二次函数最值试题的新趋向*

江苏省扬州中学 (225000) 戚有建

二次函数是最基本的初等函数，也是最重要的初等函数，所以在高考中备受青睐，几乎是每年高考的必考内容，而二次函数的最值问题更是高考的重点、热点，经久不衰、常考常新，近几年来这方面的试题也不断推陈出新，越来越丰富多彩，主要表现为以下四个新趋向：含参、复合、隐性、离散．

一、含参

引入参数后，二次函数最值问题就从静态变成了动态，增加了思维量，可以很好的考查分类讨论的数学思想.根据参数的位置可以将含参问题分为解析式含参、定义域含参、解析式定义域同时含参.

例1 (2020年高考模拟题)求函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[0,2]的最小值.

分析：本题中解析式含参，对称轴不定.

解析：对称轴与区间的位置关系不定，可进行如下的分类讨论：当a<0时，f(x)min=f(0)=2；当0≤a≤2时，f(x)min=f(a)=2-a2； 当a>2时，f(x)min=f(2)=6-4a

点评：本题中，区间“定”，但对称轴“动”，由于对称轴与区间的位置关系不定(故函数的单调性不定)，所以需要分类讨论处理．类似的，还可以编出对称轴“定”，但区间“动”的问题.

例2 (2014年江苏高考题)已知函数f(x)=x2+mx-1，若对任意x∈[m,m+1]都有f(x)<0，则实数m的取值范围为.

分析：本题中解析式和定义域同时含参，对称轴不定、区间也不定，通常需要讨论处理，但本题也可以不讨论，用等价条件来处理即可.

点评：本题中解析式和定义域同时含参，看起来很复杂需要讨论处理，实际上又可以不讨论处理，对学生思维的灵活性要求较高.

二、复合

二次函数有很大的“交汇”性，它可以和很多函数复合起来，于是近几年来出现了很多新颖别致、多姿多彩的复合函数最值试题，这些试题从表面上看，是以考查其它函数为目的，而实际上通过化简变形、换元后就能转化为二次函数最值问题，这也体现了高考在知识交汇处命题的原则．

分析：通过换元转化为二次函数来处理.

分析：通过换元，转化为二次函数来处理，难点是如何换元.

三、隐性

高考对二次函数的考查多数是显性考查，即题目中直接能发现二次函数，但近年来也出现了很多隐性考查，即题目中没有出现二次函数，这就需要我们自己去挖掘二次函数、去构建二次函数.

分析：先将单调性问题转化为不等式恒成立问题，再转化为函数最值问题.

点评：本题呈现形式是三次函数单调性问题，实际上是二次不等式恒成立问题，也就是二次函数最值问题.

四、离散

数列是离散的函数，所以数列具有函数特性，近年来出现了很多以数列为载体的最值问题，其中很多问题与二次函数最值有关.

例9 (2018年全国高考题改编)在等差数列{an}中，a1=-12，S3=-30，求Sn的最小值．

点评：等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以与其有关的最值问题本质上就是二次函数最值问题，只不过是离散的二次函数最值.

例10 (2020年高考模拟题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若d<0，S12>0，S13<0，则n为何值时，Sn取得最大值？

图1

点评：本题常规的处理思路是先构建目标函数Sn然后化简目标函数求最值，但是目标函数含参数a1,d不易化简，实际上只要抓住目标函数是二次函数这一结构特征(最高点一定靠近对称轴)就能顺利解决.

由于二次函数是中学数学中最经典的函数之一，它具有丰富的内涵和外延，可以沟通函数、方程、不等式、数列、圆锥曲线等内容，可以从知识、能力、思想方法等不同层面对学生进行有效考查，所以我们可以预见在未来的高考中二次函数仍将是考查的重点和热点，而且其考查方式也会更灵活、更新颖．