数学建模思维在大学物理教学中的应用

高永浩 李华 王继国 谷卓

摘要模型是物理学理论的基础，是我们研究物质世界运动规律的基石。数学建模思维就是在解决实际问题时，恰当地建立模型并用合适的数学手段求解模型，这也是我们希望学生通过大学物理课程的学习而获取的核心能力。本文分析了大学物理教学中使用数学建模思维解决物理问题的标准流程，并总结和整理了大学物理课程涉及的主要模型及其适用范围，供相关教学及教研人员参考。

关键词 大学物理 物理模型 数学建模

中图分类号：G424文献标识码：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.26.026

Application of Mathematical Modeling Thinking in College Physics Teaching

GAO Yonghao， LI Hua， WANG Jiguo， GU Zhuo

（Department of Mathematics， Shijiazhuang Tiedao University， Shijiazhuang， Hebei 050043）

AbstractModel is thebasis ofphysical theory and the cornerstoneofourstudy of the motion lawofthematerial world. Mathematical modeling thinking is to properly establish a model and solve the model with appropriate mathematical means when solving practical problems， which is also the core ability we hope students to obtain through the study of college physics courses. This paper analyzes the standard process of using mathematical modeling thinking to solve physical problems in collegephysics teaching， and summarizes and arranges the mainmodels involved in college physics courses and their scope of application， which can be used as a reference for relevant teaching and research personnel.

Keywordscollege physics； physical model； mathematical modeling

大学物理的教学有两个核心目标，其一是为各理工科专业学生提供必要的物理知识和技能；其二是实现高等数学的思维方法和具体物理模型相结合，训练学生专业模型数学化的能力。[1]这正是数学建模的思维方式，也是建模教学的关键所在。

建模教学以认知建模理论为基础，包含建立模型、检验与完善模型、应用模型三个循环阶段，能够帮助学生深入、连贯地学习物理学的思想方法，是美国近几十年来教学改革最成功的教學模式之一。[2]

在物理课程中使用建模教学法可以帮助学生聚焦问题、建构知识，促进其对物理概念的理解，增强学习兴趣，发展自主学习能力。[3]国内部分高校有意识地将建模思维融入大学物理教学实践中，拓展了学生的视野与应用意识，提高了学生的科学素养与创新能力。[4]

1大学物理教学中数学建模思维的应用

我们在使用建模教学法进行大学物理课程授课时，要特别注意对学生讲授解决问题的标准流程：（1）针对真实世界物理问题，分析其主要影响因素、计算精度要求等，从而选择合适的物理模型，完成真实问题到物理模型的转化；（2）根据所选用的物理模型，建立适当的坐标系，并列出方程或方程组，完成物理模型到数学模型的转化；（3）使用恰当的数学工具或方法求解该方程或方程组，完成数学模型到数学结果的转化；（4）讨论该数学结果，为其赋予物理意义，完成数学结果到物理结果的转化；（5）将由求解物理模型而得到的物理结果返回到真实世界的物理问题中，讨论模型适用与否，获取对该物理问题规律的正确认识，完成模型求解到认识世界的转化。以下分别对这些步骤进行讨论和分析。

在需要解决一个真实世界的物理问题的时候，我们首先面对的就是客观世界的复杂性，如何抓住主要矛盾，略去我们暂不关注的次要影响因素，就是选择建立适当物理模型的关键所在。比如处理足球运动轨迹问题时，当我们只考虑最简单的情况时，就把足球看成是质点模型并忽略空气阻力，那么足球将在重力的作用下做斜抛运动，我们很容易求解出足球的飞行轨迹、最大高度及落地点距离等。这个模型能给我们足球大致是怎么运动的初步认识。进一步，在模型中考虑空气阻力，那么足球将做带阻力斜抛运动，这就已经比较接近真实的足球运动轨迹了。再进一步，在模型中加入流体力学，考虑气流对旋转的足球的作用，就能给出弧线球的轨迹，这几乎已经超出大学物理的授课范围了。而真正的足球是多块皮革缝制且带有内胆的空心球体，内部充有气体，球被踢出后的形变、内部气体的状态变化、外部气流的作用及对运动轨迹的影响更是一个十分复杂的科研问题，难以精确求解。所以要根据实际物理问题的特征和我们的需求来确定采用什么模型，不能一味求全。

当我们选定所要使用的物理模型后，就要着手把这一物理模型转化为数学模型。首先要选取合适的坐标系。在大学物理的范畴里，常见的坐标系主要有直角坐标系、极坐标系和自然坐标系。如果该物理问题只处理圆周运动或曲线运动，则选择自然坐标系或极坐标系，否则基本上都是使用直角坐标系。如果选择直角坐标系，还要考虑坐标轴的指向。一般选择物体运动的方向作为轴向，物体静止的话则选择主要的受力方向（如重力方向）为轴向。坐标系及轴向都确定后，再根据物理规律分别在各轴向上列出方程，将物理模型转化为数学模型。

当数学模型建立完毕后，接下来就是采用恰当的数学工具或方法进行求解。在大学物理课程范围内，主要涉及的数学工具就是线性方程组和常微分方程。线性方程组在维数不高的情况下较易求解，而常微分方程是学生进入大学后才遇到的，需要同学们熟记并灵活运用微积分公式，多加练习才能很好地掌握。

求解得到数学结果后，我们要牢记这是物理问题，要为数学结果赋予物理意义，然后我们还要把这一物理结果反馈回原始的真实世界的物理问题，去评价我们所采用的模型是否恰当。如不恰当，则需要更换模型重新建模求解，如此循环迭代，直到得到满意的结果。这就是使用数学建模思维进行大学物理问题求解的一般过程，也是建模教学法要求学生掌握的核心能力。

2大学物理课程中的物理模型

2.1力学中的模型

2.1.1质点模型

处理力学问题时，如果我们所关注物体的形状、大小对于要研究的问题来说不重要，那么就可以把该物体抽象为一个有质量的点来处理，称为质点模型。例如在研究地球绕太阳的公转时，由于地球至太阳的平均距离约为地球半径的两万多倍，相差四个数量级，故而可以把地球当成是质点来处理。但是在研究地球的自转时，就要考虑地球的形状和大小，不能再把它看成是质点了。同样的道理，研究一个人在电梯里的升降加速度时，可以把人看成是质点；但是要研究这个人在滑冰时如何做出旋转动作，就不能再看成是质点。能否把物体看成质点，不取决于这个物体本身，而是由它所处的具体问题决定的。

2.1.2刚体模型

一般来说，在有外力作用的情况下，物体的大小和形状都有可能发生变化；但在一些情况中，这种大小和形状的变化对于要研究的问题可以忽略时，我们就可以把该物体抽象成大小形状保持不变的坚硬物体，其内部任意两质点间的距离始终保持恒定，称为刚体模型。上文提到的地球自转和滑冰者旋转问题中，我们就可以把地球和滑冰者当成刚体来进行处理。刚体模型同样有成立的条件，要求在所研究的过程中物体的形状和大小变化均可忽略。如果我们在研究地球自转的各种影响因素时，进一步考虑海水潮汐、地壳内部熔岩等的作用，那么就不能再把整个地球当成是一个刚体。

2.1.3理想流体模型

流体是可以流动的物体（如空气、水等），是很常见的物质存在形式。在研究流体的相关问题时，如果该流体不可压缩且没有黏性，那么我们称之为理想流体。必须要强调，现实世界中没有真正的理想流体，只是在我们所研究的问题中，如果该流体的黏性和压缩产生的影响可忽略时，我们就可以把它当成理想流体，这样能够大大简化问题的分析，并给出该流体主要流动性质的相对准确的说明。比如用适合理想流体的伯努利方程来分析喷雾器、飞行体的升力及旋转球的弧线等现象。但是当需要研究优化航空涡轮发动机和火箭助推喷射器时，涉及流体各项参数的剧烈变化，不可压缩和无黏性这两个条件不再成立，就不能简单地使用理想流体模型来进行分析。

2.2电磁学中的模型

2.2.1点电荷模型

一般的带电体都是具有形状和大小的，为了研究的方便，如果该带电体的形状和大小相对于所要研究的问题可忽略，那么我们就可以把该带电体抽象为一个具有一定电荷量的点，称为点电荷模型。当一个带电体的形状和大小不能忽略时，我们可以把它看成是点电荷组成的电荷系，使用库仑定律先求出每个点电荷在空间的电场分布，再利用电场叠加原理给出该带电体在空間的电场分布情况。从另一个角度来说，我们在课上求解带电圆环、圆盘外的电场分布问题时，会得出这样的结论，当空间点到带电圆环或圆盘的距离远大于圆环或圆盘的直径时，电场强度在该点的表达式与点电荷产生的场表达式近似一致，这也从侧面验证了点电荷模型的合理性。

2.2.2电场线与磁感线模型

电场线与磁感线都是为了形象地描述场而引入的假想曲线。在引入电场强度通量这个概念的时候，我们经常会使用穿过一个曲面的电场线的数目作为定义。但是电场强度通量本身不一定是整数，而半根电场线穿过一个曲面的物理图像是无法想象的。所以电场线这个模型是为了形象化地描述电场引入的，但是在描述电场的某些具体性质时，我们不能被电场线这个模型束缚住。这对使用磁感线描述磁场来说也是一样的。

2.2.3集总电路与分布电路模型

在大学物理讲静电场中的导体和电介质一章时，我们会经常要求同学们计算这样一道题目：相距为d的两根无限长圆柱导线（半径r远小于d）上，单位长度的电容是多少。由该题目可以引出分布电路模型，并向学生说明，他们在高中学的电路叫作集总电路模型。原则上来说，任何电路都是分布电路，但是当电路频率所对应的电磁波长远大于电路尺寸时，使用集总电路模型可以大大地简化电路分析。具体到实践中，比如在实验台面包板上搭建一个50Hz的交流电路，就可以使用集总电路模型；而同样是50Hz的交流电，要想分析长距离输电网络的电路，就必须要考虑分布电路模型了。

2.3热学中的模型

2.3.1理想气体模型

我们把在任何状态下都满足波意耳-马略特定律、查理定律及盖·吕萨克定律这三个实验定律（即PV/T=常数）的气体叫作理想气体。一切实际气体并不严格遵循这些实验定律，只有在温度较高，压强不大时，偏离才不显著。理想气体是实际气体在压强不断降低情况下的极限，或者说是当压强趋近于零时所有气体的共同特性，即零压时所有实际气体都具有理想气体性质。所以理想气体这个理想模型，可以在处理低压气体相关问题时使用；在处理高压或低温气体时就要考虑其他气体模型。

2.3.2准静态过程与可逆过程模型

热力学系统从一个平衡态向另一个平衡态演化的过程中，当状态变化得足够慢，以至于每时每刻都可以近似看成平衡态时，我们就称这样的过程是准静态过程。可逆过程是指一个热力学系统从一个状态演化到另一个状态后，能够找到另一个过程使得系统与环境完全恢复原来的状态而不引起其他变化。准静态过程与可逆过程都是理想模型，准静态过程模型的理想性在于无限慢，可逆过程模型的理想性在于无损耗。可逆过程一定是准静态过程，准静态过程不一定是可逆过程，无摩擦无耗散的准静态过程是可逆过程。

2.4光学中的模型

2.4.1几何光学模型

把物体发出的光看成是无数几何光线的集合，且光线的传播遵循直线传播定律、独立传播定律、反射定律和折射定律，这就是几何光学模型。几何光学模型在设计光学成像元件及系统时具有方便和实用的特点。比如在分析小孔成像、凸透镜及凹透镜成像时，我们使用的就是几何光学模型。

2.4.2波动光学模型

当我们把光看成是电场磁场交替振荡变化的电磁波时，这就是波动光学模型。波动光学是以波动理论研究光的传播及光与物质相互作用的光学模型。波动光学模型可以解决光的干涉、衍射、偏振、散射、磁光及电光等几何光学无法解释的问题，但是无法解释光与物质相互作用的相关现象，如光电效应、黑体辐射和康普顿散射等。

2.4.3量子光学模型

量子光学模型是在20世纪初才开始被科学家研究的。普朗克在研究黑体辐射实验的过程中，为了解释实验曲线，提出了量子假说，即电磁场的能量是一份一份发出的，这一假说推开了量子世界的大门。隨后爱因斯坦使用光量子假说解释了光电效应，康普顿也使用这一假说解释了X射线散射实验中散射波长随角度变化的问题。要想解释原子的稳定性和线状光谱问题，更是离不开量子光学模型。

几何光学、波动光学和量子光学模型，分别在不同的能量和空间尺度上描述了光的性质。原则上来讲，量子光学模型是最符合光真实性质的模型，但是在解决宏观尺度光学问题时，还是几何光学和波动光学更易用。所以使用哪种模型要具体问题具体分析。

3结束语

大学物理课程不应只是教会学生做题，而是要培养学生根据实际问题恰当地选择模型、构建模型及求解模型的能力。我们基于这样的理念，讨论了使用数学建模思维解决大学物理问题的标准流程，分析整理了大学物理课程涉及的主要模型，并讨论了各模型的区别和联系，为相关教学及教研人员提供了参考。

课题项目：2018年河北省教育厅高等学校人文社会科学研究项目“数学建模在大学物理教学中的应用研究”（编号GH181033）

参考文献

[1]谌雄文，施振刚，杨朋，等.大学物理教学的数理融合方法探讨[J].教育教学论坛，2017（30）：198-199.

[2]ColleenMegowan-Romanowicz，许桂清.物理建模教学模式简介[J].物理教师，2011，32（08）：1-3.

[3]张静，郭玉英.物理建模教学的理论与实践简介[J].大学物理， 2013，32（02）：25-30.

[4]张雪峰，刘佳.物理建模融入大学物理课堂教学[J].物理与工程， 2014（S1）：70-71+73.