课本一道习题的变式及探究

袁小强

[摘  要] 某些基本不等式结构不明显的试题在求最值時不能直接运用基本不等式求最值的结论（和定积最大，积定和最小），此时需要利用换元法，将其化归为常见的基本不等式的结构.

[关键词] 基本不等式;换元法;化归;最值

评注：此题用配凑法显得不太容易，而通过换元，化繁为简，转化为求+++的最小值.

对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用. 换元法把某些部分甚至全局，当做一个单位考虑，常常令人豁然开朗. 做一题，通一类，在用基本不等式求最值的过程中，有时问题看似比较复杂，但通过换元能使问题变得简单，让我们看到问题的本质. 换元法是常见的化繁为简、化不熟悉为熟悉的重要思想方法，具有足够的数学魅力.