基于Matlab的静电场电场线和等势线（面）的数值模拟

王红兵

摘要：利用Matlab软件模拟描绘了静电场的电场线和等势线（面），以电偶极子、均匀带电线段和等量异号平行直线电荷为例，导出了电场线和等势线方程并给出了数值模拟的相应结果，使教学内容更形象和直观，也更深刻地揭示了物理现象的内涵。

关键词：大学物理；Matlab；电场线；等势线（面）；数值模拟

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）49-0193-03

在大学物理的教学中，除理论分析、实验研究外，计算机数值模拟也是一种很重要的研究方法。Matlab是一套高性能的数值计算和可视化数学软件，集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示等功能于一体[1]。其丰富的数学函数使得用Matlab进行数值模拟时程序变得简洁易懂，不像其他高级语言那样要从底层开始编写复杂的程序[2]。在研究如电磁学等的同类问题时，只需将Matlab代码稍加改动即可，类似的代码可重复使用，减轻了编程工作量。Matlab强大的功能为大学物理教学的数值化和可视化提供了强有力的手段。用这种语言编程可以方便地用图形、图像、动画等形象直观地描述物理过程和物理现象，有助于学生对物理问题的深刻理解[3]。本文用Matlab软件在大学物理电磁学的教学中进行了一些有益的尝试，用这种软件以电偶极子、均匀带电线段和等量异号平行直线电荷的静电场为例分析了数值模拟的过程并给出了模拟的结果。

一、电偶极子的电场

如图1所示为两个相距为2a的等量异号点电荷+q和-q组成的点电荷系，称为电偶极子。由点电荷的电势公式及电势的叠加原理，可求得場点P（x，y）处产生的电势为V= - ，式中，r 和r 是场点P到两点电荷的距离r = ，r = 。若取a为坐标单位，且令V = ，x′= ，y′= （V 为点电荷q在原点处产生的电势），则电势可表示为V=V （ - ），当场点P到电偶极子的距离比两点电荷的间距大得多时，即x>>a，则有r ≈r+acosθ，r ≈r-acosθ。于是可得电偶极子在远处产生的电势为V=V ，这就是电偶极子的等势面方程，由此式可模拟描绘电偶极子的三维等势面。

由以上数值分析，在进行数值模拟时只需用几个Matlab函数即可描绘电场线和等势线。Matlab的梯度函数gradient可以直接计算电场强度的数值分量，电偶极子等势面可由网线曲面函数mesh描绘，等势线可用等高线函数contour描绘，电场线可用流线函数streamline描绘。数值模拟的结果如图3、图4所示。

二、均匀带电线段的电场

如图4所示为长为2a的均匀带电线段，电荷线密度为λ。在线段l处取线元dl，电荷元dq=λdl到P点的距离为r= ，电荷元在P点产生的电势为dV= ，由电势的叠加原理对上式积分可得P点的电势为V= λln +C，式中C为积分常数，由零势点的坐标决定，可取C=0，即P点的电势为V= λln ，若令

V = λ，x′= ，y′= ，则电势可表示为：

V=V ln 。

电场强度矢量在平面上的两个分量由电势梯度计算可得。数值模拟时只需将上述模拟电偶极子电场的Matlab代码稍加改动即可，其中等势线可用三维等高线指令contour3绘制。数值模拟的结果如图5、图6所示。

三、等量异号平行直线电荷的电场

若将图1中的两点电荷分别替换为无限长直线电荷的线密度±λ，即可得到等量异号平行直线电荷的坐标系，两带电直线间距为2a并与Oxy平面垂直。计算可得等势线是圆心在横轴上且半径为r= 的圆，而电场线是圆心在纵轴上且半径为R= 的圆。其中，C是待定常数。数值模拟的结果如图7所示。

四、结论

本文通过实例阐述了利用Matlab对静电场进行数值模拟的具体方法。上述讨论表明，在大学物理教学中适当引入计算机数值模拟的研究方法可以对物理规律和物理现象的描述更加全面和完整，有助于学生对这些规律和现象的深刻认识和理解，同时也可以成为实验室真实实验的重要补充。

参考文献：

[1]王家文，王皓，刘海.Matlab7.0编程基础[M].北京：机械工业出版社，2005.

[2]占君，张倩，满谦.Matlab函数查询手册[M].北京：机械工业出版社，2011.

[3]张星辉.在大学物理教学中使用Matlab制作图像和动画的几个实例[J].大学物理，2004，23（9）：59-62.