两平方反比力在球体(壳)模型中的强度公式对比

杨天才

(重庆市第三十七中学校 400084)

基金项目：本文系重庆市教育科学“十三五” 规划2016年度青少年创新人才培养《普通高中培养青少年创新人才校本课程开发研究》专项课题阶段性成果(课题编号：2016-CX-14)]

万有引力是在1687年由牛顿发现的，库仑力是法国物理学家查尔斯·库仑在1785年发现的，它们都满足与距离的平方成反比，即平方反比律，由他们在球体(壳)周围产生的引力场强度和电场强度非常相似，在球壳内部为零，在球体内部强度与距离成正比，在球体外部与距离的平方成反比.具体见下表：

引力场强度电场强度定义式g=GMr2E=kQr2球体空腔内部特点匀质球体在空腔内任意一点位置形成的合引力场强度为零均匀带电球壳在其内部任意一点位置形成的合场强为零(法拉第圆筒实验)匀质(或均匀)实心球体内部的强度公式(rR)g=GMr2E=kQr2匀质(或均匀)实心球体在空间产生的强度随离球心的距离的函数图像图1图2球壳在空间产生的强度随离球心的距离的函数图像图3图4

一、部分结论推导和应用

结论一在匀质球体的空腔内任意位置处，质点受到的万有引力的合力为零.

图5

结论二均质实心星球内部某点的引力场强度与该点到星球球心的距离r成正比.

结论三均匀实心带电球体内部某点的电场强度与该点到球心的距离r成正比.

例1 (2012年高考全国卷)假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( ).

点评题目给出了“均匀球壳对内部质点的万有引力合力为零”，但大多数同学没理解这句信息而导致本题错误率较高.其实矿井底部重力加速度可等效半径为R-d的小“地球”表面的重力加速度，这样就大大简化了问题.

例2 假设地球是一半径为R质量分布均匀的球体.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，不考虑地球自转的影响，距离地球球心为r处的重力加速度大小可能为如图6图像中的哪一个( ).

图6

点评本题再一次考查对“均匀球壳对内部质点的万有引力合力为零”的理解，虽然不要求推导这个结论的由来，但要学生直接利用这个结论来解题.

图7

例3 如图7所示是某农家院内打出一口深度为d的水井，如果质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球可以看作是质量分布均匀的球体，地球半径为R，则水井底部和离地面高度为d处的重力加速度大小之比为( ).

点评本题考查天上某点和地球里某点的重力加速度之比，因它们满足不同的规律，或者说定义域不同，分段函数的函数关系就不同，这是要注意的.

图8

A．M、N点的电势小于O点的电势

B．M、N点的电场强度方向相同

点评均匀带电球体可以理解为体电荷密度不变，即体电荷密度是每单位体积的电荷量，球体所带电量之比为半径之比的三次方，从而求球体表面的场强.

图9

例5 均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场.如图9所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM=ON=2R，已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为( ).

点评本题是信息题，信息题的特点是起点高、落点低，理解“均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场”，即将面电荷等效为点电荷，然后用割补法构建一个球壳模型与题目建立联系顺利求解.

图10

例6 (2013年高考上海卷)半径为R，均匀带正电荷的球体在空间产生球对称的电场；场强大小沿半径分布如图10所示，图中E0已知，E-r曲线下O-R部分的面积等于R-2R部分的面积.求：

(1)写出E-r曲线下面积的单位；

(3)求球心与球表面间的电势差ΔU；

(4)质量为m，电荷量为q的负电荷在球面处需具有多大的速度可以刚好运动到2R处.

解析(1)根据关系式U=Ed可知，E-r曲线下面积表示电势差，其单位是V(伏特).

点评本题考查E-r图像的意义，带电球体周围电场的规律，以及电场力做功等问题.根据图像与横轴所围的面积在数值上表示两点间电势差，均匀带电球体周围的场强可以理解为在球内部均匀增加，外部逐渐减小.

从以上分析可以看出，万有引力和库仑力都是平方反比定律，由他们在球体(壳)周围产生的引力场强度和电场强度非常相似，都在球壳内部为零，在球体内部强度与距离成正比，在球体外部与距离的平方成反比.