随机利率混合分数布朗运动模型下的再装期权定价

张晓倩,刘会利

(河北师范大学 数学科学学院,河北 石家庄 050024)

随着金融证券市场的不断发展,再装期权成为很多企业喜爱的一种新型期权.再装期权允许其持有者锁定在再装日的利润,消除在到期日可能只能获得较低收入的风险.Johnson[1]首次给出了布朗运动环境下再装期权的定价.罗春玲和王晓勤[2]运用鞅方法给出了股票价格服从分数布朗运动下再装期权定价.薛红和吴江增[3]研究了双分数布朗运动下再装期权保险精算定价模型.Cong-cong XU和Zuo-liang XU[4]使用保险精算的方法估算了跳扩散过程和Hull-White利率下非交易风险资产 的再装期权价值.最新的有关再装期权的研究是王佳宁和薛红[5]他们根据次分数相关的随机分析理论给出了次分数布朗运动下再装期权保险精算定价.文献[6-8]提出了混合分数布朗运动驱动的市场是完备的且不存在套利机会.混合分数布朗运动的自相似性以及长程依赖性使它比标准的布朗运动更适合描述金融资产的价格变化行为.所以考虑在混合分数布朗运动环境下再装期权的定价是十分有必要的.因此国内外的一些学者在混合分数布朗运动模型下得到了一些新的研究成果.周海艳和江秉华[9]在标的资产价格服从混合分数布朗运动模型假设下,利用拟鞅定价的方法得到了几种奇异期权的定价公式.D.Ahmadian和L.V.Ballestra[10]在假设标的股票价格服从混合分数布朗运动模型的前提下,研究了几何平均亚式期权定价问题.

事实上,在上面的这些文献中,对利率的假设是不够的,在实际生活中,国家经济发展情况以及股票市场的波动都会引起利率的波动.所以利率风险对期权价格也存在一定影响.张蓝心[11]利用风险中性定价原理给出了分数布朗运动环境中随机利率下的再装期权定价.受上述文献的启发,本文主要在混合分数布朗运动环境下,运用鞅方法研究利率随机的情况下再装期权的定价公式.

1 预备知识

表示乘积空间.

σBH(t)+εW1(t)

称为混合分数布朗运动,其中σ,ε为不同时等于0的常数.

3 随机利率混合分数布朗运动模型下再装期权的定价公式

dS(t)=r(t)S(t)dt+σsS(t)dBH(t)+εsS(t)dW1(t),

(1)

其中σs,εs都是常数,分别表示分数布朗运动和布朗运动的波动率；r(t)为无风险利率,式(1)的解为

设r(t)服从Vasicek[16]利率模型,即

dr(t)=αr(θ-r(t))dt+εrdW2(t),

(2)

由文献[17]中的方程(5)可得

其中

再装期权是在欧式看涨期权的基础上衍生出来的一种新型期权.在本文中,我们仅考虑再装一次的情况.它允许期权的持有者在到期日T之前的特定的再装日T1(0K,则执行期权的同时获得一个数量为K/S(T1),到期日T不变,执行价格为S(T1)的新的欧式看涨期权.若在再装日期权处于虚值状态,则不提前执行期权.

故再装期权在再装日T1所获得的现金流为

VT1=max(S(T1)-K,0),

(3)

在到期日T所获得的现金流为

(4)

当T1=T时,再装期权即为普通的欧式看涨期权.

本文中我们用C(S(t),t),t≤T1表示标的资产为S(t),执行价格为K,再装日为T1,到期日为T的再装期权在t时刻的价格(t≤T1≤T).由风险中性定价原理可知,C(S(0),0)为再装期权到到期日T所获得的所有现金在0时刻的贴现值.根据方程(3)和(4),可得

(5)

定义远期测度QT关于Q的Radon-Nikodm导数为

(6)

则由引理1可得

其中QT(A)表示事件A在QT下的概率.

类似定义远期测度QT1,使得

为了化简式(5),我们还需引入两个新测度.一个是以股票价格S(t)作为计价单位的测度QS.定义它关于Q的Radon-Nikodym导数为

(7)

则由引理1可得

(8)

则由引理1可得

定理1假设利率是随机的,再装期权在0时刻的价格由下式确定

(9)

接下来,我们将利用Girsanov定理和分数Girsanov定理,分别计算式(9)中各项的值,从而进一步得到下面再装期权的定价公式.

定理2设股票价格S(t)满足式(1),随机利率r(t)满足(2),则再装期权在0时刻的价格为

C(S(0),0)=S(0)(N(d1)+N(-d1,d6,-ρ2))-KP(0,T1)(N(d2)-N(d2,d3,ρ1))-KP(0,T)(N(d4,d5,ρ1)+N(-d4,d7,-ρ2)),

其中N(·)表示一维正态分布随机变量的累积分布函数,N(·,·,ρ)表示二维正态分布随机变量的累积分布函数,ρ是相关系数,

QS(A1)=N(d1),

(10)

(11)

QT=(A1∩A2)=N(d4,d5,ρ1),

(12)

(13)

类似可得出

QT1(A1)=N(d2).

(14)

利用引理2和引理3构造分段函数,取

(15)

综上,将式(10)-(15)代入定理1中式(9),即可得定理2的结论.

4 数值实验

为观察各参数对再装期权价格的影响,我们分别给出了不同参数下期权价格C(S(0),0)关于标的资产价格S(0)的图像.上面五幅图均假设：

r(0)=0.05,αr=0.2,θr=0.05,T1=0.5,T=1.

图(a)是当σs=0.1,K=110,εs=0.3,εr=0.3时,Hurst参数H对期权价格的影响.从图(a)中可以看出,当Hurst参数为0.7和0.8时,期权价格很接近,但是二者均比H=0.6时的期权价格高.所以,在金融市场进行期权交易中选取合适的Hurst参数能有效地降低购买期权时的交易成本.

图(b)是当σs=0.1,εs=0.3,εr=0.3,H=0.6时,执行价格K对期权价格的影响.从图(b)中可以看出K对期权价格的影响是较为明显的,进而会影响股东和经理人双方的利益,当股票价格在一定范围内时,执行价格K越大,期权价格反而越低.因此,为实现股东利益的最大化,非常有必要根据此分析选择合适的执行价格.

图(c)是当K=110,H=0.6,σs=0.3,εr=0.3时,波动率σs对期权价格的影响.其中较为显著的一个特点是当σs=0.1时期权价格的变化程度较其它两者更大.从图(c)中可以看出,选取合适的σs会降低股票价格波动带来的风险,具有实际意义.

图(d)是当K=110,H=0.6,σs=0.1,εr=0.3时,波动率εs对期权价格的影响.在εs=0.3的情况下,在一定范围内期权价格较其它两个参数对应的期权价格较低;将εs=0.1和εs=0.05两种情况做对比,在一定范围内εs=0.05对应的期权价格比εs=0.1对应的期权价格高,但由于εs=0.1的曲线增长率更大,使得当标的资产价格越大时,εs=0.1对应的期权价格高于εs=0.05对应的期权价格.

图(e)是当K=110,H=0.60,σs=0.1,εs=0.3时,波动率εr对期权价格的影响.εr=0.1对应的期权价格比其它两个参数的高,在一定程度内其期权价格的变化程度也是最大的.

4 总 结

考虑到利率随机更加符合金融市场的实际情况,本文假定利率服从Vasicek利率模型,并假设标的资产满足混合分数布朗运动过程驱动下的随机微分方程,其中波动率以及Hurst参数H均为常数.我们主要运用测度变换的方法,研究了在随机利率混合分数布朗运动环境中再装期权的定价问题,并对所推导的结果进行了数值模拟.