数学史教学须重构学生的体验

丁媛媛 费岭峰

摘    要

HPM是研究数学史与数学教育的关系，发挥数学史在小学数学教育中的价值，积极探寻将数学史融入课堂教学的方式。人教版《数学》四年级上册“数的产生”是比较典型的“数学史”学习内容。教学时，从重循发展之路、重构认知之序、重历规则之美三个方面着手精心设计课堂教学，引导学生经历数学知识的重构体验，为数学史与课堂教学的契合提供思路。

关键词

數学史 认知规律 知识脉络 思想方法

HPM（History and Pedagogy of Mathematics），即研究数学史与数学教育之间的关系。早在19世纪，一些数学家和数学史家就开始关注数学史在数学教育中的价值。如美国数学史家卡约黎认为“学生所遭遇的往往是相关学科的创建者经过长期思索和探讨后所克服的实际困难”，所以数学史为教学提供了一面镜子，是数学教学的有效工具[1]。现使用的小学数学教科书中，也有一些借助数学史知识引导学生体验数学知识形成过程的内容，比如人教版《数学》四年级上册“数的产生”一课，便是较为典型的内容。

当然，在实践中，数学史内容的教学不能仅仅体现在数学情感、动机视角和激励因素上，而且需要有对学生数学学习及数学活动本质的认识的学习目标定位。学生对一些数学概念的认识与古代数学家的认识相似，对某些概念理解上的困难与历史上数学家遭遇的障碍一致，所以数学史融入小学数学教育的教学方式需要体现数学发现、数学体验的意义与价值[2]。现以人教版《数学》四年级上册“数的产生”一课的教学为例，谈谈如何将数学史有效地融入课堂教学之中的一些实践与思考。

一、重循发展之路，形成认知规律

数学家庞加莱说：“若想预见数学的将来，正确的方法是研究它的历史和现状。”我们在数学学习时，如果不知道知识的由来，那就无法体会到知识产生的必要性和存在的价值，也无法正确地理解和运用。所以，教师在设计教学时，引导学生经历数学家发明或发现知识的过程，经历知识形成的来龙去脉，也就是重走数学知识的形成之路，鼓励学生去探索、归纳、概括、交流和内化，不仅顺应儿童好奇心重的心理特点，而且在学生的学习过程中能感受知识产生的必要性，激发学生的学习兴趣，调动学生主动学习、自主建构知识的积极性。

教材通过简单的3幅图，展示了原始人的记数方法，随后简单说明了数字产生的缘由，并列举了3种古代数字来揭示数字的发展，这样的学习资源是静态的、贫乏的，缺乏生动性和思考性，学生的学习并不能深入和产生共鸣。实践中，我们进行了一定的补充和修改，让教材上静态的图片结合技术变成动画的情境图：

出示几幅原始人的生活场景图，并引导：在远古时代，我们的祖先为了生存，需要打猎和放牧，每次捕到猎物需要知道捕获的数量，他们需要数数，记录数的多少，你知道他们用的是什么方法吗？

结合学生的猜测、议论，依次呈现教材上的“用实物记数”“刻道记数”与“结绳记数”等情境，然后继续描述：随着打猎水平越来越高，猎物也越来越多，继续用这样的记数方式，你有什么想法？

是的，就是因为很麻烦，慢慢的这样的方法就被淘汰了，后来随着语言的发展，人们发明了一些符号来记数，这些记数的符号就是最初的数字，呈现不同国家的记数符号。

继续引导：由于每个国家的文化背景不同，所以各国的数字也不一样。你对采用不同的符号记数有什么想法？随着社会的发展，人们需要进行商品交易，数字不同很不方便，经过很长时间逐渐统一成现在的“阿拉伯数字”。阿拉伯数字是谁发明的呢？教师对“阿拉伯数字的产生和流传”的故事稍作展开。

最后再次发问：了解了“数”走过的路，你有什么想法和感受？

在教学过程中，教师运用多媒体呈现资料，把静态的教材变成动态的、丰富的学习资源，让学生的学习变得丰盈有趣，并通过4个关键问题的精心设问和适时追问，环环相扣、层层递进，把学生的思维引向深入。让学生在观察、思考与交流中，解决“是什么”“为什么”的问题，切实体会到“‘数是随人类生活、生产及社会的发展，经历了漫长的由具体到抽象，逐步发展和完善的历史过程”[3]。在整个学习过程中，学生一次次解决问题，又一次次面临挑战，重走了古人的数学思考之路，促进学生对知识更好地理解和掌握。

二、重构认知之序，厘清知识脉络

许多数学知识的产生与发展常常经历比较长的历史过程，“数”的产生也是如此。人类的智慧是从计数开始的，数的出现意味着数学的起源。在这个历史过程中，会有一些关于这一数学知识整个发展过程的关键阶段，这些标志性的阶段是人类认识这一数学知识的必经过程[4]。庞加莱指出：“教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段而不跳跃任何阶段。”学生个体的心理过程和人类的认识过程是对应的，在教学中可以借鉴人类历史上认识这一数学知识的主要阶段，重新设计教学的顺序，建构引导学生数学学习的序。

“数”的产生发展主要的历史阶段为：实物记数→符号记数→阿拉伯数字。

根据“数”产生的历史发展顺序及学生的具体情况，重构“数”产生的序，从古到今，设计三个环节。此“序”与教材编排比较，教材对这三个关键节点的呈现是无序和点状的，学生看完后对于知识的理解和掌握仍旧是模糊和不自觉的。教师在教学设计时通过序的排列串联，辅以板书的展现（如图2），充分体现了“数”发展的教学架构，就像把散落的珍珠都串了起来，抓住了数产生的历史脉络，使学生知道所学知识的“前世今生”。

第二个环节符号记数的产生是“数”产生的第一个关键步骤，是本课学习的第一个突破。由远古时代需要对物体的个数作出准确记数而形成的，体现以匹配为目的的一一对应的计数法开始，在人类历史发展过程中不断优化发展。目的是既培养学生的符号意识，实现表征符号化，又让学生领会到数学的发展是和人类文明的发展相联系的。阿拉伯数字的产生是“数”产生的第二个关键步骤，是本课的核心，目的是帮助学生了解在人类文明的发展中数学的作用。通过让学生了解古罗马与中国商人进行商品交易时产生的交流障碍，感受到符号不统一带来的后果，全世界统一的阿拉伯数字才会应运而生。这样的教学从具体到抽象，从真实事例的再现到数字演变的过程，实际上就是数学的发展史。学生了解了数学的发展史，就能帮助学生理解数学，彰显数学史在数学教学中的教育价值。

三、重历规则之美，滋养思想方法

古罗马数字是阿拉伯数字还没有传入欧洲之前使用的一种记数法，现在很多钟表还在用它表示时间，比如上海外滩海关大楼上的大钟就是用罗马数字表示的。这种计数方法虽然没有我们现在的十进制计数法那么方便，但在当时已经非常先进了，具备其独有的思维方式，而且具有艺术价值，被人们沿用至今[5]。在教学中增加认识古罗马数字的环节，能拓宽学生的视野，激发学生思考，在古今不同方法的对比中，体会数学思维的灵活性、丰富性和创新性，得到数学思想方法的滋养。实践中，我们组织了如下四个层次的学习活动。

1.联手绘本——激发学习的欲望

引问：生活中哪里可以看到罗马数字？

教师出示绘本《古罗马人的数字》中的一幅图片，问：你能读出这个市政厅建造的年代吗？（MCMLXVII表示哪一年呢？）你想认识罗马数字吗？

2.交流方法——感受组数的规则

呈现下表（4至10的罗马数字记法是空着的）：

提出问题：罗马数字的1、2、3是用什么表示的？4呢？

结合学生的回答说明规定：起初古罗马人是用IIII来表示4的，但是这样写下去花的时间太多了，所以他们规定：基本数字连用不能超过三个，如果5用V来表示，那猜猜4怎么表示？

结合4与6的表示，补充规定：小数放在大数左边，表示减;小数放在大数右边，表示加。

练习：根据已学的两条规则，尝试表示7、8、9、10。

3.根据问题——翻越学习的障碍

教师适当引导学生梳理古罗马数字的记数规则，并布置任务：用古罗马数字试着写出11～20，能写出几个就写出几个。

学生独立完成后分两个层次交流。

第一层次交流11、12、13的写法，并说说理由。

第二层次交流14、19的写法。

关于14，学生有两种不同的记法：IXV和XIV。

分别请学生说明理由，并统一认识：XIV比较合理，因为 X表示10，IV表示4，10+4=14。

同理可知：19的记法为XIX，理由：10+9， XIX。

4.回顾比较——体悟组字的特征

呈现1至20的阿拉伯数字的记法与罗马数字的记法的对比表，请学生再次讨论梳理罗马数字的记法规则，加深理解。

引导：看了阿拉伯数字的记法与罗马数字的记法后，你有什么发现？

学生：古罗马数字第二行比第一行多加一个X。

学生：古罗马数字和阿拉伯数字一样，阿拉伯数字十几在前面放一个10，后面加1、加2……

师：如果你把这个看懂了，21～30怎样表示呢？

……

增加学习古罗马数字这一环节有两个原因：一是让学生感悟古罗马数字的字符由来以及組字规则;二是经历数字由复杂到简便发展的过程，体会数学简洁的思想。在教学中教师以古罗马数字为中心，对相关的数学内容进行联想、类比，让学生感悟数学，并对数学内容进行深入地思考，逐步体会其中蕴含的数学思想，也使得我们的数学知识更丰盈，使数学思想方法反复渗透，提高学生的认识水平。

从以上的实践中可以发现，HPM视角下的课堂教学是一个充满活力、富有魅力的时空，它既影响了教师，也改变了学生。它让教师通过研读“数”产生的历史，结合学生个体认知特征，紧抓发展过程中的关键转折点，使学生知规律、清脉络、懂方法，在重构的教学环节中推动关键问题的理解，体验思想方法的美妙，这正是“数的产生”一课的价值所在。

参考文献

[1] 汪晓勤.HPM视角下的小学数学教学[J].小学数学教师，2017（7，8）.

[2] 岳增成.中国HPM发展之路[J]. 教学月刊：小学版（数学），2019（11）.

[3] 人民教育出版社课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书数学教师教学用书（四年级上册）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[4] 贾春波.历史发生原理对小学数学教学的几点启示[J].教学月刊：小学版（数学），2017（7，8）.

[5] 张奠宙.小学数学教材中的大道理 [M].上海：上海教育出版社，2018.

[责任编辑：陈国庆]