关于洛必达法则的几点思考

孙巧阁

（武警士官学校 浙江杭州 311400）

极限思想是高等数学的灵魂，而求极限是高等数学的基础部分。求解函数极限的方法众多。例如四则运算法，两个重要极限、等价无穷小、除零因子法等，但对于无穷小比无穷小，以及无穷大比无穷大这样极限不确定的未定式极限，洛必达法则是其最佳解决方法。

一、洛必达法则的内容

定理1[1]设

（1）当x→a时，函数f′（x）及F′（x）都是趋于零；

（2）在点a的某个去心邻域内，f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；

通常教科书上利用柯西中值定理、可导与连续的概念加以证明，这对于高职院校的学生理解起来是很困难的，为了学生能更好地理解洛必达法则邢星在洛必达法则的教学反思一论文中提出这样的证明过程，以一个实例展开证明[2]。

利用析零因子法，将分子、分母同时除以x-1得：

由该例子我们会发现两个函数商的极限在一定的条件下确实可以转化为导函数商的极限，这就是法则内容，并且这个一定条件是法则中的三个条件，这三个条件必须同时满足缺一不可。

定理2[1]设

（1）当x→a时，函数f（x）及F（x）都是趋于无穷大；

（2）在点a的某个去心邻域内，f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；

二、洛必达法则所解决的问题

（一）基本型未定式0型，∞型

（二）拓展型未定式0·∞型，∞-∞型，00 型，∞0 型，1∞型

1.0·∞型

2.∞-∞型

利用无穷大与无穷小的倒数关系以及有限个无穷小的代数和，乘积也是无穷小得：

3.00型，∞0型，1∞型

三、使用洛必达法则时应注意的几点问题

（一）洛必达法则使用误区

1.不是未定式不能使用洛必达法则。

2.注意洛必达则是对分子分母分别求导，切勿与商的求导法则相混淆。

3.在满足洛必达法则定理的条件下可以重复的使用。

4.数列极限不可以直接使用洛必达法则求解必须转换函数进行求解。

（二）洛必达法则失效的情况

1.使用洛必达法则后极限不存在（非∞）振荡。该情形主要是不满足洛必达法则的第三条。

（三）法则的使用要注意与其他方法的结合使用

常用有等价代换（恒等变形）、等价无穷小代换等。

四、总结

洛必达法则是求解未定式极限的重要方法，其核心内容是两个函数商的极限在一定条件下可转化为导函数商的极限，工具就是导数。并且从洛必达法则定理中我们可以悟出一个道理有时候输的不是起跑线，而是过程中的速度。