关注概念复习深度 提升数学思维品质

李荣军

[摘  要] 高三概念复习不再是简单的基础知识和基本概念的重现，其更重要的是数学知识体系的建构与完善，是数学思想方法的渗透与提炼，是数学思维品质的提高与升华. 在高三概念复习中，既要准确把握概念，又要重视其外延的拓展，善于结合教学实际，揭示概念间的联系，挖掘蕴含其中的数学思想方法，从而拓展概念的长度与宽度，提高概念的高度与深度，促进学生不断提升能力.

[关键词] 概念复习;思想方法;思维品质

数学概念是构建数学知识体系的基石，是数学的灵魂，是学生理解数学和应用数学的理论依据，是提高学生解题能力的关键，其在数学教学中的地位和价值是不言而喻的. 若想学好数学则首先要掌握概念，只有这样才能认清问题的本质，从而做出科学的判断，找到合理的解决方案.

高三数学教学主要以复习为主，在复习过程中大多数教师为了追求速度，常常简化了对概念、公式、定理等基础知识的复习、巩固和拓展. 这在概念复习中尤为突出，因为在师生的潜意识里认为概念只要记住就可以了，从而导致学生对概念的认识不深，也难以关注概念间的联系. 在解题时常常出现这样的情况，对于同一类型的题目教师明明做了详细的讲解，学生也进行了一定的强化训练，但他们在遇到类似的题目时还是屡屡犯错. 究其原因主要是教师把高三数学复习的重心放在了解题上，忽视了对基础知识的复习和巩固，从而使得学生的基础仍非常薄弱，影响了他们的长远发展. 教师在教学中切勿急功近利，应注意巩固与强化基础知识，拓展与延伸基础知识.

在复习教学中如何开展概念教学呢？笔者认为首先师生要改变对概念教学的片面认识;其次要研究数学概念的教学策略. 在复习概念时应引导学生将相关或相近概念建立联系，同时重视挖掘数学思想方法，并通过恰当练习让学生感受概念在解题中的重要价值，从而激发他们对概念学习的兴趣，通过深度挖掘不断优化学生的认知，促进学生提升解题能力[1]. 为了让学生能够精准地理解并掌握数学概念，并可以灵活运用概念去解决问题，笔者认为在高三进行概念复习时应该注意以下几点：

[⇩] 把握概念的本质

在新知教学中，虽然大多数教师对概念的形成过程、概念的内涵及外延等相关内容都进行过重点剖析和探究，但学生在运用概念时还是会因忽视符号的使用范围，不理解概念的本质，或出现遗忘等情况而出现错误，这就要求教师在复习概念时仍需要花一些时间去巩固它们，以保证学生可以准确地把握概念[2].

例如在复习函数奇偶性定义时，奇偶函数具有如下性质：设函数y=f（x）的定义域为A，对于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x）（或f（-x）=f（x））. 若只是如此复习，则其显然缺乏深度，教师应引导学生进一步辨析，当x∈A时，等式中出现了f（-x），所以-x∈A，从而引导学生关注函数的对称性. 其实在判断函数奇偶性时，关于对称性这一必要条件的探究是学生最容易忽视的，为此在复习阶段教师要善于结合学生日常问题进行科学指导，从而通过再思考尽量避免因考虑不周而出现错误，进而培养学生思维的严谨性，深化他们对函数奇偶性概念的认识.

其实，对于一些概念的把握，不能仅从概念名词上去理解，还应深入探究，要做到精准掌握，这样不仅可以有效地规避错误，而且可以拓展学生的解题思路. 例如函数奇偶性中的对称性，在解题时完全可以应用这一必要条件来挖掘一些隐含信息，以此丰富已知，便于学生找到解题的突破口. 另外，对于重点强调却屡屡犯错的情况，教师要认真反思，出现这一情况往往是因为教师“包办”所造成的，教师认为只要在易错点或重难点进行重点强调学生就不会犯错，但常常事与愿违. 在复习阶段要以生为主，给学生一定的时间去思考、去探究，同时鼓励他们去交流、去辨析，从而更为全面地、准确地把握概念，以此有效避免解题时出现概念性错误.

[⇩] 拓展概念的外延

因受知识体系的影响，有些概念在新知教学时局限于“就事论事”，概念间的联系和拓展受到了很大程度的限制，这就给概念复习带来了较好的发展契机. 在复习阶段可以引导学生通过联想、总结、归纳将相关概念连接起来，从而通过拓展将相关的、相似的内容编织成纵横交错的概念网络，形成一个完成的概念体系，便于知识迁移[3].

1. 纵向拓展

在新概念引入阶段，教师也会带领学生联想与之相关的概念，从而通过纵向延伸来构建知识体系，但因受时间和空间的限制，对概念的拓展有限，学生的概念体系有待完善，这就要求教师在高三复习阶段打破原有的空间限制，引导学生去拓展和延伸，从而让概念更具生命力.

例如对于偶函数的定义，在新知教学阶段仅是根据教材内容进行建构，在复习阶段，教师可以引导学生转变一下思路，换一种说法. 把函数解析式中的x换成-x，函数解析式不变，结合偶函数关于y轴对称的性质，于是得出对于方程f（x，y）=0，如果将x换成-x，方程不变，那么方程f（x，y）=0表示的曲线关于y轴对称. 同样对于奇函数，将函數解析式中的x换成-x，同时y换成-y，函数解析式不变. 结合奇函数关于原点对称的性质，可得出对于方程f（x，y）=0，如果将x换成-x，y换成-y，方程不变，那么方程f（x，y）=0表示的曲线关于原点成中心对称. 基于上面内容，容易猜想：若方程f（x，y）=0，如果将y换成-y，方程不变，那么方程f（x，y）=0表示的曲线关于x轴对称. 这样通过对函数奇偶性概念的延伸得到了一般曲线的对称性，实现了从特殊到一般的转化，推动了知识体系的建构和优化.

其实对于函数奇偶性的定义，除了向一般曲线延伸外，还可以引导学生向函数图像的一般性对称延伸. 若函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称，则函数y=f（x+a）为偶函数，将等式中的x换成-x表达式不变，即f（a-x）=f（a+x）成立;若函数y=f（x）关于点（m，n）对称，则函数y=f（x+m）-n为奇函数，将x换成-x，y换成-y表达式不变，于是f（-x+m）-n=-（f（x+m）-n），即f（m-x）+f（m+x）=2n.

由此可见，很多概念看似不相关，但若进行深度的挖掘剖析，将其共性特征串联起来，可使知识脉络变得井然有序，不仅降低了记忆的难度，而且丰富了概念的内涵，使概念复习呈现出别样的精彩.

2. 横向拓展

有些数学概念其定义角度或研究手段往往会呈现一种共性的特征，因限于学生的学习能力，在新概念讲授阶段，概念教学大多还以教师讲解为主. 虽然师生都较好地完成了“教”与“学”的任务，但其仍有一个较大的提升空间. 为此在概念复习时教师要有意识地将一些有共同点和相似性的内容集中在一起，引导学生通过类比进行自主探究. 这样不仅有利于提高学生的自主学习能力，而且通过横向拓展有利于培养他们的辩证思维能力.

在复习圆锥曲线时，教师常常会把椭圆和双曲线放在一起，借助两定点距离之和（或之差的绝对值）为定值来理解和应用概念，那么在此基础上是否可以引导学生继续探究呢？两定点距离之商（或之积）又会有什么特点呢？

探究1：若动点P到两定点A，B距离之商为定值，动点P的轨迹是什么？

经过探究发现，若距离之商为不等于1的定值，则动点P的轨迹为圆. 这一知识点在高考中也常常出现.

例1 若AB=2，AC=BC，则S△ABC的最大值是________.

分析：以AB为x轴，AB垂直平分线为y轴建立直角坐标系，由若AB=2，AC=BC，可求得动点C的轨迹为圆（x-3）2+y2=8. 得出轨迹方程后，问题自然就可以迎刃而解了，三角形的高的最大值即为圆的半径，为此S△ABC的最大值为2.

例2 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.

分析：由已知条件可知圆C的方程为（x-a）2+[y-2（a-2）]2=1，由MA=2MO知，点M的轨迹为圆x2+（y+1）2=4. 本题可转化为关于两个圆的位置关系问题，于是有1≤≤3，解得a的取值范围为0

，.

探究2：动点与两定点连线除了距离，还有斜率，若继续探究斜率会有什么发现？

经过探究发现，若该动点与两定点的连线斜率存在，且斜率之积为定值m，则当m>0时，动点形成的轨迹为双曲线;当m=-1时，轨迹为圆;当m<0且m≠-1时，轨迹为椭圆.

在原有概念的基础上引导学生去发现新概念，探究新结论，拓展了概念的长度和宽度. 其实以上新概念、新结论在解题时常常会用到，如果复习时没有让学生经历探究的过程，那么学生在解题时自然容易发生思维障碍，不利于解题效率的提升. 反之经过探究不仅强化了原有认知，使原概念更加清晰，而且通过探究也丰富了原认知，拓宽了学生的视野，有利于他们构建更为完善的学科体系.

[⇩] 提炼蕴含的思想

在教学中经常会发现这样的情况，学生不仅将数学概念、定理背得滚瓜烂熟，而且也掌握了解题方法和解题技巧，但解题时还是屡屡受挫，究其原因就是学生对一些概念、方法学得过于死板，不能领会其中蕴含的数学思想，在解决问题时难以抓住问题的核心. 要知道学习数学单纯靠死记硬背是很难有所突破的，为此教师在教学概念时要善于揭示问题的本质，提炼其中蕴含的数学思想方法，从而提升概念学习的高度.

例3 如图1，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC，点E在BC上，BC=4EB，点F在AC上，AC=4AF，求证：直线EF∥平面ABBA.

例3是一道高三模拟考试题，所考查的内容主要是线面平行的判断定理，对于这个定理学生都能熟背，也分析出证明该结论需要过直线EF作平面与平面ABBA相交，证明直线EF与交线平行，由此得出结论. 思路分析没有问题，但如何过直线EF作平面呢？很多学生因为未能准确作图，所以未能给出合理的证明，可见学生对“两条相交直线确定一个平面”这一基本概念并没有真正掌握. 虽然学生知晓文字概念，但是并没有真正地领悟实质，在复习时也没有引起足够的重视，为此在应用时便无从下手. 在讲解本题时，教师基于学生问题进行深度剖析：如图2，AC与BC都与平面ABBA相交，所以由相交直线EF，AC所确定的平面与平面ABBA的交线为AG. 当然除了利用相交外，还可以应用平行，分别过E，F作直线AC的平行线，分别交直线AA，AB于M，N，这样通过平行线确定过直线EF的平面EFMN，得到交线MN，如图3.

由此可见，数学概念教学要有一定的高度，不仅要掌握一定的数学知识，更要重视蕴含其中的数学思想方法，让学生在数学思想方法的引导下进行深度思考，从而通过深度挖掘找到问题的本质，高效解决问题.

[⇩] 沟通概念的联系

在高中阶段，学生用数学的最直接表现形式就是解题，提升学生的解题能力自然也就成了师生的共同追求. 但高中数学题目综合性强，若想提高解题能力，则需要学生站在整体的角度去思考问题，从而更好地沟通知识点间的联系，顺利找到解决问题的突破口.

例如，函数最值问题是高中数学教学的一个重点内容，也是高考的热点问题，但函数最值的定义在教学中却没有引起师生的过多关注，大多数教师只要求学生能够解决不同类型的函数最值问题就可以了. 其实细细品味容易发现，函数最值概念与不等式求最值、不等式恒成立等问题密不可分.

1. 函数最值定义与不等式

例4 求函数y=x2+的最小值.

错解：y=x2+=x2+3+-3≥2-3=1，所以函数的最小值为1.

以上错误是学生的常见错误，没有验证取等条件就给出了最值显然是不合理的. 思考上面的解题过程会发现，学生利用基本不等式解题是没有问题的，但y=x2+≥1只是一个不等式，只能说明y值不小于1，并不能说明函数的最小值就是1，要确定1是最小值需保證1是函数值，可见不等式与最值既密不可分，但又不完全等价.

2. 函數最值与不等式恒成立

仔细探究函数最值概念可以得到以下结论：

（1）设函数y=f（x）在D上的最大值为M，最小值为N，则不等式f（x）≤a对x∈D恒成立的充要条件是a≥M;不等式f（x）≥b对x∈D恒成立的充要条件是b≤N.

（2）函数y=f（x）在x∈D上最大值为M，则不等式f（x）≤M对x∈D恒成立，且能取到等号;函数y=f（x）在x∈D上最小值为N，则不等式f（x）≥N对x∈D恒成立，且能取到等号.

其实以上结论在解决已知函数最值，求函数解析式中参数的值或参数取值范围有着重要的应用价值.

例5 设f（x）=-x3+x2+2ax，当0<a<2时，f（x）在[1，4]上的最小值为-，求f（x）在该区间的最大值.

分析：本题在求解时学生会先求函数的导数，再研究函数在[1，4]上的单调性和极值，从而求出函数f（x）在[1，4]上的最小值表达式，结合已知建立等式求得a，最后将a代入函数求得最大值. 以上方法为常规方法，应用结论2会有别样的精彩.

解：因为f（x）在[1，4]上的最小值为-，所以不等式-x3+x2+2ax≥ -对x∈[1，4]恒成立且能取等号，分离变量得2a≥. 设g（x）=，则2a≥g（x），对x∈[1，4]恒成立且能取等号，所以2a=g（x），x∈[1，4]. g′（x）==，因为x∈[1，4]，所以g′（x）>0，g（x）在x∈[1，4]上单调递增，g（x）=g（4）=2，2a=2，a=1，此时f（x）=-x3+x2+2x，求导研究单调性可知f（x）=f（2）=.

总之，在高三进行概念复习时，教师不应该仅限于照本宣科地简单回顾，而是应该带领学生进行深度挖掘和拓展，进而通过横纵延伸建构完善的知识体系，以此提高学生的数学知识迁移能力，培养他们良好的学习习惯，最终提高他们的数学素养.

参考文献：

[1]贾光辉. 整体把握与实施高中函数概念教学[J]. 中国数学教育：高中版，2009（12）.

[2] 邵敏伟. 总总结高考命题规律，反思高三复习教学，探索未来命题趋势——从高考试卷分析上透析高三数学复习教学的有效性[J]. 数学教学通讯，2015（12）.

[3] 赵玉辉. 高三数学概念复习的有效性策略浅析[J]. 数学学习与研究，2014（11）.

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