数学建模竞赛倒逼高等数学教育模式优化的机制设计

摘  要：为了在高等数学教学中落实“突出应用，加强实践，竞赛驱动”的理念，基于SD模型和正反馈闭环系统，设计了数学建模竞赛倒逼高等数学教育模式被循环优化的机制，并从2009年至2020年进行了12年的实践研究，结果表明学生竞赛达标率和竞赛论文质量均呈现上升趋势，说明该机制具有一定的科学性、有效性和可行性。

关键词：数学建模竞赛;高等数学;正反馈闭环系统;SD模型;教育模式

中图分类号：G647;O141.4                   文献标识码：A              文章编号：1672-0105（2021）04-0075-06

A Mechanism on How Mathematical Modelling Contest Optimizes the Advanced Mathematics Curriculum

WANG Ji-jian

（Zhejiang Industrial & Trade Vocational College， Wenzhou 325003， China）

Abstract：  To realize the notion of “Fueling Application with Practicality and Contest”， a mechanism on how the mathematical modeling contest optimizes the advanced mathematics curriculum has been structured， based on SD modeling and the closed-loop system of positive feedback. Besides， a 12-year practical study on statistics from 2009 to 2020 has shown that the contest qualification rate and the quality of contest paper has taken an upward trend， which demonstrates that this mechanism holds value in relevance， practicality and feasibility.

Key Words：  mathematical modelling contest; advanced mathematics; closed-loop system of positive feedback; SD model; educational model

一、引言

2018年3月李克強总理在《政府工作报告》中指出，加快制造强国建设，推进智能制造，创建“中国制造2025”示范区，全面开展质量提升行动，弘扬劳模精神和工匠精神，建设知识型、技能型、创新型劳动者大军，来一场中国制造的品质革命。2019年1月国务院发布《国家职业教育改革实施方案》（国发〔2019〕4号），提出把职业教育摆在教育改革创新中更加突出的位置，牢固树立新发展理念，着力培养高素质劳动者和技术技能人才，实现更高质量更充分就业。高等数学课程在高职院校中的定位是基础课、技术课、能力课和文化课[1]，高等数学教育是高等教育的核心要素，是高等教育目标得以实现的关键构件[2]。学科竞赛不但能够检验人才质量的高低，而且反过来还能推动教学改革的进程。教育部在四大竞赛（数学建模、结构设计、程序设计、英语）的基础上，推出了更多符合行业特色的竞赛，每年有数十万在校大学生走进各类竞赛，竞赛已经成为彰显高校育人成效，提高育人质量的重要抓手。在大数据、云计算、人工智能时代，如何通过赛后分析，找出课程建设的盲区和教学方法的短板，成为推动课程改革的切入口。

二、相关理论简介

（一）国际CDIO教育模式

CDIO（conceive-构思，design-设计，implement-实施，operate-运行）是由麻省理工学院与瑞典的查尔摩斯工业大学、林雪平大学、瑞典皇家工学院在Knut and Alice Wallenberg基金会资助下，经过4年的研究和实践，于2004年创立的工程教育模式，是国际工程教育改革的重要成果，其创始人美国工程院院士Edward Crawley教授为此获得了美国工程院最高教育奖项“戈登奖”。该模式是以产品、过程和系统的构思、设计、实施、运行全生命周期为背景的教育理念为载体，以CDIO教学大纲和标准为基础，让学生以主动的、实践的、课程之间具有有机联系的方式学习和获取工程能力，包括个人知识与能力、团队合作能力，以及在企业和社会环境下建造产品和系统的能力[3]。

（二）高等数学CDIO-MEM教育模式

MEM（Mathematical-数学，Experiment-实验，Modeling-建模）教育模式强调在数学理论教学中增加实验环节，类似于物理、化学中的实验教学，以培养学生实验探索、假设检验与论证的能力，了解并体验大数据分析、人工智能、机器学习等前沿技术;增加数学建模环节，突出应用能力、创新思维和团队合作精神的培养。MEM教育模式解决了大数据、人工智能、教育信息化时代高等数学如何发挥基础课在高技能人才培养方面的功能，具有一定的时代性和前瞻性，但却不能很好地解决教育教学改革的方向问题，在实施过程中难以保证不会偏离正确发展的轨道，就如同宇宙飞船如果只有火箭推进而没有导航引领的话，就会偏离轨道坠入茫茫宇宙。

因此，将CDIO工程教育模式与MEM教育模式相结合，形成CDIO-MEM教育模式，实现了优势互补，不但发挥了国际工程教育的引领作用，而且准确锁定了应用型高技能人才培养目标，确保教育改革沿着正确的轨道推进。

（三）SD模型

SD（System Dynamics，系统动力学）模型是由美国麻省理工学院福雷斯特（Forrester，J.W.）教授于1956年首创，是自然科学理论（如系统论、控制论、信息论等）与经济学的综合、交叉学科，适合于针对长期性、周期性、动态性、战略性、处理精度要求不高的复杂问題的分析与处理。

SD模型引入我国始于20世纪70年代末，并于1994年正式成立中国系统工程学会系统动力学专业委员会，目前在经济、生态、环境、社会、教育等领域都取得了飞速发展[4-5]。

（三）闭环系统

著名科学家钱学森对系统的定义：系统是由相互作用和相互依赖的若干组成部分结合成的、具有特定功能的有机整体[6]。系统分为开环系统和闭环系统，闭环系统又分为正反馈闭环系统和负反馈闭环系统。正反馈闭环系统具有循环自激功能[7]。

三、竞赛成败归因分析倒逼课程改革的机制

全国大学生数学建模竞赛是教育部首批列入“大学学科竞赛排行榜”的19项竞赛之一，已经成功举办27年了[8]。高等数学课程作为高职院校的基础课必然长期存在，高等数学课程教学和数学建模竞赛都具有长期性、周期性、动态性、系统性的特点，因此，SD模型和闭环系统适合于研究高等数学课程与数学建模竞赛的复杂联动关系。

为方便起见，将竞赛成败归因分析倒逼课程改革的机制称为倒逼机制。

（一）倒逼机制闭环系统的建立

本研究的基本假设如下：

1）优化CDIO-MEM教育模式，能够增强学生的问题解决能力、创新思维能力和团队合作能力，从而能够在学科竞赛中体现出来，并有效提高学科竞赛成绩。

2）竞赛成败归因分析，反过来能够刺激CDIO-MEM教育模式的优化。

基于以上假设，建立倒逼机制的系统结构，如图1所示。

由图1可知，倒逼机制的系统由CDIO-MEM教育模式优化子系统、竞赛子系统、竞赛成败归因分析子系统组成。CDIO-MEM教育模式优化子系统是指通过对CDIO-MEM教育模式进行优化，达到完善数学知识体系、提高学生问题解决能力、培养学生团队合作精神的目标。竞赛子系统是指组织学生参加当年（第t年）全国大学生数学建模竞赛;竞赛成败归因分析子系统是指通过对当年（第t年）竞赛的成绩和论文进行分析，寻找差距和不足，总结成功的经验与失败的教训，为下一年（第t+1年）CDIO-MEM教育模式的优化打好基础。

由图1可知，倒逼机制系统是一个闭环系统，即“CDIO-MEM教育模式优化→竞赛→竞赛成败归因分析→再优化→…”。

（二）倒逼机制闭环系统中各子系统的结构

1.CDIO-MEM教育模式优化子系统

CDIO-MEM教育模式优化子系统如图2所示（图中实线方框表示实物或行为，虚线方框表示维度，下同）。

CDIO-MEM教育模式优化包括一体化知识体系优化、一体化教法优化、一体化学法优化和一体化考核优化[3]。所谓“一体化知识体系优化”，主要是指3个方面：1）消灭数学知识盲区，就是将当年竞赛中必需的知识点进行补充。2）消灭建模方法盲区，就是将当年竞赛中用到的数学建模方法进行补充。3）消灭算法和编程盲区，就是将当年竞赛中用到的算法及其程序进行补充。

所谓“一体化教法优化”，主要是指8个方面：1）在课堂教学中融入数学建模思想和方法，加强学生建模思维的培养。2）在课堂教学中融入数学实验内容，渗透人工智能思想，培养学生探究能力。3）在每个单元结束后布置1～2个模拟建模题，要求按照“六步建模法”完成写作，以小论文形式上交，提高学生数学建模能力。4）在期末结束后完成（提前布置）一个实战建模题，按照竞赛论文的要求完成写作，以大论文形式上交，提高學生解决大型实际问题的能力。5）建设在线共享课程，鼓励学生登陆浙江线上大学，自主学习数学软件等内容。6）融入数学文化内容，推进课程思政，培养学生人文素养。7）创建智慧课堂，将手机作为学习工具来使用。8）建设教学资源库，实施翻转教学[9]。

所谓“一体化学法优化”，主要是指3个方面：1）将理论与实验一体化，在课堂上使用手机查阅资料和简单计算，使用电脑编程来验证和发现新知识。2）将个人、团队合作能力和建模能力一体化。3）将建模和求解一体化[10]。

所谓“一体化考核优化”，主要是指2个方面：1）将理论考试与实践考核一体化，期末组织理论知识的考试，还组织实践能力的考核。2）将单元模拟建模题和期末实战建模题一体化，单元结束后完成1～2个模拟建模题，在期末结束后完成（提前布置）1个实战建模题。

所谓“观察指标→理想值”，是指将竞赛观察指标与其理想值进行对照，并使之趋于理想值，这是CDIO-MEM教育模式优化的目标，具有“镜子”的作用，通过这面镜子，将处于盲区的课程内容全部补充完备，并通过有效教学使得学生熟练掌握这些内容，可见，倒逼机制系统是一个正反馈闭环系统。

2.竞赛子系统

竞赛子系统就是按照竞赛制度完成队员选拔、建模培训、参加竞赛的全部流程。

3.竞赛成败归因分析子系统

竞赛成败归因分析子系统如图3所示。

数学建模竞赛成绩是指获奖等级，包括国家级一等奖、二等奖，省级一等奖、二等奖、三等奖。

赛题研究论文是指竞赛指导教师对赛题深入研究后所撰写的研究论文，相当于评阅学生论文的参考标准。

所谓“达标分析”包括2个方面：1）竞赛成绩达标分析，以国家级一等奖为比较对象，分析参赛队是否获得国家级一等奖，以达标率进行测度。2）竞赛论文达标分析，以赛题研究论文为比较对象，分析学生参赛论文是否达到“最好”的水平，以论文评分进行测度，评分的维度有4个，分别是假设的合理性、建模的创造性、求解的正确性和表述的清晰性。

所谓“竞赛成败归因分析”也包括4个方面：一体化知识体系、一体化教法、一体化学法和一体化考核。竞赛成败归因分析报告作为下一年开展CDIO-MEM教育模式优化的参照依据。

四、倒逼机制的实践研究

以浙江工贸职业技术学院的大学数学课程改革为研究对象，从2009年至2020年进行了12年的实践研究，以数学建模竞赛为观察窗口，考察倒逼机制的效果。

（一）数据采集及分析方法

1.获奖等级的量化

对于某个参赛队的获奖等级的量化，采用赋值方法，如表1所示。

取全校所有参赛队的平均成绩与国家级一等奖量化成绩的比率作为全校竞赛达标率。

2.竞赛论文的量化

对于某个参赛队竞赛论文的打分，取百分制，各指标权重如表2所示。

取所有参赛队的竞赛论文得分的平均值作为全校整体论文得分。

（二）倒逼机制的做法

倒逼机制的做法如下：

1）根据上一年的竞赛成败归因分析报告，对CDIO-MEM教育模式进行优化，具体包括一体化知识体系优化、一体化教法优化、一体化学法优化和一体化考核优化，然后在当年的教学班级中实施。

2）组织学生开展数学建模系列活动，并参加当年的数学建模竞赛。

3）对当年的竞赛C题、D题作赛后研究，撰写研究论文。

4）统计观察指标，包括竞赛达标率和论文得分，并撰写竞赛成败归因分析报告，为倒逼下一年CDIO-MEM教育模式优化作准备。

下面以2016年的竞赛倒逼2017年的CDIO-MEM教育模式优化为例进行详细说明，做法如下：

第一步，竞赛达标分析。2016年的竞赛达标率为52.0%。

第二步，竞赛试题的赛后研究。针对2016年C题、D题作赛后研究。以赛后研究论文为比较对象，对学生竞赛论文进行打分，再将所有竞赛论文的得分取平均值，为77.4分。从分项得分看，建模创造性（76.0分）和求解正确性（76.0分）较低。

第三步，竞赛成败归因分析。2016年的竞赛成败归因分析报告，如表3所示。

第四步，CDIO-MEM教育模式优化。在2016年竞赛成败分析报告基础上，对2017年的CDIO-MEM教育模式进行优化，如表4所示。

第五步，在2017学年的教学班级中实施（略）。

第六步，开展2017年数学建模系列活动，并参加全国大学生数学建模竞赛（略）。

第七步，2017年竞赛达标分析。2017年的竞赛达标率为72.5%，论文平均得分87.6分，均创下历史新高。有一个队不但获得了国家级一等奖，而且由于排名全国第二名而获得了优秀论文奖，竞赛论文《基于最短路模型和背包模型的巡检线路排班方案》发表在《工程数学学报》（增刊）上。

（三）结果分析

将历年的竞赛达标率按照年份画图，如图4所示。

从图4可知，总体上，竞赛成绩达标率呈现上升趋势，说明倒逼机制具有一定的积极效果。

将历年的竞赛论文平均分按照年份画图，如图5所示。

从图5可知，竞赛论文水平与竞赛成绩达标率具有相同的规律。

五、结束语

选择全国大学生数学建模竞赛作为高等数学CDIO-MEM教育模式改革成效的观察窗口，建立了以竞赛成败归因分析倒逼课程改革优化的正反馈闭环系统，使用系统动力学模型，以年为周期，从2009年开始至2020年累计开展了12年的实践研究，考察了CDIO-MEM教育模式的改革成效，结果表明，大学生數学建模竞赛成绩呈现上升态势，反映出学生的问题解决能力、创新思维能力和团队合作能力逐年提升，与此同时CDIO-MEM教育模式得到逐年优化和完善。

参考文献：

[1] 李连喜，谢世伟.高职院校高等数学课程的定位与教学目标[J].教育与职业，2013（20）.

[2] 马书燮.关于高等数学教育的再认识[J].教育与职业，2012（2）：13-13.

[3] 克劳雷（Crawley，E.）等.重新认识工程教育：国际CDIO培养模式与方法[M].顾佩华，沈民奋，陆小华，译.北京：高等教育出版社，2009.4（2017.11重印）.

[4] 刘路云，郑伯红，陈存友，等.基于SD模型的循环产业体系构建及其综合效应评价[J].系统工程，2017（35）：69-78.

[5] 曹祺文，鲍超，顾朝林，等.基于水资源约束的中国城镇化SD模型与模拟[J].地理研究，2019，38（1）：167-180.

[6] 钱学森.论系统工程（增订本）[M].长沙：湖南科学技术出版社，1988.

[7] 雷蕾.正反馈闭环管理系统在广播节目管理中的应用[J].中国广播，2009（11）：64-65.

[8] 全国大学生数学建模竞赛.欢迎参加世界上规模最大的数学建模竞赛[EB/OL].[2019-5-4].http：//www.mcm.edu.cn/.

[9] 叶聪相，王积建.基于结构方程模型的数学建模翻转教学满意度路径研究[J].高等理科教育，2016（6）：76-83.

[10] 王积建，韩义秀.“工学结合”背景下的高职数学建模与数学实验整合策略[J].职业教育研究，2010（11）：117-118.

（责任编辑：郭培俊）

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