同构思想在解题中的应用

广东省中山纪念中学(528454) 邓启龙

在数学问题中,常常遇见一些数学式子或者变式,它们结构相同,只是变量或者数字不同.此时,可以把它们具有的相同结构提取出来,通过研究这个结构具有的性质来解决问题.本文就来例谈同构思想在解题中的应用.

1 比较大小

2 解方程(组)

例2解方程x6-(x+2)3+x2=x4-(x+2)2+x+2.

分析该方程为6 次方程,直接解很难.注意到方程中出现了(x+2)3,(x+2)2,x+2,于是将x+2 视为一个整体,方程变形为x6-x4+x2=(x+2)3-(x+2)2+(x+2),方程两边具有相同的结构,于是构造函数f(x)=x3-x2+x.

解令f(x)=x3-x2+x,则f′(x)=3x2-2x+1＞0对任意实数x 恒成立,于是f(x)在R 上单调递增.方程x6- (x+2)3+x2=x4- (x+2)2+x+2 变形为x6-x4+x2=(x+2)3-(x+2)2+(x+2),即f(x2)=f(x+2).由f(x)在R 上单调递增得x2=x+2,解得x=2,-1.

例3已知a3-3a2+5a=1,b3-3b2+5b=5,求a+b的值.

分析两个方程左边结构相同,于是构造函数f(x)=x3-3x2+5x.

解令f(x)=x3-3x2+5x,则f(x)的图象的对称中心为点(1,3),即f(x)+f(2-x)=6 对任意实数x 恒成立.由已知得f(a)=1,f(b)=5,有f(a)+f(b)=6,又f(a)+f(2-a)=6,所以f(b)=f(2-a).由f′(x)=3x2-6x+5=3(x-1)2+2＞0 得f(x)在R 上单调递增,所以b=2-a,a+b=2.

注三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a /=0)的图象的对称中心为点.

例4设方程x+2x=4 的根为a,方程x+log2x=4的根为b,求a+b 的值.

分析在方程x+log2x=4 中,令x=2t,则方程变为2t+t=4,与方程x+2x=4 结构相同,于是构造函数f(x)=x+2x.

解令f(x)=x+2x,易得f(x)在R 上单调递增.由已知得a+2a=4,b+log2b=4,令b=2t,得2t+t=4.于是f(a)=f(t)=4.由f(x)在R 上单调递增得a=t,所以b=2a,a+b=4.

注题目中出现了两个看似结构不同的方程,但其中一个方程经过代换变形后,两个方程结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性解题.

例5已知实数a,b 满足aea=e3,b(ln b-1)=e4,求ab 的值.

分析将b(ln b - 1)=e4变形为令得tet=e3,与aea=e3结构相同,于是构造函数f(x)=xex.

解令f(x)=xex,易得f(x)在(0,+∞)上单调递增.由已知得令得tet=e3,于是f(a)=f(t)=e3,易知a＞0,t＞0,由f(x)在(0,+∞)上单调递增得a=t,于是b=ea+1.所以ab=aea+1=e4.

例6已知实数a,b ∈(0,2),且满足a2- b2- 4=求a+b 的值.

分析将a,b 分离得(b-2)2+22-b,将2-b 视为一个整体,式子两边具有相同的结构,于是构造函数f(x)=x2+2x.

解令f(x)=x2+2x,易得f(x)在(0,2)上单调递增.由已知得于是f(a)=f(2-b),易知a,2-b ∈(0,2),由f(x)在(0,2)上单调递增得a=2-b,所以a+b=2.

注一个式子中出现了两个变量,经过分离变量和适当变形后,式子两边结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性解题.

例7(2020年高考全国I 卷理科第12 题)若2a+log2a=4b+2log4b,则()

A.a＞2b B.a ＜2b C.a＞b2D.a ＜b2

分析由已知得2a+log2a=22b+log2b,式子两边具有相似的结构,于是构造函数f(x)=2x+log2x.

解令f(x)=2x+log2x,易得f(x)在(0,+∞)上单调递增.由已知得2a+log2a=22b+log2b,而f(2b)=22b+log22b=22b+log2b+1,于是f(a)=f(2b)-1 ＜f(2b),由f(x)在(0,+∞)上单调递增得a ＜2b.所以A 错误,B 正确.

由f(b2)=2b2+log2b2=2b2+2log2b 得f(a)-f(b2)=f(2b)- 1 - f(b2)=22b- 2b2- log2b.当b=1 时,f(a)- f(b2)=2＞0,得f(a)＞f(b2),此时a＞b2.当b=2 时,f(a)-f(b2)=-1 ＜0,得f(a)＜f(b2),此时a ＜b2.所以C、D 错误.故选B.

3 解不等式

4 综合问题