基于核心素养 自主复习探究——“全等三角形的复习”教学实录与反思

陈 怡 (江苏省苏州工业园区星海实验中学 215000)

本节课是苏州工业园区初中数学优质课评比活动中的一节展示课.整节课完全放手给学生编题，教师适当增加条件；通过画图观察，以全等三角形的知识为工具，适当增加辅助线来探索几何图形的等量关系，对全等图形这一章的核心知识进行了复习．

1 教材内容及学情分析

全等三角形的性质和判定是“图形的全等”这一章的核心内容．《义务教育数学课程标准(2011年版)》图形与几何中要求学生理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角；掌握以下基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，三边分别相等的两个三角形全等；证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理．

初一下学期，学生已经学习了全等三角形的各种判定方法，但对于几何知识的理解往往比较狭隘，对于由图形本身可观察出的结论能比较迅速地得出，但处理技巧性较高的问题还需要经过一定的训练．本节复习课上，教师摒弃以往单纯罗列知识点、连续展示不同例题的传统复习课方式，仅以一个简单的等腰三角形为基本图形，适当增加条件，以学生为主体，让学生自己画图、自我探索，通过合理编题回顾反思核心知识．

2 教学目标

(1)理解并掌握全等三角形的对应边、对应角对应相等的性质；

(2)灵活运用边角边、角边角、角角边、边边边、斜边直角边这5种全等三角形的判定方法；

(3)养成回顾与反思的习惯；

(4)通过自主编题，获得知识的自主探究能力．

3 教学重难点

重点：复习全等三角形的性质和判定方法，在探索结果的证明中能够灵活应用这些性质和判定，对整章内容的核心知识点进行回顾及反思．

难点：改变条件后，结论的探索与发现，辅助线的添加．

4 教学过程简录

·片断1 课前知识补充

师：我们一起来看我手里的这块三角板.这个三角形大家熟悉吗？

生：熟悉．

师：你能够总结出这个三角形的边和角之间的关系吗？

生：有两条边长相等，有两个底角相等，有一个直角．

图1

师：总结得非常好，这个三角形我们称为等腰直角三角形．这节课我们就利用这个三角形一起来复习一下全等三角形．

教师给出本节课所有问题的大前提：△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°.

设计意图七年级学生还没有开始学习等腰三角形这一章的知识，“等边对等角、等角对等边”这个性质暂时还不可以应用，在例题之前，分析好等腰直角三角形的边角关系，为后面例题的解决奠定基础．

·片断2 知识回顾，铺垫准备

师：首先我请同学们回忆一下全等三角形具有怎样的性质，它的判定方法有哪些？

生：全等三角形对应边相等、对应角相等．判定方法有SSS，SAS，ASA，AAS，HL．

·片断3 引导编题，复习全等(1)

教师展示教具：等腰直角三角板和一根教棒，这在几何学中是学生最熟悉的两种图形——等腰直角三角形和直线．首先要求学生将直线以直角顶点C为旋转顶点，旋转任意角度，画出直线和三角形的位置关系．

师：请同学们自己在学案上把直线MN与三角形ABC的各种位置关系画出来．

(教师巡视，适当指点画法，选择一位画出经过AB中点的学生上黑板板演)

师：这位同学把直线绕点C旋转到了一个特殊的位置，在这种情况下，你可以根据图形编出怎样的一道题目呢？

生：可以把交点D看成中点，证明 △ACD≌△BCD．

师：很好！你能说出这组全等的判定方法吗？

生：SSS.

师：其他同学仍然沿用中点这个条件，还可以发现怎样的结论呢？

生：可以证明AD⊥BC．

师：如果把垂直作为条件呢？

生：可以去证明角平分线．

(教师板书如下)

例1①已知：△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD=BD.求证：△ACD≌△BCD.

②已知：△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB.求证：CD平分∠ACB.

图2

设计意图这道例题的想法来自于等腰三角形中证明“三线合一”这一性质.教师引导学生将直线放在特殊位置，条件和结论相对简单，学生很容易找到全等图形或等量关系，还可以交换条件和结论编出更多的题目．

·片断4 引导编题，复习全等(2)

师：刚才大家选择的是直线与三角形的中线重合的特殊位置关系，下面再请一位同学上黑板演示其他的位置．

(学生将直线MN绕点C旋转到三角形外部)

师：这幅图我加两个垂直的条件，请你们再次观察图象，发现图形之间的关系．

(学生动手添加两条垂线段，进而很容易地找出了全等三角形)

师：除了全等得到的等量关系以外，你能否探索出线段AD，BE，DE的关系呢？

生：我用直尺度量出DE=AD+BE．

师：很好！用直尺度量是猜测关系的第一步．得出结论以后，怎么证明呢？

生：可以利用同角的余角相等这个性质得到∠ACD=∠CBE，然后用AAS判定△ACD≌△CBE，从而证明AD=CE，DC=BE,最后证明出DE等于两线段和的形式．

师：如果我们将直线MN继续旋转，使得直线与三角形内部相交，又可以得到什么结论呢？

生：DE=AD-BE.

(教师板书如下)

例2已知：△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥MN,BE⊥MN.

求证：①△ACD≌△CBE；

②DE=AD+BE.(图4中证明DE=AD-BE)

图3 图4

设计意图展现K字型全等，学会利用全等进行线段转化，证明线段间的和、差关系．

·片断5 引导编题，复习全等(3)

师：直线在绕点C旋转过程中除了在三角形外部、内部相交以外，还有其他的位置吗？

生：还可以和一边重合．

师：很好!我们就用这种特殊的位置关系编写一道题目．这里再附加一个条件，AD=BE，你能发现相等的量吗？

生：DF=EF．

师：在这个图形里，存在全等三角形吗？如果没有，怎么办呢？

生：没有发现全等三角形，要添线构造．

(学生之前没有接触过各种辅助线段添法，对于这道题比较陌生，教师利用三角板，演示平移过程，得出辅助线DG，如图5)

图5

师：现在看出全等三角形了吗？判定呢？

生：△DGF≌△EBF，使用的判定是AAS．

师：最重要的是,怎么看出边相等的？

生：可以证明△ADG是等腰直角三角形．

(教师板书如下)

例3已知：△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD=BE.求证：DF=EF.

设计意图当图中没有直接出现全等三角形时，可以通过添加辅助线构造全等三角形，本题通过添加平行线构造全等．

·片断6 引导编题，复习全等(4)

师：讨论完直线绕点C旋转的所有情况，下面我们来看看绕点A旋转还可以编出什么样的题目．

(教师引导学生把直线放在三角形的内部)

师：你们感觉这个位置有什么特殊性？可以再添加什么条件？

生：可以把AD看成是角平分线．

师：好，那我们就利用一下这个角平分线，探索AC，CD和AB的关系．

生：AC+CD=AB.

师：这里也没有发现全等三角形，如何构造呢？

图6

生：如图6,过点D作DE⊥AB，交AB于点E．

师：这种辅助线的画法还可以书写成在线段AB上截取AE=AC，连结DE．对于这道题目，同样先证明△ACD≌△AED，再说明△BED是一个等腰直角三角形．第二种辅助线的画法是延长AC至点F，使AF=AB，连结DF．这两种辅助线的画法分别称为截长法、补短法，目的是利用辅助线证明线段间的和、差关系，其中作垂线段是截长法的特殊形式．

(教师板书如下)

例4已知：△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB.求证：AC+CD=AB.

设计意图教师把编题改成猜想结论，降低本题的难度，结论可直接测量得到．学生通过这道题目的解决，掌握截长、补短等辅助线的基本添法，其中作垂线段也是截长法的特殊形式．

·片断7 引导编题，复习全等(5)(时间不够，未能呈现)

例5已知：△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为BC中点.求证：AC+AB>2AD.

图7

设计意图本题仍然先猜想结论，再进行证明.由于前一题的惯性思维，会有部分学生直接给出和的形式，可先利用刻度尺测量得出不等关系．本题让学生掌握倍长中线这一辅助线的添法，了解这种辅助线其实是补短法中的特殊情形．

·片断8 课堂总结、提升能力

师：我们再回顾一下这几道例题，发现全等的作用有哪些呢？

生：利用全等三角形这个工具可以得到线段和角的等量关系，进而得出线段间的和、差关系(也可以形成不等关系)．

师：辅助线有哪些添法呢？

生：三角形中辅助线的添法有作平行线、截长法、补短法．(其中作垂线段是截长法的一种特殊形式，倍长中线是补短法的一种特殊形式)

师：其实这几道题还能体现从特殊到一般、等量转化等思想方法．最后老师即兴编一首打油诗结束整节课——编题真快乐，直线转转转，要找相等量，全等来帮忙．

5 教学过程反思

(1)教师适时引导，学生自主探究

本节课是由园区教研员王晓峰老师命题的一节复习课．在上课之前，笔者专门针对各种全等问题进行了归纳总结．本节课所有的几何图形都是由一个等腰直角三角形和一条直线组合而成，要求学生按照教师所给要求，构造出直线经过三角形顶点的图形．直线绕直角顶点C旋转一共有三种位置关系：与三角形内部相交、在三角形外部、与一腰重合．本节课在设计的时候选取经过底边中点这一特殊位置，学生能够直接看出全等三角形，比较容易找到等量关系．通过例2这道题，希望学生利用全等这个工具转化线段，进而找出线段间的和、差关系．例3利用平行线构造全等三角形，在图形中还蕴含了一个等腰直角三角形，这里就体现了课前补充等腰三角形的意义．例4重点介绍截长、补短这两种辅助线的画法，对于今后学生自己进行全等证明有着重要意义．例5证明的是不等关系，学生较难发现，可以先度量，继而大胆猜想结论；倍长中线的画法对于初一的学生而言技巧性非常高．

现在的初中数学课堂，已经由传统的教师为主导、满堂灌输的旧方式转变为学生自主探索学习的新模式．原本沉寂、呆板的教学气氛转变为精彩纷呈、观点碰撞的学习氛围．在数学核心素养的指导下，教师在课堂教学中适时引导学生进行有效的自主探究，及时把握介入的时间．教师关注每位学生的思考，对于有一定难度的问题，先铺垫、再启发，让学习水平一般的学生也能积极有效地深入学习．

(2)拓展创新思维，落地核心素养

《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确提出了高中数学教育的六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析．其中直观想象是在数学的学习和应用的过程中要逐步形成和发展的六大核心素养之一．直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题．本节课完全放手给学生编题，教师适当增加条件，辅助得到结论．通过画图观察，以全等三角形的知识为工具，适当增加辅助线来探索几何图形的等量关系．本节课问题设置的开放性与自主性，激发了学生的学习兴趣．直观想象核心素养的落地，使学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维．

本节课属于章节复习课，复习课的目标要求是梳理章节的知识结构，养成回顾与反思的习惯．鉴于课时有限，本节复习课仅以核心知识点为抓手，并未做到面面俱到．在引导学生回顾全等三角形的各种判定与性质的基础上，用更多的时间去灵活运用这些判定和性质，提出并解决实际问题；关注不同学生的设问与解题方法的多样性，促进直观想象能力、探究问题能力的数学素养落地．作为一名初中数学教师，在实际过程中要以数学核心素养为根本，以指导学生深度学习、自主学习为策略，促使学生理解所学知识，运用所学知识，建立内部逻辑，实现每一位学生数学思维的自主发展．