培养学生的数学核心素养——以“方程的根与函数零点”教学为例

王 惠

(宁夏青铜峡市高级中学吴忠中学青铜峡分校 宁夏 青铜峡 751600)

引言

普通高中数学课程标准把“以学生发展为本，落实立德树人的根本任务，培养和提高学生的数学核心素养”作为课程宗旨，明确提出了6个数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。如何在数学教学中落实数学核心素养，全面提升一线教师课堂教学效率，是我们需要研究的课题。教师结合学生的实际情况，在准确把握教材的基础上，挖掘教材中潜在的营养成分与教育价值，通过组织形式多样的教学活动，不断丰富学生数学知识，不断提升学生的数学核心素养。现就高中数学人教版A版必修1第三章“函数的应用”第1节“方程的根与函数的零点”(第1课时)的教学实践，谈谈如何挖掘教材，通过多种形式的数学活动培养学生的数学核心素养。

1.围绕数学核心素养设计教学过程

1.1 创设情境，引入课题。

师：问题1求出下列一元二次方程的根并作出相应的二次函数的图象，观察二者有何联系？

(1)方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;

(2)方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1;

(3)方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3;

生：完成表格(学生通过导学案预习，展示学习效果)

判别式ΔΔ>0Δ=0Δ<0方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0方程的实数根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函数图象函数的图象与x轴的交点

结论：方程的实数根与对应函数图象与x轴交点的__________相等。

设计意图：引导学生对初中所学一元二次方程知识进行回忆，对方程的根的求法与一元二次函数图象确定函数与x轴交点，由旧知引导学生发现新知，为下一问题做准备。

1.2 抽象概括，建构概念。

师：问题2上述特殊一元二次方程推广至一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与相应的一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否任然成立？

生：完成表格(学生通过导学案预习，展示学习效果)

判别式ΔΔ>0Δ=0Δ<0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象函数的图象与x轴的交点

设计意图：引导学生对初中所学的一元二次方程进行回忆，通过回顾得到一般一元二次函数图象与x轴的交点与相应方程的根的关系。

师：问题3将上述结论推广至一般方程f(x)=0与相应的函数y=f(x)又会有什么结论？请大家自己写一个函数y=f(x),画出函数图象，求出对应方程f(x)=0的根，验证上述结论是否成立？

设计意图：教师引导学生总结一次函数、对数函数的函数图象与x轴交点的横坐标就是其对应方程的根，得出上述一般性的结论。

1.3 零点的定义。

对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点。”

效能分析：结合定义，建立函数的零点与方程实根之间的关系：方程f(x)=0有根⟺函数y=f(x)有零点⟺函数y=f(x)图象与轴交点的横坐标。

问题4：判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。

(1)f(x)=x2+7x+6 (2)f(x)=1-log2(3+x)

效能分析: 使学生熟悉定义法求函数零点的求法，巩固概念(即求相应方程的实数根)。函数零点不是一个点，而是一个实数。注意函数问题永远定义域优先。

1.4 实验探究函数零点存在性定理。

师：问题5 做实验 ：如图1，在平面直角坐标系xoy中，设A(a,f(a)),B(b,f(b))是函数y=f(x)在区间[a,b]上的两点，试在A、B之间画函数y=f(x)的图象，判断函数y=f(x)的图象是否一定有零点？

(1)A,B两点同在x轴上方：(2)A,B两点同在x轴下方：(3)A,B两点分别位于x轴的上、下两边：

图1图2图3

生：学生活动：分小组讨论实验结果，由小组派代表展示实验结果，让学生自己主动探索零点存在的充分条件，培养学生分析，探索，解决问题的能力。

学生探索结论：通过(1)、(2)、(3)三种情况的实验探索零点存在必须满足：f(a).f(b)<0

师：引导学生探索函数有零点的另一个必要条件：函数y=f(x)在区间[a,b]内连续。

生：通过实验探究函数零点存在必须满足两个条件： ①函数y=f(x)在[a,b]区间连续不断；②f(a).f(b)<0;则函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点。

师：问题6满足上述两个条件，能否确定零点个数呢？

生：部分学生回答“能”，部分回答“不能”。学生探索零点存在性定理能不能确定零点个数。

师：问题7若函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？

生：教师引导学生通过y=x2,x∈[-2,2] 明确零点存在性定理反之不成立。

师：问题8 函数f(x)=ex+x-2零点所在的一个区间是( )

A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D(1,2)

设计意图：判断函数零点所在区间的方法：引导学生从零点存在性定理入手，连续只需从定义域考虑；然后求出区间(a,b)对应端点值f(a)和f(b),只要f(a)·f(b)<0， 那么区间(a,b)就是零点所在区间。零点存在性定理在区间(a,b)内产生零点需要的条件：连续且f(a)·f(b)<0 。

1.5 巩固内化，提升高度。

问题9 求函数f(x)=Inx+2x-6的零点的个数。

师：法一：图象法：

强调画图像基本步骤：列表、描点和连线。

生：画图确定零点个数

师：法二定义法通过变式Inx=-2x+6,加深学生对函数与方程关系的认识和理解渗透数形结合和转化归纳思想，发展学生的数学运算和逻辑推理素养。法二把求函数零点转化为求方程的解，当方程直接解不出时，又转化为利用函数图象交点的问题分析解决问题，体现了函数与方程之间密切联系，也就是“函数与方程”的思想。

师：对方程x2=4x-4，2x(x-2)=-3解法探究，一题三解，培养学生解决问题，运用函数与方程思想解决问题的能力，培养学生的数学核心素养。

2.数学核心素养教学的思考

2.1 结合教材，培养学生的数学核心素养。教材是知识点的精华与浓缩，对有些过程没有详细说明，因此学生可能会产生思维障碍，教师只有对教材进行深入研究，为学生的思维“搭桥”，对所呈现的思维进行“拓展”，才能让教材变得容易让学生接受，数学课堂才能发出高效的魅力。新、旧知识之间只有一层窗户纸，教师搭桥引导学生把它捅破，通过不同的教学设计体现了教师的教学理念与教学艺术。在引导学生探索定理的过程中，把原本难以理解的思考，顺理成章的归纳，概括出问题的本质属性，生成了零点的存在性定理。不仅锻炼了学生的探究能力，而且培养了学生的数学核心素养。

2.2 通过问题，启迪学生思维，助数学核心素养生根。数学教学的实质是“数学思维活动过程”的教学，教师应在学生“最近发展区”内精心重组教学内容，启迪学生思维的深层参与。只有引领学生在观察中分析，在操作中思考，在探究中思辨，在比较中归纳，在合作中交流，学生的思维与认知才能得到完善与提升。“函数的零点”的建构既是一个数学建模的过程，也是一个思考的过程。教师站在学生思维的角度，搭建问题的阶梯，对知识由浅入深引导学生探究，注意知识之间衔接，把知识简单化。教师精心设计“问题串”留给学生自己探究的时间，独立的思考使学生思维得到了发展，数学的思想方法不断升华，数学核心素养得到提升。深入研究教材，体会函数与方程“形”与“数”的内在联系，体会发现的快乐，数学核心素养的培养落地生根。