关于圆锥曲线焦点弦的定比分点探究

唐小东

[摘  要] 圆锥曲线的焦点弦定比分点中含有关于直线斜率、曲线离心率及定比分值三者关系的结论，合理利用结论公式可简化处理直线斜率、直线倾斜角、曲线离心率等问题. 文章采用知识探究的方式总结归纳相关结论，并结合实际问题应用强化.

[关键词] 焦点弦;定比分点;椭圆;斜率;离心率

圆锥曲线的焦点弦性质可以充分体现其几何特征，也是高中数学研究的重要内容，总结焦点弦的相关结论可简化解题过程. 通常焦点将弦分为两部分，实际上可将焦点视为是焦点弦的定比分点，焦点弦所在直线的倾斜角、圆锥曲线离心率和焦点弦的定比分值之间有着一定的关系，下面对其深入探究.

评析：上述是关于定焦点弦所在直线斜率的取值问题，根据题目条件可确定满足对应的焦点弦定比分结论. 结合向量关系可确定直线倾斜角为锐角，代入结论可逐步求解. 实际上焦点弦直线的倾斜角、直线斜率、定比分值三者之间有着紧密的关联，数形结合的同时利用结论可提高解题效率.

教学建议

上述深入探究了圆锥曲线焦点弦定比分点问题的关键结论，构建了过焦点弦直线的倾斜角、曲线离心率及焦点弦定比分值三者之间的关系，在实际问题中有着极高的应用价值. 实际教学中需把握模型特征，注重过程探究，倡导应用强化，形成結论探究的闭环教学，下面提出几点建议.

1. 发掘教材，总结模型

焦点弦定比分点问题涉及了直线过焦点、直线与曲线相交、弦长向量关系等，属于圆锥曲线典型问题，在教材例题、习题中均有出现. 提炼问题模型，总结解析过程是结论生成的基础，也是高中数学迁移探究所倡导的. 因此教学中，教师应引导学生深入挖掘原型问题的性质特征，充分发挥习题的解题价值，提炼数学模型. 对于焦点弦定比分点问题，则应关注图像的两大特征：一是直线过曲线焦点，二是直线与曲线存在两个交点.

2. 过程推理，思维历练

焦点弦定比分点问题的综合性强，位置关系、向量条件较为复杂，对学生的分析推理能力有着较高的要求. 结论探究要遵循学生的认知结构，注重推理过程，有意识地引导学生发现问题、总结归纳结论. 故建议按照教学探究的方式，合理设计探究环节，让学生自主发现、猜想，体验结论的验证过程，并结合数学模型进行大胆猜想，探索推论，充分锻炼学生的思维，激发学生的创新思维.

3. 应用强化，能力提升

结论探究的目的是提高解题效率，故结论的应用属性极强，从“结论生成”到“应用拓展”需要教师精心引导，指导学生关注结论的适用题型，掌握应用技巧，帮助学生摒弃传统的照搬照抄的习惯，指导学生自主思维，活学活用. 上述焦点弦定比分点结论是关于三大内容的数式关系，而在实际求解时则需灵活变式，针对实际问题和条件来变形关系式，如求直线斜率则构建倾斜角与余弦值的关系，求离心率则转化为关于离心率的关系式等. 教学中教师应立足实际问题开展解析探讨，强化知识应用，提升学生的综合能力.