基于“问题串”的高中数学概念教学探究

雒甜 李莹

[摘  要] 数学概念是整个数学知识结构的基础，反映的是数学对象的本质属性，在数学教学中占据着核心地位. 文章以“单位圆与任意角的正弦函数与余弦函数”为例，以层层递进的“问题串”来组织教学过程，能有效地引导学生主动思考、积极求知，从而提高学生的数学学科核心素养.

[关键词] 问题串;概念教学;任意角;正弦函数;余弦函数

数学概念教学是数学教学的重要组成部分，清晰的数学概念是学生思维发展的基础，能帮助学生进一步推理、判断[1]. 传统的高中数学概念课常采用“一个定义，几项注意”的方式灌输概念，容易导致学生对数学概念“只知其然而不知其所以然”. “问题串”是指在教學过程中，教师将教材内容转换为一连串层次鲜明、环环紧扣的问题，以引导学生主动思考，积极探索新知识，提高学生的数学核心素养[2]. 利用“问题串”组织教学过程，既能加强数学课堂的逻辑性，又能增加学生的求知欲，使学生更深刻地理解数学概念的内涵和外延. 下面以“单位圆与任意角的正弦函数与余弦函数”为例，谈谈高中数学概念课如何应用“问题串”组织教学.

教学分析

正弦函数和余弦函数是描述事物周期性的重要数学模型，是后续学习三角函数基本性质、公式推导、图像变换、求值计算及正弦定理、余弦定理等内容的基础. 本节课蕴含着数形结合、转化与化归等重要的数学思想和方法，深入挖掘这些思想和方法有助于培养和提升学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养.

本节课的授课对象为高一学生，学生在初中已经借助直角三角形学习过锐角三角函数，掌握了利用直角三角形的三边长度计算直角三角形中锐角的正弦函数值和余弦函数值的方法;在高中必修一的学习中，学生已经了解了研究一类函数的基本过程，明确了任意角和弧度制的概念，具备学习和研究新函数的基础知识的能力. 本节课的重点是任意角的正弦函数和余弦函数的定义及其应用，难点是理解三角函数是以实数为自变量的函数.

教学目标

数学学科核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的[3]. 数学核心素养的培养离不开课堂教学，本节课设置了以下三个教学目标，旨在培养和提升学生的数学核心素养.

（1）掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数并能应用，培养和提升学生的逻辑推理素养.

（2）会求正弦函数、余弦函数的定义域及函数值在各个象限的符号;对于给定角或角终边上的点坐标，能计算出角的正弦函数值和余弦函数值，并能针对运算问题合理选择运算方法，培养和提升学生的数学运算素养.

（3）经历把实际问题抽象为数学问题的过程，培养和提升学生观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力，提升学生直观想象和数学抽象两个方面的数学核心素养.

教学过程设计

1. 创设情境，引入新知

情境导入：小明同学周末去游乐场坐摩天轮玩，如图1所示，已知摩天轮的半径为r，摩天轮绕其中心O逆时针旋转.假设小明的起始位置在P处，随着时间t的变化，小明的位置P也在不断变化.

设计意图：三角函数是刻画现实世界中事物周期变化的重要模型，而坐摩天轮是生活中常见的周期运动，用学生了解和熟悉的运动情境导入新课比较自然，学生容易接受，能增加学生后续探究的兴趣，也便于学生在后期把三角函数与周期运动联系起来.

问题1：小明的位置P的变化具有什么特点？

问题2：我们该如何刻画小明在每一瞬间的位置P呢？

设计意图：问题1能引导学生回忆前面第一节学习的运动周期性，再一次感受周期运动的特点;问题2能引导学生将摩天轮抽象为圆，将小明抽象为点，培养学生的直观想象和数学抽象素养. 如图2所示，此时小明在摩天轮上的旋转就可以抽象为点P在圆周上的运动，此时刻画小明在摩天轮上的位置就转化为刻画点P在圆周上的位置，进而引导学生自然地引出平面直角坐标系，让学生尝试自己建立直角坐标系并体会直角坐标系的工具性价值.

问题3：除了用点P的坐标（x，y）来刻画点P的具体位置，试想能否用（r，α）表示点P的位置？

设计意图：学生很容易想到建立直角坐标系表示点P的坐标，但对于用旋转角度和距离来刻画点P的位置并不熟悉，也不容易想到. 此时教师可直接告诉学生，用点P与原点O的距离（即半径r）和射线OP旋转的角度α来刻画点P的位置，可以将其表示为（r，α）（表示点P在以x轴非负半轴为始边、逆时针旋转角度为α的射线OP上，距离O点r个单位长度的位置）. 这也为学生后期学习极坐标埋下了伏笔.

2. 观察探讨，形成概念

问题4：这两种刻画点P位置的表示方法中，各个元素之间有什么联系？

问题5：如果α是锐角呢？

设计意图：首先，教师引导学生学会两种刻画点P位置的方法，很容易引到问题4，激发学生去探索两种方法中x，y，r，α各自代表的含义及它们之间存在的联系的兴趣. 但这样的问题容易让学生产生茫然感，因此紧接着给出“α是锐角”的提示，能够让学生在探索的过程中有了抓手——从特殊的情况入手，再去探索一般的关系就容易多了. 其次，当α为锐角时，有利于学生回忆起初中所学的锐角三角函数的知识，以旧知识作为新知识的生长点，促进学生有意义的学习. 最后，引导学生了解锐角三角函数只是任意角三角函数的一种特殊情况，避免把任意角三角函数当成锐角三角函数的一般推广.

问题6：当该直角三角形的三边同时扩大或缩小相同的倍数时，如图4所示，锐角α的正弦函数和余弦函数又该如何表示？和之前相比有什么变化？

设计意图：利用相似三角形的性质，让学生感受比的不变性，体会到三角函数值与直角三角形的边长无关，而只与α的大小有关，建立自变量与应变量的联系，加强对函数概念的理解.

问题7：当角α确定时，该角的正弦函数值和余弦函数值与点P在射线OP上的位置有无关系？

问题8：当r取何值时，上面的式子会变得更加简单？

设计意图：引导学生发现对于确定的角α，其正弦函数值和余弦函数值不会随着点P位置的改变而改变，进而利用求简意识引出单位圆的概念（将半径等于单位长度的圆称为单位圆，在平面直角坐标系中，通常表示圆心在（0，0），半径为1的圆）. 从而引导学生得出对于确定的锐角α，当α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半軸重合，终边与单位圆交于点P（x，y）时，α，x，y之间可以建立函数关系：y=sinα，x=cosα.

3. 点拨指导，理解概念

问题9：当α为锐角时，x，y由α值唯一确定. 那么当α为任意角时，这个结论还成立吗？

设计意图：让学生以锐角为基点，然后延伸到任意角的概念上，建立单位圆与任意角的正弦函数与余弦函数的关系. 用几何画板向学生演示角α的终边分别在第二象限、第三象限、第四象限的图像，使学生根据图像观察到，当角α的大小确定后，角α的终边也就确定了，此时与单位圆的交点P的坐标也是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以与单位圆交点的纵坐标或横坐标为因变量的函数. 明确给出正弦函数和余弦函数的定义，让学生明白概念生成的过程及其合理性.

问题10：sinα，cosα分别表示的是角α与单位圆交点的纵坐标、横坐标，那么在各个象限的值的正负都有什么特点？讨论并完成表1.

设计意图：通过练习1使学生运用概念，加深对概念的理解;通过练习2让学生把握不同象限的角的三角函数值的正负特点，体会正弦函数值、余弦函数值与该角终边与单位圆交点的横坐标、纵坐标之间的关系;通过练习3让学生思考并体会当给出的是终边上的任意一点的坐标而并非与单位圆交点的坐标时，该如何求出该角的正弦函数值、余弦函数值，再次理解单位圆定义法与终边定义法的区别与联系，体会三角函数值只与自变量角α有关;最后，通过一道思考题引发学生对终边关于x轴、y轴对称的角的正弦函数值、余弦函数值关系的思考，并为后面即将学习的三角函数的周期性打下良好的基础.

5. 归纳总结，提升素养

问题13：通过本节课，你掌握了哪些知识点？

预设：任意角正弦函数与余弦函数的定义（包括定义域和函数值在各象限的符号）.

问题14：你学到了哪些数学思想和方法？

预设：数形结合、转化与化归等.

问题15：本节课培养了哪些数学核心素养？

预设：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等.

6. 布置作业，拓展延伸

必做题：（1）完成练习册的相关内容;

（2）已知角α的终边经过点（2a+1，a-2），且cosα=-，则实数a=________.

选做题：若角α的终边落在直线x+y=0上，求+的值.

设计意图：帮助学生温故知新、查缺补漏，帮助教师掌握学生的情况，同时检测教学目标的完成进度，为后面知识内容的教学提供参考.其中“必做题”紧扣基础，主要涉及数学抽象和数学运算素养;“选做题”对学生逻辑推理和数学运算素养的培育提出了更高的要求.通过练习，能使不同层次的学生均能有所收获，提高数学核心素养和解决问题的水平，体现了因材施教的原则.

教学反思

张楚廷教授指出：“教学从根本上说，是思考着的教师引导着学生思考，又让思考着的学生促进教师思考，而在这一过程中，问题是最好的营养剂.”[4]本节课首先由实例引出课题，体现了数学知识来源于实际生活;其次从学生“数学现实”出发，充分剖析学生已有的知识，贴近学生的思维实际，通过问题驱动，让学生将自身的学习活动与问题相结合，使其可以在真实的教学情境中带着问题学习，以探索问题的解决方法来驱动和维持学习的兴趣与动机，让学生在“问题串”的引导下感受数学概念的抽象过程.

参考文献：

[1]  黄文彬. 基于“问题导学”的高中数学概念课教学设计——以“任意角的三角函数”为例[J]. 中学数学研究，2018（09）.

[2]  李祎，贾雪梅. 中学数学教学设计[M]. 北京：高等教育出版社，2016.

[3]  中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[4]  张楚廷. 教师的四重奏——教学·学教·教问·问教[J]. 课程·教材·教法，2008（07）.