,供给边界处的压力为pe。

在此情形下，平面W上的等势线是平行于η轴的一系列直线，流线是平行于ξ轴的一系列直线。

取变换函数z=LcoshW,其中，z=x+iy，W=ξ+iη,则经过整理化简，得到式(5)。

x=Lcoshξcosη,y=Lsinhξsinη

(5)

可以根据式(5)确定该映射下，两个平面上特殊点之间的对应关系：平面W上的原点(ξ=0,η=0)对应于平面z上的(x=L,y=0)；平面W上的点(ξ=0,η=π)对应于平面z上的(x=-L,y=0)；平面W上的点(ξ=0,η=π/2)对应于平面z上的(x=0,y=0)，即z坐标的原点。平面W上的点(ξ=ξ0,η=π/2)对应于平面z上的(x=0,y=Lsinhξ0)，其中，当ξ0=+∞时，对应的是y轴的正无穷大，当ξ0=-∞时，对应的是y轴的负无穷大；平面W上的点(ξ=ξ0,η=π)对应于平面z上的(x=-Lcoshξ0,y=0)，当ξ0=±∞时，对应的是x轴的负无穷大；平面W上的点(ξ=ξ0,η=0)对应于平面z上的(x=Lcoshξ0,y=0)，当ξ0=±∞时，对应的是x轴的正无穷大。

图1 共性映射前后流动示意图

从流线和等势线的方面分析：针对某条等势线，即对应于相应的常量ξ值，见式(6)。

(6)

很明显，通过映射以后，在平面z上，形成长轴为Lcoshξ，短轴为Lsinhξ，焦距为L的椭圆。

同理，对应于平面W上不同的常量η值，在平面W上表示不同的流线，这些流线被映射后变成平面z上的如下曲线，见式(7)。

(7)

很显然，形成实半轴为Lcosη，虚半轴为Lsinη，焦距为L的双曲线。

因此，综合以上分析，这一映射，使得平面W上的条带型线性流变为平面z上长度为2L的裂缝井的椭圆流，正是本文中需要求解的问题。其中，平面W上第一象限的流动，对应平面z上第一象限、第二象限的流动；平面W上第二象限的流动，对应平面z上第三象限、第四象限的流动。

根据共形映射前后井产量不变的原则，该裂缝井的产量可以通过平面W上的线性流产量公式得到，考虑到是两个区域向中间生产坑道的渗流，则产量计算见式(8)。

(8)

(9)

式中，ξ0计算见式(10)。

(10)

对应的裂缝井的产量Q计算见式(11)。

(11)

3.2 求解二

为了寻求另一种利用共性映射求解该渗流问题的方法，也可首先参考如下渗流问题：在平面W上直径为l的圆周处有一生产坑道，原油分别从内侧和外侧沿径向流入生产坑道，生产坑道的产量为Q，储层厚度为h，渗透率为K，原油黏度为μ，生产坑道压力为pw，地层供给半径为ρ，供给压力为pe。

在此情形下，平面W上的等势线是以原点为圆心不同直径的一系列圆周线，流线是沿径向指向圆周生产坑道的一系列直线，具体如图2所示。

图2 共性映射前后流动示意图

(12)

显然，在平面W上，针对某条等势线，即对应于相应的常量ρ≠0,有如下情况。

若ρ=1,即平面W上的单位圆在该变换下变为平面z上的x轴上的区间[-L，L]。

若ρ≠1,则有式(13)。

(13)

同理，对应于平面W上不同的常量θ值，在平面W上表示不同的流线，这些流线被映射后变成平面z上的如下曲线，见式(14)。

(14)

很显然，形成实半轴为Lcosθ，虚半轴为Lsinθ，焦距为L的双曲线。

因此，综合以上分析，这一映射，使得平面W上生产坑道位于直径为单位l处的径向流，变为平面z上长度为2L的裂缝井的椭圆流。

根据共形映射前后井产量不变的原则，该裂缝井的产量可以通过平面W上的径向流产量公式得到，忽略掉由生产坑道内部向外渗流所形成的产量[15-17]，则W平面上径向流的产量Q计算见式(15)。

(15)

(16)

式中，ρ计算见式(17)。

(17)

对应的裂缝井产量公式见式(18)。

(18)

通过比较式(18)与式(11)可知，两种求解方法得到的结果相同，验证了求解的正确性。

4 实例计算

以某低渗透油藏区块L1井为例，其相关基础参数为：根据该油田的单井控制面积并结合井网布置情况，供给外边界半径取400 m，另有裂缝半长为110 m，储层渗透率为3.2×10-3μm2，储层有效厚度为3 m，地层原油黏度为1.2 mPa·s，供给边界压力 14 MPa，井底流动压力为8 MPa。若采用矿场实用单位，基于无限导流能力裂缝井渗流理论，则裂缝井产量Q计算公式见式(19)。

(19)

将基本参数代入式(19)，求得：Q=13.14 m3/d。

5 结 论

1) 通过两种不同映射方式的比较可知，某些直观上各不相同的具体的渗流问题，可能在共性映射下能够转换成同一问题，这反映了渗流现象在某种程度上也包含一定的统一性。

2) 针对裂缝井流动问题，运用共形映射的相关理论，研究了映射前后流线和等势线的对应情况，并且用两种变换方法求解得出了裂缝井的产量公式，模型简单，便于推广应用。两种不同的映射方法所得到的无限导流裂缝井的产量计算结果一致，并且结合实例进行了求解计算，充分显示了映射方法求解的正确性。

3) 共形映射能够将复杂区域(坐标平面)上的工程问题转换到简单区域(坐标平面)上去讨论，有关裂缝井流动问题的研究必将对水平井多级压裂，体积压裂等复杂流场流动问题的研究产生积极的借鉴意义。