深挖教材资源 发展数学思维

王东

[摘  要] 很多教师已经关注到“题海战术”的弊端，然而教学中仍在广泛使用，不仅增加了学生的学业负担，而且占用了师生钻研教材的时间. 而教材才是数学教学的重中之重，只有用心钻研才能掌握知识的内涵，才能有效地利用例习题的变形达到巩固学生知识和发展学生数学思维的作用.

[关键词] 题海战术;钻研教材;数学思维

有些时候，考生会觉得考试题目偏难，但经过反思总结却发现其内容都源于教材. 出现这一现象的原因大多是师生对教材的认识不够，尤其是高三复习阶段，对教材研究的时间很少，大多时间用于刷题，试图提高成绩. 这样“轻教材、偏练习”的情况时有发生，即使吃了不重视教材的亏，依然容易执迷不悟.

教材是试题编写的依据和主要来源，因此若想提高成绩，则学好教材才是关键. 那么，在数学教学中如何才能用好教材呢？笔者结合教学实践，谈谈自身对教材教学的粗浅想法.

[⇩] 利用教材资源夯实基础

数学教材的编写是数学专家集体智慧的结晶，编写过程充分结合了学生的认识水平和学习能力，是学生数学知识的主要来源. 数学教材是值得每位教师仔细研究的，尤其是年纪较轻的一线教师更要注重教材的研究，不要认为讲授偏题、难题、综合题才能体现个人能力，这样错误的认识容易造成学生基础知识掌握不牢，从而限制学生后期的提升和发展. 因此，在教学中要仔细研究教材，读懂和挖掘教材的真实内涵，从而认清知识的本质特征，真正地用好教材.

1. 加强概念内涵和外延的学习

一谈到数学概念，大部分学生认为只要熟背就可以掌握和应用概念了，这种想法显然过于片面，没有对概念形成正确的认识. 数学概念是通过数学家无数次验证和推理得到的，是从感性认知升华至理性认知的过程，其有着丰富的内涵和外延. 同时，数学概念是培养学生数学思维、形成正确数学观的理论依据，因此教师要引导学生重视概念的学习，从而为提升数学能力提供理论支持.

例1 将函数f（x）=-2（x∈[0，6]）的图像绕点O（0，0）逆时针旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C. 若对于每个旋转角θ，曲线C都是一个函数图像，则α的最大值为________.

此题实际上就是考查函数的定义，然而因为学生对概念的不敏感，很多学优生都没有正确理解此题的用意，从而造成难解失分.

数学定理、公式的推理都是以概念为基础的，因此概念始终是数学学习的重点之一，是学好数学的基础，概念学习必须引起师生的重视.

2. 提升例题的广度和深度

例题是对数学概念、定理、公式最好的诠释，是训练学生数学思维的重要手段. 同时，很多考试题目都是例题的变形，高考题目亦是如此. 因此若想数学成绩有所突破，不仅要通过熟练来掌握例题的思路和解法，还要充分挖掘例题更深层的内涵，从而提升学生敏锐的观察力和解决问题的能力.

高考中很多题目都源于教材又高于教材，因此必须鼓励学生认真钻研教材，切勿远离教材而盲目地练习难题、偏题，否则不仅会加重学生的学业负担，而且会消耗学生研读教材的时间，得不偿失.

[⇩] 立足教材，激活数学思维

课堂是教师教授知识、学生学习知识的主阵地，因此师生要用好课堂资源，在夯实基础的同时注意学生数学思维的发展. 在教学中，教师要善于利用变式、一题多解等多种教学手段来激活学生的数学思维，培养学生综合分析问题和解决问题的能力.

1. 认真解读题目中的隐含条件，培养思维的深刻性

审题是顺利解题的前提，那么如何审题呢？笔者认为，审题必须关注题目中隐含的条件，这样不仅能为解题提供依据，而且有利于培养学生思维的严谨性和深刻性. 因此，教学中要不失时机地引导学生关注隐含的条件，培养学生挖掘隐含条件的意识.

例2 在△ABC中，已知cosA=，cosB=，求sinC和cosC的值.

要解决此题，首先就要理解题中隐含的条件. ①由△ABC可知，∠C=180°-∠A-∠B，因此求sinC的值就转变为求sin（A+B）的值;②因为∠A，∠B，∠C为△ABC的三个内角，因此sinA>0，sinB>0，sinC>0. 找到题目中隐含的条件，问题自然迎刃而解. 然而，若学生对定理缺乏理解，则很难发现题中隐含的条件，也就很难解决问题了.

2. 多角度论证，培养思维的灵活性

在教学中，教师常常引导学生对同一问题从多角度进行思考，寻求不同的解决策略或方法，从而摆脱定向思维的束缚，开阔学生的视野，培养思维的灵活性.

例3 求证cos2α-cos2β=-sin（α+β）·sin（α-β）.

解決此题从多角度进行思考，主要有以下三种方法：

方法1：cos2α-cos2β=（cosα+cosβ）·（cosα-cosβ）=

2coscos

·

-2· sinsin

=-

2sincos

·

2sincos

=-sin（α+β）sin（α-β）.

方法2：cos2α-cos2β=-==-sin（α+β）·sin（α-β）.

方法3：-sin（α+β）sin（α-β）= -（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ-cosαsinβ）=cos2αsin2β-sin2αcos2β=cos2α·（1-cos2β）-（1-cos2α）cos2β=cos2α-cos2β.

3. 强化训练，提高思维的敏捷性

数学考试往往题量较大，解题时需要迅速地对题目做出反应，因此必须提高思维的敏捷性. 那么，要提高学生思维的敏捷性就需要教师有意识地进行培养. 首先通过常规的基础练习让学生“懂”和“会”，其次通过知识点整合培养学生的迅速反应能力，然后通过强化练习提升学生的解题速度，从而达到遇到问题就可以产生条件反射的程度.

例4 同角三角比的基本关系.

在讲解同角三角比的基本关系时教师首先从定义入手，引导学生发现倒数关系，并找出使其成立的条件;接下来，探究商数关系和平方关系，为了方便学生加强公式记忆，可借助于图形法（如图1所示）.

通过图1可以发现：①对角线上的三角比乘积为1;②六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如sinθ=cosθ·tanθ.

为了方便学生记忆，在训练过程中，可以引导学生选取适合自己的方法，这也是尊重个体差异的表现. 当然，训练思维的敏捷性也可以借助于平时的练习，通过限时提升学生的关注度和紧迫感，从而培养学生良好的思考习惯和做题习惯. 思维的敏捷性不是一朝一夕就可以培养的，需要长期坚持练习，在保证正确率的基础上提高对速度的要求，做到稳扎稳打、稳中求快.

4. 通过变式，培养思维的创新性

数学学习如果仅是模仿和套用公式，很难提升学生的数学能力，更无法培养学生的创新思维. 因此在应用教材时可以借助于一些变式题，训练学生思维创新的能力.

例5 已知tanα=2，求的值.

该题解答后，教师通过变化让学生继续探究，从而通过题目的创新培养学生的创新思维.

（1）变条件：

变式1：已知tan（π-θ）=2，求的值.

变式2：角α的终边在直线y=2x上，求的值.

（2）变结论：

变式3：已知tanα=2，求的值.

变式4：已知tanα=2，求2sin2α+sin2α的值.

通过变式训练，让学生找到知识点之间的联系，不仅可以巩固知识，还可以提升思维的灵活性，培养学生的创新意识.

例6 已知等差数列{an}前5项的和为0，前10项的和为-100，求这个数列前20项的和.

让学生根据等差数列的性质得出相应的和也是等差数列，从而求解. 为了进一步拓展和延伸，可以用字母来代替特殊值，如将“前5项”改为“前m项”、“前10项”改为“前2m项”. 因为学生对含字母的运算常常无从下手，所以需要通过题目的创新设计解放学生的思维，让学生从特殊中找到一般规律，从而提高学生解题的信心.

平时练习的题目，甚至高考题目，大多是教材中例习题的变形. 因此，在教学中要注意例习题的变形，通过“变”考查学生基础知识的掌握情况，通过“变”让学生发现问题的本质，通过“变”让学生掌握通性通法，通过“变”培养学生的创新思维.

5. 利用错误，培养思维的严谨性

教学中，教师常常害怕学生犯错，为避免犯错将易错点提前加以说明，然而教师所强调的易错点学生往往记忆不牢，导致在章节练习或者考试时漏洞百出. 因此，在学习时不如放手让学生犯错，通过纠错培养学生思维的严谨性和批判性.

例7 解不等式

>1.

教师让学生尝试自主解题，接下来展示错解过程.

師：原不等式可化为2x-3>x+2，根据不等式的性质得（2x-3）2>（x+2）2，整理得（3x-1）（x-5）>0，解得x>5或x<.

师：大家的答案和我的答案是一样的吗？（大多数学生表示赞同，少数学生提出了反对意见）

生1：这个结果不对，若x=-2，也满足x<，而不等式中x≠-2，所以该结果是错误的.

生1质疑后，大家恍然大悟. 让学生经历犯错的过程，比直接指出错因更使学生印象深刻. 通过纠错能有效避免学生重蹈覆辙，可以潜移默化地培养学生思维的严谨性. 同时，大胆地提出疑问，可以培养学生思维的批评性，增加学习的信心.

总之，在教学中，教师只有以教材为本，深度挖掘教材的精髓，才能不失时机地训练学生的数学思维，提升学生的数学素养，从而提高数学成绩.

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