例谈基本活动经验在解题教学中的落实

李莹

[摘  要] 基本活动经验可以在解题教学活动中落实. 文章以一道题目为案例进行分析，如何让基本活动经验在解题教学活动中落地生根，让学生经历从没有思路、无从下手到抽丝剥茧、水到渠成的过程，感悟并提炼出解题活动中的基本活动经验，从而提升应用数学思维的品质，发展学生的数学核心素养，落实“四基”.

[关键词] 活动经验;基本;解题教学

《普通高中数学课程标准（2017年版）》在课程目标中明确地将数学基本活动经验纳入：“通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验. ”（简称“四基”）[1]《普通高中数学课程标准（2017年版）解读》指出：“学生数学活动经验对学生探究数学活动、领悟数学思想方法、形成数学观念等均有着十分重要的定向和方法性作用，充足的数学活动经验是学生学好数学、提高数学素养的重要基础.”可见数学基本活动经验的重要性.

张奠宙教授指出：“所谓数学基本活动经验，是指在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识.”数学基本活动经验是指学生亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的经验. 这里有两个关键词体现了其核心要义：一是“活动”，二是“亲身经历”[2]. 通常意义下，所谓经验就是按照事实原样而感知到的内容. 哲学中的“经验”通常有两种解释，即来源于感官知觉的观念和来源于反思的（即我们由内省而知道的）那些观念[3]. 简言之，就是学生经历了基本活动过程后，所留下的直接感受、体验和感悟.

所谓活动，可以区分为思维的操作活动和行为的操作活动. 在高中数学课堂教学中数学活动丰富多样，有数学实验、操作验证、练习活动、交流探讨等活动. 张奠宙教授认为，数学活动还应该包括模式直观、解题经历、数学想象力，等等. 而在目前的高中数学课堂教学中，处处充满着解题活动. 所谓数学解题活动主要是利用认知结构、知识结构和思维结构对抽象的形式化思想进行材料加工的过程，是数学符号及数学命题在人的大脑里内部操作的过程，也就是一种思维的操作活动.

那么，在解题教学的过程中，如何让学生经历直观感知、体验，从而积累解题的基本活动经验？文章从一个案例来探讨一下.

试题呈现

试题：在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c. 若CD是AB边上的中线，且CD=CA，则+的最小值为_____.

命题意图：本题主要考查余弦定理、基本不等式等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力;体现了数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养. 以下（见表1、表2）是参加考试的722名学生的答题得分统计分析表和答题过程的调查表.

此题内涵丰富. 从统计的结果来看，虽然“区分度”不错，但是没有达到出题人的预期目标. 基于这个结果，笔者对学生答题的心理路程做了调查，统计结果如表2所示：有31%的学生“没有看题”，因为是填空题的压轴题，内心恐惧;有32%的学生“看题没有思路”，不知道如何应用CD=CA;有32.8%的学生“看题有思路”，但只有17.2%的学生“答题正确”. 由此可见出现低分的原因：学生的内心恐惧是其中之一，另外一个原因是学生缺乏解题的基本活动经验. 这就要求我们教师在解题教学活动中培养学生对题目条件的直观感知，形成积累解题基本活动经验的好习惯. 那么本題该如何让学生亲历解题的过程，获得解题的基本活动经验呢？

过程再现

1. 问题引领，翻译条件，启动思维

对看题但没有思路的学生来说，之所以没有思路，是因为对条件与所求问题之间的关系不明确，如何引导学生把条件与问题有机地衔接是重点. 师生由此来一次共同探究之旅，不妨先提出如下自然朴素且实用、具有普遍性意义的问题：“未知量是什么？”“已知数据是什么？”“条件是什么？”“对于题目条件，你有何想法？”“你画图了吗？你标注了吗？”“条件‘在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c’，你用到了吗？”此时学生不免一笑：“这是有用的条件吗？这是尽人皆知的，不说也知道，没有什么用. ”“那你标在图上了吗？”“心里知道，不用标. ”“那让我们看看标和不标的区别，条件标完了吗？”“没有，还有AC=CD需要标上. ”“再看一下，你有什么想法了吗？”学生的眼睛放光了，争相举手：“我知道了，可以建立一个方程. ”学生的思维由此开始启动，着眼点是等腰三角形的腰相等（b=b），于是解法1产生了：如图3所示，在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得cosA==，化简得c2=2a2-2b2，所以+=+·=+·. 将c2=2a2-2b2代入上式，可得+=+≥，当且仅当=，即a=b时取“=”.

点评：本解法在两个三角形中应用了两次余弦定理找到a，b，c三边的约束关系，然后代入目标. 本解法呈现的解题活动过程中，学生学着问自己问题，这些问题是思维的引领，有了问题，思维就能慢慢启动，从而进入解题的正确轨道，发展了学生的逻辑推理素养. 学生由“不会”到“会”，体验到了“问题”的神奇，长此以往的练习体验，能帮助学生获得基本的解题经验. 同时，在计算的过程中，学生还能获得运算技巧和方法. “消掉谁，留谁？怎么算？”这些问题的解决都需要学生亲身经历计算过程，获得计算经验. 明确计算过程中的取舍，发展学生的运算核心素养.

著名的数学家和数学教育家波利亚说过：“教师最重要的任务之一是帮助他的学生，最好是顺乎自然的帮助，不露痕迹的帮助.”[4]在教师的帮助下学生能启动思维，从而尽可能多地获得独立解题的经验.

2. 挖掘条件，积极联想，成功解答

“解法1使同学们看到了三角形的三条边，在三角形中可以用到余弦定理. 那么同学们再看一看、再思考一下，两条边相等你能得到什么？遇到等腰三角形，你会怎么处理？等腰三角形有什么性质？”有一位学生说到了“三线合一”并行动了起来……“知道三角形的两个腰了，且出现了角的正弦值、余弦值，那么就需要直角三角形，要直角三角形就需要高线. 那么高线是怎么做出来的？你还能发现其他什么秘密吗？”当这些秘密都表达出来之后，学生都高兴地叫了起来：“哇，真简单！”于是有了解法2：如图4所示，在Rt△ACE中，AE=，AC=b，cosA=;在Rt△EBC中，BE=，BC=a，cosB=. 所以+=+·=+≥，当且仅当=，即a=b时取“=”.

点评：本解法的着眼点是等腰三角形的性质——“三线合一”. 作辅助线，构造直角三角形，简洁明了，省时高效. 在初中学习三角形时，学生擅长作辅助线，而在高中学习三角形时，更多学生侧重于用正弦定理和余弦定理进行计算，因而忽略了作辅助线构造直角三角形的经验，导致无从下手.

“看到中点，同学们还能想到什么吗？”“刚才的解法1和解法2的着眼点分别是等腰三角形的腰相等和等腰三角形的‘三线合一’，那么如果我们把着眼点放在底边的中点，同学们可以联想到什么？”有的学生说到了“向量”……于是动起来就有了解法3：=（+），两边平方，得2=（2+2·+2），由极化恒等式·=2-2，得b2=b2+a2+2b2-，化简得c2=2a2-2b2. 后同解法1.

点评：当遇到中点或等分点时联想到向量，利用向量的数量积实现由“形”到“数”的转化，对学生的要求有点高. 在亲历向量这个解法解决问题后，学生感受到了向量让“形”与“数”产生联系的强大魅力. 学生在解题活动过程中，不仅获得了方法和经验，还落实了基本知识、基本技能、基本思想.

“向量有平行四边形法则，如果把中线延长，补出一个平行四边形，那么同学们又有何想法？”有的学生脱口而出：“平行四边形四边的长与对角线的长的关系. ”于是有了解法4：如图5所示，AB2+4CD2=2（CA2+CB2）（补成平行四边形，利用平行四边形四边的性质），化简得c2=2a2-2b2. 后同解法1.

又有一位学生说道：“老师，我们可以直接用中线长公式.”于是有了解法5：CD=（课本例题的结论），代入数据，化简得c2=2a2-2b2. 后同解法1.

点评：解法4、解法5的本质是一样的，即利用平行四边形四边的关系解题. 说明记住一些结论或公式能事半功倍.

在解题活动过程中，学生不光要学会提问题，还要会挖掘条件，積极联想，从不同的角度看待问题，就能抽丝剥茧获得思路，成功解答.

3. 感悟过程，反思经历，获得经验

“由于经验的层次、水平（特别是由于经验获得者的抽象、概括和反思水平）所限，个体之间的活动经验有较大的差异，即使在同一个活动中，不同的个体所获得的基本活动经验也会有所不同，往往取决于个体活动的感知水平与反思能力.”[3]史宁中教授指出，“我们大体上可以把经验分为感性经验和逻辑经验. 感性经验也依赖思考，但更多的是依赖观察;逻辑经验也依赖观察，但更多的是依赖思考.”[5]如何学会思考，获取思考经验？“思考的经验——就人的理性而言，是思维过程（特别是基于逻辑的思维过程）积淀出的一种经验.”[3]我们可以从上述案例进行反思，基本活动经验获取的途径及反思的角度如下：其一，数学的三种语言（文字、符号、图形）在表达时的相互转化;其二，思维的角度和习惯的积累;其三，计算技巧与方法的归纳. 在解题活动过程中，教师要带领学生进行感知、反思. 如何从“不会”到“会”？关键在于落实直观观察的经验. 如何由无从下手到水到渠成？关键是要动手标示条件，引领并激发思维，属于行为操作的经验. 所以教师应该让学生积极行动起来，拿到问题后分析条件和目标，并标示条件. 通过亲身体验解题过程中的具体操作方法，达到训练思维的目的. 学生在掌握知识的基础上，再经历应用知识和方法来解决问题的过程，通过行为操作方面的具体体验，慢慢地就能获得思维操作的经验，即思考的经验.

4. 积累经验，养成品质，提升素养

“由思考的经验、亲身探究的经验，又可能派生出一种思维模式、思维方法.”[3]学生经历反思与积淀后获得了思考的经验. 就解法1的产生而言，学生由“不会”到“会”依赖的是“标示条件、直观观察”. 学生在后续的解决问题的过程中，就能运用“标示条件、直观观察”这种经验获得解题思路. “在许多学科中，对于结果的预测和对于原因的探究，起步阶段依赖的都是直观，而直观能力的培养依赖于活动经验的积累.”[3]就解法2的产生而言，是深刻挖掘条件的内涵，只有学生亲身经历每个活动的过程，在过程中积累经验，长此以往才能提升思维品质，发展数学核心素养.

基本活动经验不仅能在实验课、活动课、操作课等获得，也可以在习题课中获得. 关键是要让学生亲身经历每个活动的过程，在过程中进行反思、感悟，获得活动经验，不仅如此，在过程中还能更好地落实基本知识、技能、方法.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准[M]. 北京：人民教育出版社，2017.

[2]  史宁中，王尚志. 普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M]. 北京：高等教育出版社，2017.

[3]  孔凡哲. 基本活动经验的含义、成分与课程教学价值[J]，课程·教材·教法，2009（03）.

[4]  波利亚. 怎样解题[M]. 涂泓，冯承天，译. 上海：上海科技教育出版社，2007.

[5]  史宁中. 数学思想概论：图形与图形关系的抽象[M]. 长春：东北师范大学出版社，2009.