一道高考试题的探究与拓展

上海市金山区亭林中学 (201505) 曹信信

一、问题描述

二、探究过程

图1

图2

2.椭圆和双曲线同为圆锥曲线,因此猜想类似结论在双曲线中是否也成立呢？由图3和图4可知,结论成立,得到结论2.

图3

图4

3.作图观察,发现类似结论在抛物线中仍然成立.由图5和图6可知,得到结论3.

图5

图6

结论3 已知抛物线C:y2=2px,点A为C上任意一点,M、N是C上与A不重合的两点,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足,则存在点Q,使|DQ|为定值.

综合以上的探究与拓展,有如下结论.

性质1 已知圆锥曲线C,点A(x0,y0)为C上任意一点,M(x1,y1)、N(x2,y2)是C上与A不重合的两点,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.则存在点Q,使|DQ|为定值.

通过以上探究验证笔者的猜想成立，根据圆锥曲线的共性,下面以椭圆为例对性质1进行证明.

证明：由点M、N的任意性,需讨论直线MN的斜率是否存在.

(1)当n=x0时,lMN过点A,与题意不符,舍去.

综上所述,存在与lMN无关的定点Q,使得|DQ|为定值.

三、探究体会

在遇到无法直接凭经验观察出结果的问题时,可以借助TI图形计算器的作图功能不断实践,在实践的基础上一步步完成突破,用科学技术来验证猜想.数学的经验积累离不开科学技术的支持,在先进技术的帮助下,我们“站在巨人的肩膀上”登高望远,进而可以尝试更多的可能性.